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1、2015-2016学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1下列命题中，真命题是( )Ax0R，0BxR，2xx2Ca+b=0的充要条件是=1Da1，b1是ab1的充分条件2命题“x0R，log2x00”的否定为( )Ax0R，log2x00Bx0R，log2x00CxR，log2x0DxR，log2x03当mN*，命题“若m0，则方程x2+xm=0有实根”的逆否命题是( )A若方程x2+xm=0有实根，则m0B若方程x2+xm=0有实根，则m0C若方程x2+xm=0没有实根，则m0D若方程x2+xm=0没有实根，则m04在ABC中，“
2、A=60”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知命题p：xR，使；命题q：xR，都有x2+x+10给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“pq”是假命题；命题“pq”是真命题；命题“pq”是假命题其中正确的是( )ABCD6函数f（x）=（a+1）tan2x+3sinx+a23a4为奇函数的充要条件是( )Aa=4Ba=1Ca=4或a=1DaR7执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )A1B2C4D78如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这
3、3个数构成一组勾股数的概率为( )ABCD9已知函数f（x）=3x2x1，x，在上任取一个数x0，f（x0）1的概率是( )ABCD10已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示命中，用5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两
4、次命中的概率为( )A0.35B0.30C0.25D0.2011设F1、F2是椭圆E：+=1（ab0）的左右焦点，P是直线x=a上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则椭圆E的离心率为( )ABCD12椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是，那么直线PA1斜率的取值范围是( )ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取_名学生14甲
5、、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率是_，甲不输的概率_15若“x，mtanx”是真命题，则实数m的取值范围是_16已知椭圆C：+=1的AB的中点M的坐标为（2，1），则直线AB的方程为_三、解答题：本大题共5小题，共70分17（14分）椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，）（1）求椭圆标准方程（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率18（14分）已知圆心为C的圆经过点A（1，1），B（2，2），且圆心C在直线l：xy+1=0上（1）求圆C的标准方程（2）求过点（1，1）且与圆相切的直线方程19（14分）连锁经营公司所属5个零售店某月
6、的销售额利润资料如表：商品名称ABCDE销售额x/千万元35679利润额y/百万元23345（1）画出销售额和利润额的散点图（2）若销售额和利润额具有相关关系，试计算利润额y对销售额x的回归直线方程（3）估计要达到1000万元的利润额，销售额约为多少万元（参考公式：=，=x）20（14分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后画出如图部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分21（14分）已知椭圆C：，的离心率为，A、B分别为椭圆的长轴和短轴
7、的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且（）求椭圆的方程；（）过（1，0）的直线l与椭圆交于P、Q两点，求POQ的面积的最大时直线l的方程2015-2016学年黑龙江省大庆市铁人中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1下列命题中，真命题是( )Ax0R，0BxR，2xx2Ca+b=0的充要条件是=1Da1，b1是ab1的充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用【专题】计算题【分析】利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误；【解答】解：因为y=ex0
8、，xR恒成立，所以A不正确；因为x=5时25（5）2，所以xR，2xx2不成立a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a1，b1是ab1的充分条件，显然正确故选D【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知识的理解与应用2命题“x0R，log2x00”的否定为( )Ax0R，log2x00Bx0R，log2x00CxR，log2x0DxR，log2x0【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出命题P的否定p即可【解答】解：命题P是“x0R，log2x00”，它的否定是p：“xR，log2x
9、0”故选：D【点评】本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，直接写出答案即可，是基础题3当mN*，命题“若m0，则方程x2+xm=0有实根”的逆否命题是( )A若方程x2+xm=0有实根，则m0B若方程x2+xm=0有实根，则m0C若方程x2+xm=0没有实根，则m0D若方程x2+xm=0没有实根，则m0【考点】四种命题间的逆否关系【专题】简易逻辑【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可【解答】解：由逆否命题的定义可知：当mN*，命题“若m0，则方程x2+xm=0有实根”的逆否命题是：若方程x2+xm=0没有实根，则m0故选：D【点评】本题考查四
10、种命题的逆否关系，考查基本知识的应用4在ABC中，“A=60”是“”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】三角函数的求值【分析】判断出若“cosA=”成立，则有“A=60成立；反之在ABC中，若“A=60成立则“cosA=”成立，利用充要条件的定义得到结论【解答】解：在ABC中，若“cosA=”成立，则有“A=60成立；反之在ABC中，若“A=60成立则有“cosA=”成立，所以，“A=60”是“”的充要条件故选C【点评】判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先确定出条件，然后两边互推，利用充要条件的
