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1、2015-2016学年河南省信阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的。1下列给出的赋值语句中正确的是( )A3=ABM=MCB=A=2Dx+y=02设aR，则a1是1的( )A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知命题p：xR，使tanx=1，其中正确的是( )Ap：xR，使tanx1Bp：xR，使tanx1Cp：xR，使tanx1Dp：xR，使tanx14从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A恰有1个黑球与恰有2个黑球B至少有一个黑球与都是黑球C至少有一个
2、黑球与至少有1个红球D至多有一个黑球与都是黑球5某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A分层抽样法，系统抽样法B分层抽样法，简单随机抽样法C系统抽样法，分层抽样法D简单随机抽样法，分层抽样法6某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为( )ABCD7下图是把二进制的数11111（2）化成十进制数
3、的个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )Ai4Bi5Ci4Di58若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是( )Ak=或1k1Bk或kCkDk=9已知函数f（x）=x6+1，当x=x0时，用秦九韶算法求f（x0）的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )A21，6，2B7，1，2C0，1，2D0，6，610我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，abc0）如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若F0F1F2是边长为1的等边三角，则a，b的值分别为( )ABC5，3D5，411函数f（
4、x）=x2x2，x，在定义域内任取一点x0，使f（x0）0的概率是( )ABCD12从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是( )ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13对于“很可能发生的”，“一定发生的”，“可能发生的”，“不可能发生的”，“不太可能发生的”这5种生活现象，发生的概率由大到小排列为（填序号）_14向面积为S的ABC内任投一点P，则PBC的面积小于的概率为_15三个数324，243，135的最大公约数_16已知ABC的周长为20，且顶点B（0，4），C（0，
5、4），则顶点A的轨迹方程为：_三、解答题：请写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17题为10分，其它试题为12分。17设命题p：xR，x22xa；命题q：如果命题“pq”为真，“pq”为假，求实数a的取值范围18为响应国家号召开展“社会实践活动”，某校高二（8）班学生对本县住宅楼房屋销售价格y和房屋面积x的统计有关数据如下：房屋面积（m）11511080135105销售价格（万元）24.821.618.429.222（可能用到的公式：）b=，a=b（）画出数据对应的散点图；（）设线性回归方程为=bx+a，已计算得b=0.196，=23.2，计算及a；（）某同学家人计划在本县购置一套面积为诶12
6、0m2的房子，且一次付清，根据（）的结果，估计房屋的销售价格19PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天（）求恰有一天空气质量超标的概率；（）求至多有一天空气质量超标的概率20县政府组织500人参加卫生城市创
7、建“义工”活动，按年龄分组所得频率分布直方图如下图，完成下列问题：组别25，30）30，35）35，40）40，45）45，50）人数5050a150b（1）如表是年龄的频数分布表，求出表中正整数a、b的值；（2）现在要从年龄较小的第1、2、3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1、2、3组的各抽取多少人？（3）在第（2）问的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区活动，求至少有1人年龄在第3组的概率21有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4（1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则
8、为平局），求甲获胜的概率；（2）摸球方法与（）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？22在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于（）求动点P的轨迹方程；（）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由2015-2016学年河南省信阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的。1下列给出的赋值语句中正确的是( )A3=ABM=MCB=A=2Dx
9、+y=0【考点】赋值语句【专题】阅读型【分析】本题根据赋值语句的定义直接进行判断【解答】解：根据题意，A：左侧为数字，故不是赋值语句B：赋值语句，把M的值赋给MC：连等，不是赋值语句D：不是赋值语句，是等式，左侧为两个字母的和【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义的把握直接进行判断即可属于基础题2设aR，则a1是1的( )A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】由a1，一定能得到 1但当 1时，不能推出a1 （如 a=1时），从而得到结论【解答】解：由a1，一定能得到 1但当 1时，不能推出a1
10、 （如 a=1时），故a1是1 的充分不必要条件，故选 A【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法3已知命题p：xR，使tanx=1，其中正确的是( )Ap：xR，使tanx1Bp：xR，使tanx1Cp：xR，使tanx1Dp：xR，使tanx1【考点】命题的否定【专题】常规题型【分析】根据命题“xR，使tanx=1”是特称命题，其否定为全称命题，将“”改为“”，“=“改为“”即可得答案【解答】解：命题“xR，使tanx=1”是特称命题命题的否定为：xR，使tanx1故选C【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问
