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1、数据处理与试验设计第1页，共84页，编辑于2022年，星期六武器的发展方向是大型化还是高精度武器的发展方向是大型化还是高精度?三峡大坝能够承受多大的攻击强度三峡大坝能够承受多大的攻击强度?大型飞机的安全性能大型飞机的安全性能?为什么发射人造卫星要用三级火箭为什么发射人造卫星要用三级火箭?需要建立数学模型加以论证，为决策者提供理论依据需要建立数学模型加以论证，为决策者提供理论依据第2页，共84页，编辑于2022年，星期六数据处理和试验设计数据处理和试验设计直接目的直接目的-建立数学模型建立数学模型最终目的最终目的(根本目的根本目的)-预测和控制预测和控制第3页，共84页，编辑于2022年，星期六
2、模型、数学模型的概念、分类模型、数学模型的概念、分类实际问题如何进行一些必要的简化和假设实际问题如何进行一些必要的简化和假设建模建模-科研人员必备的素质科研人员必备的素质运用数学工具得到运用数学工具得到-数学结构数学结构，在通过数学上的结构揭示在实际问题中的含义，在通过数学上的结构揭示在实际问题中的含义数学模型在数学模型在科技工程科技工程中的作用中的作用建模实例建模实例-说明建立数学模型的一般步骤和原理说明建立数学模型的一般步骤和原理第4页，共84页，编辑于2022年，星期六模型研究（个别直接研究真实对象）模型研究（个别直接研究真实对象）科学的发展是离不开数学的，数学模型在其中又起着重要的作用
3、科学的发展是离不开数学的，数学模型在其中又起着重要的作用科学（自然科学科学（自然科学+社会科学）研究社会科学）研究观察与观测观察与观测理论研究理论研究通过对模型的研究来阐明真实世界的客观规律通过对模型的研究来阐明真实世界的客观规律忽忽略略一一些些次次要要因因素素的的一一种种近近似似写写照照第5页，共84页，编辑于2022年，星期六牛顿牛顿-力学法力学法(数学模型数学模型)用单纯的数学式表示自然法则用单纯的数学式表示自然法则求解求解与实验和观测结果相比较与实验和观测结果相比较科科学学的的本本质质是是数数学学第6页，共84页，编辑于2022年，星期六物体机械运动的基本客观规律物体机械运动的基本客观
4、规律牛顿三定律牛顿三定律电路理论的基本规律电路理论的基本规律基尔霍夫定律基尔霍夫定律社会再生产的基本规律社会再生产的基本规律I(V+m)IIc反映某一类现象客观规律的数学式子就是这些现象的数学模型反映某一类现象客观规律的数学式子就是这些现象的数学模型第7页，共84页，编辑于2022年，星期六一个学科的内容能用数学来分析和表示一个学科的内容能用数学来分析和表示是该学科是该学科精密化和科学化精密化和科学化的一种表现的一种表现数学模型数学模型有效工具有效工具可以深刻地认识客现现象的本质可以深刻地认识客现现象的本质预测和控制预测和控制促进科学的发展促进科学的发展地球上自然环境与人类社会和谐共存地球上自
5、然环境与人类社会和谐共存第8页，共84页，编辑于2022年，星期六随随着着电电子子计计算算机机的的问问世世与与发发展展，许许多多学学科科的的计计算算分分支支都都在在迅迅速速发发展展，如如计计算算物物理理学学、计计算算化化学学等等分分支支的的出出现现和和发发展展，导导致致需需要要建建立立有有关关系系统统的的数数学学模模型型。目目前前，在在许许多多领领域域中中，要要对对有有关关问问题题进进行行计计算算，必必须须先先建建立立问问题题的的数数学学模模型型，没没有有数数学学模模型型，计计算算就就不不可可能能进进行行。也也可可以以这这样样认认为为：今今天天，没没有有数数学学模模型型，许许多多基基本本的的生
6、生产产活动便无法进行，更不要说计算机的应用。活动便无法进行，更不要说计算机的应用。第9页，共84页，编辑于2022年，星期六 数数学学模模型型现现在在已已越越来来越越受受到到人人们们的的重重视视，这这不不仅仅是是因因为为数数理理等等学学科科应应用用它它，而而且且工工程程学学等等领领域域也也视视其其为为一一种种重重要要的的方方法法。在在工工程程学学领领域域，以以前前认认为为实实验验方方法法是是至至高高无无尚尚的的，但但现现在在已已把把数数学学模模型型视视为为与与实实验验同同等等重重要要，甚甚至至是是更更好好的的一一种种方方法法。随随着着科科学学技技术术的的进进步步，数数学学模模型在工程技术上所起
7、的作用也日益增大。型在工程技术上所起的作用也日益增大。工程技术与数学模型工程技术与数学模型第10页，共84页，编辑于2022年，星期六从设计上来看，要进行理论设计首先要建立生产过程正确的数从设计上来看，要进行理论设计首先要建立生产过程正确的数学模型，否则会给设计以及生产带来很大的损失。学模型，否则会给设计以及生产带来很大的损失。2002年年初初日日本本关关闭闭了了日日本本最最大大的的核核电电站站，其其主主要要原原因因为为发发现现设设计计时时的的数数学学模模型型存存在在重重大大缺缺陷陷，使使得得模模拟拟计计算算结结果果的的可可靠靠程程度度不不够够，不不能能承承受地震等的冲击而导致关闭。受地震等的
