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1、专题专题 3 3数列与递推数列与递推【高考趋势】近几年高考中，数列问题除在小题中有两题左右外，大题常在最后两题之一的位置。小题一般为概念性问题，只要掌握等差、等比的基本属性便能解决，而大题的综合性较强，常从数列的递推关系式入手，化归为等差或等比数列，求出其通项公式，再进一步研究其和，构造不等式等，在证明不等式时，常利用函数的思想解决有关问题。【考点展示】1、等比数列an的前 n 项和为 Sn=3n+1-a，则实数 a 的值为。2、等差数列an中，a1=1，a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n 等于。3、若 f(n)=1+(nN*)，则按此形式写出 f(1)的表达式应有 f(1
2、)=(不必算出最后结果)4、设an为公比 q1 的等比数列，若 a2004和 a2005是方程 4x2-8x+3=0 的两根，则 a2006+a2007=5、在等差数列an中，a5=4,a7=-2，则|a1|+|a2|+|a10|=【样题剖析】例 1、设an是公比大于 1 的等比数列，Sn为数列an的前 n 项和，已知 S3=7，且 a1+3,3a2,a3+4构成等差数列。（1）求数列an的通项公式；（2）令 bn=lna3n+1,nN*，求数列bn的前 n 项和 Tn。例 2、已知各项均为正数的数列an的前 n 项和满足 Sn1，且 6Sn=(an+1)(an+2),nN*。（1）求an的通
3、项公式；（2）设数列bn满足 an(2bn-1)=1，并记 Tn为bn的前 n 项和，求证：3Tn+1log2(an+3),nN*。例 3、在数列an中，a1=2,an+1=an+n+1+(2-)2n(nN*)，其中0。（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前 n 项和 Sn；（3）证明：存在 kN*，使得对任意 nN*均成立。例 4、已知函数 f(x)=x2-4，设曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线与 x 轴的交点（xn+1,0）(nN*),其中 xn为正实数。（1）用 xn表示 xn+1；（2）若 x1=4,记 an=lg,求证：数列an成等比数列，并求数列xn的通项
4、公式；（3）若 x1=4,bn=xn-2,Tn是数列bn的前 n 项和，求证：Tn3（nN*）.【总结提炼】1、数列的基本问题还是等差与等比数列问题，高考命题一般还是围绕它们来命题，学会用基本量求解运算是一种通性通法，应熟练掌握。2、数列可视为一种特殊的函数，因此很多数列问题又可用函数的观点与方法解决，如例 2就是利用函数思想，研究函数的单调性而使问题得以解决的。3、数列的问题除一些定量计算外，常还需对有限项或无限项的和进行估计，从而形成不等问题，而化归为等差或等比数列求和是根本思想。【自我测试】1、设数列an是递增的等差数列，若前三项的和为 15、积为 80，则它的首项等于。2、在等比数列a
5、n中，若前 n 项和 Sn=25，前 2n 项和 S2n=100，则前 3n 和 S3n等于3、设等差数列an的公差 d 不为 0，a1=9d，若 ak与 a2k的等比中项，则 k 等于4、等差数列an中，首项 a10，3a7=7a12,记 Sn为该数列的前 n 项和，则数列Sn中最大的项为第项。5、若一个等差数列的前 3 项和为 34，最后 3 项的和为 146，所有项的和为 780，则这个数列的项数为。6、若 f(x)=,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得 f(-4)+f(-3)+f(0)+f(4)+f(5)=7、等比数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3
6、S3成等差数列，则an的公比为。8、已知实数列an是等比数列，其中 a7=1,且 a4,a5+1,a6成等差数列。（1）求数列an的通项公式；（2）数列an的前 n 项和记为 Sn，证明：Sn128(n=1,2,3,)9、已知数列an中相邻两项 a2k-1和 a2k是关于 x 的方程 x2-(3k+2k)x+3k2k=0 的两个根，且a2k-1a2k(k=1,2,3,)（1）求 a1,a3,a5,a7及 a2n(n4)（不必证明）；（2）求数列an的前 2n 和 S2n。10、设数列an的首项 a1(0,1),an=,n=2,3,4,(1)求an的通项公式；（2）设 bn=an，证明：bnbn+1，其中 n 为正整数。