11、有关定义进行判断5已知命题p：xR，使；命题q：xR，都有x2+x+10给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“pq”是假命题；命题“pq”是真命题；命题“pq”是假命题其中正确的是( )ABCD【考点】复合命题的真假【专题】阅读型【分析】根据正弦函数的值域及二次不等式的解法，我们易判断命题p：xR，使sin x=与命题q：xR，都有x2+x+10的真假，进而根据复合命题的真值表，易判断四个结论的真假，最后得到结论【解答】解：1，结合正弦函数的性质，易得命题p：xR，使sin x=为假命题，又x2+x+1=（x+）2+0恒成立，q为真命题，故非p是真命题，非q是假命题；所以pq是假命题，错；
12、p非q是假命题，正确；非pq是真命题，正确；命题“pq”是假命题，错；故答案为：故选A【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假，其中根据正弦函数的值域及二次不等式的解法，判断命题p与命题q的真假是解答的关键6函数f（x）=（a+1）tan2x+3sinx+a23a4为奇函数的充要条件是( )Aa=4Ba=1Ca=4或a=1DaR【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】方程思想；定义法；简易逻辑【分析】根据充要条件的定义结合函数奇偶性的性质进行求解即可【解答】解：函数f（x）=（a+1）tan2x+3sinx+a23a4为奇函数，f（x）=f（x），即（a+1）tan2x3sinx+a
13、23a4=，即（a+1）tan2x+a23a4=（a+1）tan2x（a23a4），则，即，即，则a=1，当a=1时，f（x）=3sinx为奇函数，则函数f（x）=（a+1）tan2x+3sinx+a23a4为奇函数的充要条件是a=1，故选：B【点评】本题主要考查充要条件的求解，根据函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键7执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )A1B2C4D7【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i3，即i=1，2，3模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值【解答】解：当i=1时，S=1
14、+11=1；当i=2时，S=1+21=2；当i=3时，S=2+31=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理8如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】概率与统计【分析】一一列举出所有的基本事件，再找到勾股数，根据概率公式计算即可【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，
15、2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为故选：C【点评】本题考查了古典概型概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件，属于基础题9已知函数f（x）=3x2x1，x，在上任取一个数x0，f（x0）1的概率是( )ABCD【考点】几何概型【专题】转化思想；不等式的解法及应用；概率与统计【分析】根据一元二次不等式的解法求出不等式的解，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：由f（x）1得3x2x11，即3x
16、2x20得（3x+2）（x1）0，得x1或x，x，1x或1x2，即1x0或1x02，则在上任取一个数x0，f（x0）1的概率P=，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据一元二次不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键10已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示命中，用5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 68343
17、1 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A0.35B0.30C0.25D0.20【考点】模拟方法估计概率【专题】应用题；概率与统计【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393共5组随机数，所求概率为=0.25，故选：C【点评】本题考查
18、模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用11设F1、F2是椭圆E：+=1（ab0）的左右焦点，P是直线x=a上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则椭圆E的离心率为( )ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用F2PF1是底角为30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=a上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：F2PF1是底角为30的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P为直线x=a上一点2（ac）=2ce=故选：B【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键
19、是确定几何量之间的关系，属于基础题12椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是，那么直线PA1斜率的取值范围是( )ABCD【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（2，0），右顶点A2（2，0）设P（x0，y0）（x02），代入椭圆方程可得利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（2，0），右顶点A2（2，0）设P（x0，y0）（x02），则，得=，=，=，解得故选B【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解
20、题的关键二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取40名学生【考点】分层抽样方法【专题】概率与统计【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果【解答】解：C专业的学生有1200380420=400，由分层抽样原理，应抽取名故答案为：40【点评】本题考查分层抽样
21、，分层抽样过程中，每个个体被抽到的概率相等，在总体个数，样本容量和每个个体被抽到的概率这三个量中，可以知二求一14甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为，甲获胜的概率是，甲不输的概率【考点】互斥事件的概率加法公式【专题】概率与统计【分析】甲获胜和乙不输是对立互斥事件，甲不输与乙获胜对立互斥事件，根据概率公式计算即可【解答】解：甲获胜和乙不输是对立互斥事件，甲获胜的概率是1（）=，甲不输与乙获胜对立互斥事件甲不输的概率是1=，故答案为：，【点评】本题考查了对立互斥事件的概率公式，属于基础题15若“x，mtanx”是真命题，则实数m的取值范围是，mtanx”是真命题，则mtan=1，
