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1、最全的转动惯量的计算第1页，共25页，编辑于2022年，星期六例题例题1 求质量为求质量为m，长为，长为l的均匀细棒对下面转轴的转的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；转轴通过棒的中心并和棒垂直；(2)转转轴通过棒的一端并和棒垂直。轴通过棒的一端并和棒垂直。有有将将代入上式，得：代入上式，得：解：解：(1)在棒上离轴在棒上离轴x处，取一长度元处，取一长度元dx（如图所示）（如图所示），如果棒的质量线密度为，如果棒的质量线密度为，则长度元的质量为，则长度元的质量为dm=dx，根据转动惯量计算公式：，根据转动惯量计算公式：第2页，共25页，编辑于2022年，星期
2、六（2）当转轴通过棒的一端）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时并与棒垂直时OAldxx第3页，共25页，编辑于2022年，星期六例题例题2）半径为）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质量的质量均匀分布的细圆环，质量均为均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂直的转，试分别求出对通过质心并与环面垂直的转轴的转动惯量。轴的转动惯量。R第4页，共25页，编辑于2022年，星期六例题例题3 求质量为求质量为m、半径为、半径为R、厚为、厚为h的均质圆盘对的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。dm为薄圆环的质量。以为薄圆环的质量。以 表示圆盘的质量体密度表示圆盘的质
3、量体密度解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为径为r，宽度为，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转动惯量为的薄圆环，此薄圆环的转动惯量为第5页，共25页，编辑于2022年，星期六代入得代入得J与与h无关无关一个质量为一个质量为m、半径为、半径为R的实心圆柱体对其中心轴的实心圆柱体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。的转动惯量也与上述结果相同。第6页，共25页，编辑于2022年，星期六例例4）求一质量为）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径为轴的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。的转动惯量。解：一球绕解：一球绕Z轴旋转，离球心轴旋转
4、，离球心Z高处切一厚为高处切一厚为dz的薄圆盘。其的薄圆盘。其半径为半径为其体积：其体积：其质量：其质量：其转动惯量：其转动惯量：YXZORrd ZZ第7页，共25页，编辑于2022年，星期六第8页，共25页，编辑于2022年，星期六（2 2）薄板的正交轴定理）薄板的正交轴定理yxzo（1 1）平行轴定理）平行轴定理dJCJDC第9页，共25页，编辑于2022年，星期六常见刚体的转动惯量常见刚体的转动惯量第10页，共25页，编辑于2022年，星期六解解解解:受力分析受力分析受力分析受力分析取任一状态取任一状态,由转动定律由转动定律例题例题1 1 一长为一长为l,质量为质量为m的匀质细杆竖直放置
5、的匀质细杆竖直放置,其其下端与一固定铰链下端与一固定铰链o o相连相连,并可绕其转动并可绕其转动.当其受当其受到微小扰动时到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止开细杆将在重力的作用下由静止开始绕铰链始绕铰链o o转动转动.试计算细杆转到与铅直线呈试计算细杆转到与铅直线呈角角时的角加速度和角速度时的角加速度和角速度.Po第11页，共25页，编辑于2022年，星期六初始条件为：初始条件为：=0，=0 第12页，共25页，编辑于2022年，星期六例题例题2 一个质量为一个质量为M，半径为，半径为R的定滑轮（当作均的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一
