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1、第一节数列的极限本讲稿第一页，共三十六页1 1、数列的定义、数列的定义2.1.数列的极限数列的极限例例:本讲稿第二页，共三十六页数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点可看作一动点在数轴上依次取点在数轴上依次取点:数列是整标函数数列是整标函数数列的几何意义数列的几何意义.子列的概念子列的概念:本讲稿第三页，共三十六页“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，则以至于不可割，则与圆周合体而无所与圆周合体而无所失矣失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽S=S=2、数列的极限数列的极限本讲稿第四页，共三十六页本讲稿第五页，共三十六页正六边形的面积正六边
2、形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积本讲稿第六页，共三十六页n=19n=32n=42n=50本讲稿第七页，共三十六页问题问题:1)当当 n 无限增大时无限增大时,数列数列 xn 是否无限接近于某一确定是否无限接近于某一确定的数值的数值?如果是如果是,如何用数学语言描述如何用数学语言描述?2)“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它.本讲稿第八页，共三十六页随着随着n的增加，的增加，1/n会越来越小。会越来越小。我们可用两个数之间的我们可用两个数之间的“距离距离”来刻划两个数的接近程来刻划两个数的接近程度度本讲稿第九页，共三十六
3、页只要只要n无限增大，无限增大，xn 就会与就会与1无限靠近。无限靠近。引入符号引入符号N和和 来刻划无限增大和无限接近。来刻划无限增大和无限接近。本讲稿第十页，共三十六页如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注：注：本讲稿第十一页，共三十六页几何解释几何解释:本讲稿第十二页，共三十六页 数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在。定义来证明极限的存在。证：证：本讲稿第十三页，共三十六页证：证：注注:用定义证明数列极限存在时用定义证明数列极限存在时,关键是从关键是从不等式出不等式出发发,由由0,0,
4、找到使找到使不等式成立的不等式成立的N(N(并不在乎并不在乎N N是否最是否最小小).).本讲稿第十四页，共三十六页证：证：本讲稿第十五页，共三十六页证：证：本讲稿第十六页，共三十六页1.唯一性唯一性定理定理1 每个收敛的数列有且只有一个极限每个收敛的数列有且只有一个极限.证：证：由定义由定义,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.二、二、收敛数列的性质收敛数列的性质本讲稿第十七页，共三十六页2.有界性有界性例如例如,有界；有界；无界。无界。数列数列xn有上界有上界,即存在即存在M,使得使得xnM(n=1,2,)。数列数列xn有下界有下界,即存在即存在m,使得使得xn m(n=1,2,)。本讲
5、稿第十八页，共三十六页定理定理2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证：证：由定义由定义,有界性是数列收敛的必要非充分条件。有界性是数列收敛的必要非充分条件。本讲稿第十九页，共三十六页发散数列判别法发散数列判别法:1.无界数列必定发散无界数列必定发散.2.一子列发散一子列发散,则数列发散则数列发散.3.两子列收敛到不同的极限两子列收敛到不同的极限,则数列发散则数列发散.例例:证证本讲稿第二十页，共三十六页3.保号性保号性证：证：本讲稿第二十一页，共三十六页4.保不等式性保不等式性证：证：由定义由定义,由此可得由此可得本讲稿第二十二页，共三十六页5.迫敛性迫敛性证：证：上两式同时成立上两式同
6、时成立,本讲稿第二十三页，共三十六页解解:由迫敛性由迫敛性本讲稿第二十四页，共三十六页解：解：因此，由迫敛性定理因此，由迫敛性定理本讲稿第二十五页，共三十六页证：证：而而结论成立。结论成立。由迫敛性由迫敛性本讲稿第二十六页，共三十六页解：解：由迫敛性由迫敛性本讲稿第二十七页，共三十六页解：解：由迫敛性由迫敛性本讲稿第二十八页，共三十六页三、数列极限的四则运算三、数列极限的四则运算 注注:以上法则仅适合有限项数列的极限运算以上法则仅适合有限项数列的极限运算.本讲稿第二十九页，共三十六页例例本讲稿第三十页，共三十六页1.单调有界准则单调有界准则单调增加单调增加单调减少单调减少单调数列单调数列几何解
7、释几何解释:四、数列收敛判别准则四、数列收敛判别准则本讲稿第三十一页，共三十六页证：由证：由及及知知设对某正整数设对某正整数k有有则有则有故由归纳法，对一切正整数故由归纳法，对一切正整数n，都有，都有解得解得所以所以本讲稿第三十二页，共三十六页证：证：(舍去舍去)本讲稿第三十三页，共三十六页数列由递推关系给出时，求极限或证明极限存在，往数列由递推关系给出时，求极限或证明极限存在，往往往 用单调有界准则。用单调有界准则。1)有界性的证明一般有如下几种方法：有界性的证明一般有如下几种方法：根据已知条件推断出有界；根据已知条件推断出有界；通过观察找出界，并用归纳法证明；通过观察找出界，并用归纳法证明
8、；先求出极限，根据极限求出界，并用归纳法证明先求出极限，根据极限求出界，并用归纳法证明2)单调性的证明单调性的证明 一般有如下几种方法：一般有如下几种方法：用观察法用观察法.如：单增情况如：单增情况 。根据第一、第二项的大小关系，确定单调性，并用根据第一、第二项的大小关系，确定单调性，并用 归纳法证明归纳法证明.注注本讲稿第三十四页，共三十六页2.柯西收敛准则柯西收敛准则柯西收敛准则表明：收敛数列各项的值愈到后面，柯西收敛准则表明：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至于充分大后面的任何两项之差彼此愈是接近，以至于充分大后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。的绝对值可小于预先给定的任意小正数。柯西准则在无需借助数列以外的数，就可以根据数柯西准则在无需借助数列以外的数，就可以根据数列本身的特征鉴别其敛散性。列本身的特征鉴别其敛散性。本讲稿第三十五页，共三十六页数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、唯一性、有界性、保号性、保不保不等式性；等式性；三个准则：三个准则：迫敛性准则、单调有界准则、迫敛性准则、单调有界准则、柯西准则柯西准则.主要内容小结：主要内容小结：本讲稿第三十六页，共三十六页