11、题这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题4从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A恰有1个黑球与恰有2个黑球B至少有一个黑球与都是黑球C至少有一个黑球与至少有1个红球D至多有一个黑球与都是黑球【考点】互斥事件与对立事件【专题】证明题；转化思想；分析法；概率与统计【分析】依据互斥事件与对立事件的定义，以及它们的关系，判断【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况：恰有一个黑球，恰有两个黑球，没有黑球故恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对
12、立的事件，故选：A【点评】本题主要考查互斥事件与对立事件的定义，以及它们的关系，属于基础题5某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A分层抽样法，系统抽样法B分层抽样法，简单随机抽样法C系统抽样法，分层抽样法D简单随机抽样法，分层抽样法【考点】分层抽样方法；系统抽样方法【专题】应用题【分析】此题为抽样方法的选取问题当总体中个体较少时
13、宜采用简单随机抽样法；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样【解答】解：依据题意，第项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第项调查总体中个体较少，应采用简单随机抽样法故选B【点评】本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查6某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为( )ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】设“恰有一名女生当选”为事件A，“恰有两名女生当选”为事件B，显然A、B为互斥事件，利用互斥事件的概率公式即可求解【解答】解：设“恰有一名女生当选”为事件A，“恰有两名女
14、生当选”为事件B，显然A、B为互斥事件从10名同学中任选2人共有1092=45种选法（即45个基本事件），而事件A包括37个基本事件，事件B包括322=3个基本事件，故P=P（A）+P（B）=+=故选：B【点评】本题考查了古典概型与互斥事件相结合的问题，考查学生的计算能力，属于中档题7下图是把二进制的数11111（2）化成十进制数的个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )Ai4Bi5Ci4Di5【考点】循环结构【专题】图表型【分析】由题意输出的S=1+12+122+123+124，按照程序运行，观察S与i的关系，确定判断框内的条件即可【解答】解：由题意输出的S=1+12+122+123+12
15、4，按照程序运行：S=1，i=1；S=1+12，i=2；S=1+12+122，i=3；S=1+12+122+123，i=4；S=1+12+122+123+124，i=5，此时跳出循环输出结果，故判断框内的条件应为i4故选A【点评】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题8若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是( )Ak=或1k1Bk或kCkDk=【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；数形结合；综合法；直线与圆【分析】曲线x=表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部分）当直线y=x+k经过点A、B时，分别求得k的值，再求出当直线y=x+k和半
16、圆相切时k的值，数形结合求得k的范围【解答】解：曲线x=，即x2+y2=1 （x0），表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部分）如图，A（0，1）、B（1， 0）、C（0，1），当直线y=x+k经过点A时，1=0+k，求得 k=1；当直线y=x+k经过点B、点C时，0=1+k，求得 k=1；当直线y=x+k和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得1=，求得k=，或k=（舍去），故要求的实数k的范围为k=或1k1故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题9已知函数f（x）=x6+1，当x=x0时，用秦九
17、韶算法求f（x0）的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )A21，6，2B7，1，2C0，1，2D0，6，6【考点】秦九韶算法【专题】阅读型；规律型；算法和程序框图【分析】观察所给的多项式的最高次项的次数，求多项式的乘法运算的次数与最高次项的指数相同，若多项式中含有常数项，则所进行的加法的次数与乘法的次数相同，得到结果【解答】解：f（x）=6x6+5，多项式的最高次项的次数是6，要进行乘法运算的次数是6，多项式中含有常数项，加法的次数与乘法的次数相同为6，运算过程中不需要乘方运算，故选：D【点评】本题考查利用秦九韶算法求多项式的值时，所进行的乘法和加法的次数，是一个基础题，是一个算法案
18、例中的典型题目10我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，abc0）如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若F0F1F2是边长为1的等边三角，则a，b的值分别为( )ABC5，3D5，4【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题【分析】由题意可知求得c，再由求得b，最后由a2=b2+c2求得a【解答】解：，b=1，得，即，b=1故选A【点评】本题主要考查椭圆的性质属基础题11函数f（x）=x2x2，x，在定义域内任取一点x0，使f（x0）0的概率是( )ABCD【考点】几何概型【专题】计算题；转化思想；不等式的解法及