22、即m1，故答案为：【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】方程思想；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则2=，=k代入椭圆方程可得：=1，=1相减化简整理即可得出【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则2=，=k代入椭圆方程可得：=1，=1+=0，=0，解得k=直线AB的方程为：y1=（x2），化为：x+2y4=0故答案为：x+2y4=0【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分17（14分）椭圆的两个焦点的坐标分别
23、为F1（2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，）（1）求椭圆标准方程（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设椭圆的标准方程为+=1（ab0），结合两点之间距离公式，求出2a，进而求出b，可得椭圆标准方程（2）由（1）中椭圆标准方程，可得椭圆长轴长、短轴长、离心率【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为+=1（ab0），则2a=+=2，即a=，又c=2，b2=a2c2=6，故椭圆的标准方程为：+=1，（2）由（1）得：椭圆的长轴长：2， 短轴长2， 离心率e=【点评】本题考查的知识点是椭圆的简单性
24、质，椭圆的标准方程，难度中档18（14分）已知圆心为C的圆经过点A（1，1），B（2，2），且圆心C在直线l：xy+1=0上（1）求圆C的标准方程（2）求过点（1，1）且与圆相切的直线方程【考点】圆的切线方程【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】（1）设圆心C（a，a+1），根据CA=CB，可得（a1）2+（a+11）2=（a2）2+（a+1+2）2，解得a的值，可得圆心的坐标和半径CA，从而得到圆C的方程（2）求出切线的斜率，可得过点（1，1）且与圆相切的直线方程【解答】解：（1）圆心C在直线l：xy+1=0上，设圆心C（a，a+1），圆C经过点A（1，1）和B（2，2），CA=
25、CB，（a1）2+（a+11）2=（a2）2+（a+1+2）2，解得a=3，圆心C（3，2），半径CA=5，圆C的方程为 （x+3）2+（y+2）2=25（2）因为点A（1，1）在圆上，且kAC=所以过点（1，1）切线方程为y1=（x1），化简得4x+3y7=0【点评】本题主要考查求圆的标准方程，两个圆的位置关系的判断方法，属于中档题19（14分）连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额利润资料如表：商品名称ABCDE销售额x/千万元35679利润额y/百万元23345（1）画出销售额和利润额的散点图（2）若销售额和利润额具有相关关系，试计算利润额y对销售额x的回归直线方程（3）估计要达到100
26、0万元的利润额，销售额约为多少万元（参考公式：=，=x）【考点】线性回归方程【专题】对应思想；待定系数法；概率与统计【分析】（1）根据表中所给的数对，在平面直角坐标系中画出散点图即可；（2）求出对应的数值、以及n、xiyi、和n，代入公式即可求出回归直线方程的系数与方程；（3）根据题意，令=10，求出x的值即可【解答】解：（1）根据表中所给的五对数对，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示；（2）=6，=，n=56=102，xiyi=32+53+63+74+95=112，=32+52+62+72+92=200，n=562=180，=0.5，=0.56=0.4，利润额y对销售额x的回归直线方程是
27、=0.5x+0.4（3）根据题意，令=0.5x+0.4=10，解得x=19.2（千万元），销售额约为19.2千万元【点评】本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，解题的关键是先判断出两组数据具有线性相关关系，利用公式求出线性回归方程，是基础题目20（14分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后画出如图部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分【考点】频率分布直方图【专题】计算题；图表型【分析】（1）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组
28、的频率，根据频率的和等于1建立等式解之即可；（2）60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，从而求出抽样学生成绩的合格率，再利用组中值估算抽样学生的平均分即可【解答】解：（）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1（0.025+0.015*2+0.01+0.005）*10=0.3（）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%利用组中值估算抽样学生的平均分45f1+55f2+65f3+75f4+85f5+95f6=450.1+550.15+650.15+750.3+850.2
29、5+950.05=71估计这次考试的平均分是71【点评】本题主要考查了频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识21（14分）已知椭圆C：，的离心率为，A、B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且（）求椭圆的方程；（）过（1，0）的直线l与椭圆交于P、Q两点，求POQ的面积的最大时直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】综合题【分析】（）根据离心率为，建立方程组，求得椭圆的基本量，从而可得椭圆的方程；（）方法一：设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去y，表示
30、出POQ的面积，利用基本不等式求得结论方法二：设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，消去x，表示出POQ的面积，利用基本不等式求得结论【解答】解：（）设椭圆的半焦距为c，则，解得，所以椭圆的方程为（）方法一：设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，则当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x+1）（k0），联立椭圆方程，得（4k2+1）x2+8k2x+4（k21）=0，两个根为x1，x2，则（k0），又原点到直线l的距离d=，所以（k0）=所以，当直线l的方程为x=1时，POQ面积最大方法二：设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，则当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x+1）（k0），联立椭圆方程，得，两个根为y1，y2，0恒成立，=所以，当直线l的方程为x=1时，POQ面积最大【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确表示三角形的面积是关键- 22 -