6、端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体摩擦，求物体m由静止下落由静止下落h高度时的速度和此时高度时的速度和此时滑轮的角速度。滑轮的角速度。对物体对物体m，由牛顿第二定律，由牛顿第二定律，滑轮和物体的运动学关系为滑轮和物体的运动学关系为解解：对对定定滑滑轮轮M，由由转转动动定定律律，对对于于轴轴O，有，有第13页，共25页，编辑于2022年，星期六物体下落高度物体下落高度h时的速度时的速度这时滑轮转动的角速度这时滑轮转动的角速度以上三式联立，可得物体下落的加速度为以上三式联立，可得物体下落的加速度为第14页，共25页，编辑
7、于2022年，星期六圆柱对质心的转动定律：圆柱对质心的转动定律：纯滚动条件为：纯滚动条件为：圆柱对质心的转动惯量为：圆柱对质心的转动惯量为：例题例题3 一质量为一质量为m、半径为、半径为R的均质圆柱，在水平的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示。，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。lFacb f解解：设设静静摩摩擦擦力力f的的方方向向如如图图所所示，则由质心运动方程示，则由质心运动方程第15页，共25页，编辑
8、于2022年，星期六联立以上四式，解得：联立以上四式，解得：由此可见由此可见，静摩擦力向前。，静摩擦力向前。时，时，当当02 fRl，静摩擦力向后；，静摩擦力向后；时，时，当当02 fRl第16页，共25页，编辑于2022年，星期六例一静止刚体受到一等于例一静止刚体受到一等于M M0 0（N.m)N.m)的不变力矩的作用的不变力矩的作用,同时又引起一阻力矩同时又引起一阻力矩M M1 1，M1 M1与刚体转动的角速度成正与刚体转动的角速度成正比比,即即|M|M1 1|=|=a a(Nm),(a(Nm),(a为常数为常数)。又已知刚体对转轴。又已知刚体对转轴的转动惯量为的转动惯量为J,J,试求刚体
9、角速度变化的规律。试求刚体角速度变化的规律。M+M0M1已知：已知：M0M1=a J|t=0=0求：求：（t）=？解：解：1）以刚体为研究对象；）以刚体为研究对象；2）分析受力矩）分析受力矩3）建立轴的正方向；）建立轴的正方向；4）列方程：）列方程：J第17页，共25页，编辑于2022年，星期六M+M0M1=a 解：解：4）列方程：）列方程：分离变量：分离变量：第18页，共25页，编辑于2022年，星期六例）设一细杆的质量为例）设一细杆的质量为m，长为，长为L，一端支以枢，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求：1 1）当杆与铅直方向成）当
10、杆与铅直方向成 角时的角加速度：角时的角加速度：2 2）当杆过铅直位置）当杆过铅直位置时的角速度：时的角速度：3)3)当杆过铅直位置当杆过铅直位置时，轴作用于杆上的力。时，轴作用于杆上的力。已知已知：m，L求求：，N解解：1）以杆为研究对象以杆为研究对象 受力：受力：mg，N（不产生（不产生对轴的力矩）对轴的力矩）建立建立OXYZ坐标系坐标系 ZNmgYX OL第19页，共25页，编辑于2022年，星期六建立建立OXYZOXYZ坐标系（并以坐标系（并以Z Z轴为转动量的正方向）轴为转动量的正方向）ZmgYX ON故取正值。故取正值。沿沿Z轴正向，轴正向，L第20页，共25页，编辑于2022年，
11、星期六2）=？两边积分：两边积分：ZmgYX ON 第21页，共25页，编辑于2022年，星期六2）=？3）求）求N=？轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质心的轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质心的运动，故考虑用质心运动定理来解。运动，故考虑用质心运动定理来解。ZmgYXON 第22页，共25页，编辑于2022年，星期六ZNmgmgNNYNX3）求）求N=？写成分量式：写成分量式：CYXONC求求N，就得求，就得求，即，即C点的点的加速度，现在加速度，现在C点作圆周运动，点作圆周运动，可分为切向加速度和法向加速可分为切向加速度和法向加速度但对一点来说，只有一个加度但对一点来说，只有一个加速度。故这时：速度。故这时：.实际上正是质心的转动的切向加速度实际上正是质心的转动的切向加速度.实际上正是质心的转动的法向加速度实际上正是质心的转动的法向加速度第23页，共25页，编辑于2022年，星期六ZNmgYXONC由角量和线量的关系由角量和线量的关系:第24页，共25页，编辑于2022年，星期六代入代入(1)(1)、（、（2 2）式中：）式中：ZNmgYXONC第25页，共25页，编辑于2022年，星期六