19、应用；概率与统计【分析】令f（x）=x2x20，解得：x，代入古典概型概率计算公式，可得答案【解答】解：令f（x）=x2x20，解得：x，故在定义域内任取一点x0，使f（x0）0的概率P=，故选：C【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题12从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是( )ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】依题意，可求得点P的坐标P（c，），由ABOPkAB=kOPb=c，从而可得答案【解答】解：依题意
20、，设P（c，y0）（y00），则+=1，y0=，P（c，），又A（a，0），B（0，b），ABOP，kAB=kOP，即=，b=c设该椭圆的离心率为e，则e2=，椭圆的离心率e=故选C【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得点P的坐标（c，）是关键，考查分析与运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13对于“很可能发生的”，“一定发生的”，“可能发生的”，“不可能发生的”，“不太可能发生的”这5种生活现象，发生的概率由大到小排列为（填序号）【考点】概率的意义【专题】计算题；整体思想；分析法；概率与统计【分析】事件的发生的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小
21、【解答】解：根据可能性大小的判断，将这些现象按发生的可能性由小到大排列：一定发生，很可能发生，可能发生，不太可能发生，不可能发生故答案为：【点评】本题考查可能性大小，必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间14向面积为S的ABC内任投一点P，则PBC的面积小于的概率为【考点】几何概型【专题】计算题【分析】首先分析题目求在面积为S的ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积小于 的概率，即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么再根据几何关系求解出它们的比例即可【解答】解：记事件A=PBC的面积小于 ，基本
22、事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的 ，所以P（A）=故答案为：【点评】本题主要考查了几何概型由这个题目可以看出，解决有关几何概型的问题的关键是认清基本事件空间是指面积还是长度或体积，同学们需要注意15三个数324，243，135的最大公约数27【考点】用辗转相除计算最大公约数【专题】计算题；算法和程序框图【分析】利用辗转相除法，求出三个数的最大公约数即可【解答】解：324=2431+81，243=813+0，324与243的最大公约数为81，又135=811+54，81=541+27，54=2
23、72+0，81与135的最大公约数为27，三个数324，243，135的最大公约数为27，故答案为：27【点评】此题考查了用辗转相除计算最大公约数，熟练掌握辗转相除法是解本题的关键16已知ABC的周长为20，且顶点B（0，4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程为：+=1（x0）【考点】轨迹方程【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点【解答】解：ABC的周长为20，顶点B （0，4），C （0，4），BC=8，AB+AC=208=12
24、，128点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，a=6，c=4b2=20，椭圆的方程是+=1（x0）故答案为：+=1（x0）【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点三、解答题：请写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17题为10分，其它试题为12分。17设命题p：xR，x22xa；命题q：如果命题“pq”为真，“pq”为假，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】分类讨论；综合法；简易逻辑【分析】分别求出关于p，q成立的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解：
25、关于命题p：xR，x22xa，a（x1）21，a1，故命题p为真时，a1；关于命题q：，=4a24（2a）0，a2+a20，a1或a2，如果命题“pq”为真，“pq”为假，则p，q一真一假，p真q假时：，解得：2a1，p假q真时：，解得：a1，综上：a（2，1）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【专题】计算题；整体思想；分析法；概率与统计【分析】（1）根据频率分布直方图，求出第3、5组的人数，（2）再计算用分层抽样方法在各组应抽取的人数，（3）利用列举法求出从从这6人中随机抽取2人参加社区活动，至少有1人年龄在第3组，求出对应的概率即可【解答】解：（1）由图可知，年龄
26、在故P（乙胜）=不公平答：（1）甲获胜的概率；（2）不公平【点评】本题考查概率的意义和用列举法来列举出所有的事件数，本题解题的关键是不重不漏的列举出所有的事件数22在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于（）求动点P的轨迹方程；（）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由【考点】轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线A
27、P与BP的斜率，再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；（）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得【解答】解：（）因为点B与A（1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，1）设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x1）故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x1）（）解：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则因为sinAPB=sinMPN，所以所以=即（3x0）2=|x021|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题 - 19 -