8、冲击而导致关闭。化化学学工工业业中中，需需要要通通过过建建立立模模型型、分分析析计计算算来来决决定定设设备备的的大大小小，原原料料的的数数量，调节温度等问题。量，调节温度等问题。第11页，共84页，编辑于2022年，星期六在在生生产产过过程程中中，为为了了分分析析和和改改进进生生产产中中出出现现的的问问题题，采采用用先先建建立立数数学学模模型型，然然后后在在计计算算机机上上进进行行模模拟拟计计算算的的办办法法来来代代替替实实验验，可可以以节节约约较较多多的的人人力力、财财力力和和时时间间，还还可可以以避避免免发发生生故故障障或或危危险险，甚甚至至完完成成实实验验不不可可能能完完成成的任务。的任
9、务。宇宇航航载载人人舱舱返返回回地地球球时时在在高高120千千米米的的大大气气层层上上空空以以11千千米米秒秒的的速速度度开开始始，仅仅用用30分分种种左左右右时时间间就就回回到到地地面面，若若用用风风洞洞来来实实验验，必必须须有有极极大大的的设设备备，这这实实际际上上无无法法实实现现，就就只只有有用用建建立立数数学学模模型型的的方方法法来解决。来解决。第12页，共84页，编辑于2022年，星期六现代各种控制过程基本上都是建立在模型基础上现代各种控制过程基本上都是建立在模型基础上随随着着科科学学技技术术日日益益发发展展，生生产产要要求求日日益益精精确确，在在设设计计、控控制制生生产产等等各各个
10、个环环节节都都越越来来越越多多地地需需要了解有关的数学模型。要了解有关的数学模型。第13页，共84页，编辑于2022年，星期六1.2数学模型及其分类数学模型及其分类在在自自然然科科学学、工工程程技技术术和和社社会会科科学学的的许许多多领领域域中中，定定量量的的系系统统分分析析，系系统统综综合合已已受受到到人人们们更更多多的的重重视视。模模型型是是开开展展这这些些工工作作的的有有效效工工具具，模模型型化化则则是是开开展展这这些些工工作作的前提和基础。的前提和基础。第14页，共84页，编辑于2022年，星期六一一切切客客观观存存在在的的事事物物及及其其运运动动形形态态统统称称为为实实体体，模模型型
11、是是对对实实体体的的特特征征及及其其变变化化规规律律的的一一种种表表示示或或者者抽抽象象，而而且且往往往往是是对对实实体体中中那那些些所所要要研研究究特特定定的的特特征征定定量量的的抽抽象象，可可以以说说，模模型型是是把把对对象象实实体体通通过过适适当当的的过过滤滤，用用适适当当的的表表现现规规则则描描绘绘出出的的简简洁洁的的模模仿仿品品，通通过过这这个个模模仿仿品品，人人们们可可以以了了解解到到所所研研究究实实体体的的本本质质，而而且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。且在形式上便于人们对实体进行分析和处理。第15页，共84页，编辑于2022年，星期六模型的模型的4个基本要求：个基本要求：
12、目的性、清晰性、准确性、经济性目的性、清晰性、准确性、经济性建模（模型化）：把实体建模（模型化）：把实体(对象对象)变为模型的过程变为模型的过程模模型型（按按表表达达形形式式分分）实体模型实体模型符号模型符号模型第16页，共84页，编辑于2022年，星期六实物模型实物模型(城市模型、作战沙盘、船舶模型城市模型、作战沙盘、船舶模型)模拟模型模拟模型(地图、电路图地图、电路图)模模型型（按按表表达达形形式式分分）实实体体模模型型(语语言言模模型型)符符号号模模型型数学模型数学模型结构模型结构模型仿真模型仿真模型化学、音乐、美术等学科的符号模型化学、音乐、美术等学科的符号模型自然语言表达的直观描述式
13、模型自然语言表达的直观描述式模型数学模型是发展最快，内容最丰富、最受人偏爱的一种数学模型是发展最快，内容最丰富、最受人偏爱的一种第17页，共84页，编辑于2022年，星期六数数学学模模型型：对对于于现现实实世世界界的的某某一一特特定定对对象象，为为了了某某个个特特定定目目的的，做做出出一一些些必必要要的的简简化化和和假假设设，运运用用适适当当的的数数学学工工具具得得到到的的一一个个数数学学结结构构。它它或或者者能能解解释释特特定定现现象象的的现现实实性性态态，或或者者能能预预测测对对象象的的未未来来状状态态，或或者者能能提提供供处处理理对对象象的的最最优优决决策策或或控控制制。在在这这里里，数
14、数学学模模型型被被看看成成是是一一个个能能实实现现某某个个特特定定目目标标的的有有用用工工具具。从从本本质质上上说说，数数学学模模型型是是一一个个以以“系系统统”概概念念为为基基础础的的，关关于于现现实实世世界界的的一一小小部部分分或或几几个个方方面抽象的面抽象的“映象映象”。第18页，共84页，编辑于2022年，星期六数学模型的特征数学模型的特征1.它它是是某某事事物物为为一一种种特特殊殊目目的的而而作作的的一一个个抽抽象象化化、简简单单化化的的数数学学结结构构，这这意意味味着着扬扬弃弃、筛筛选选，是是舍舍弃弃次次要要因因素素，突突出出主主要要因因素素的的主主要要结结果果；是是事事物物的的一
15、种模拟，虽源于现实，但非实际的原型，而又高于现实。一种模拟，虽源于现实，但非实际的原型，而又高于现实。2.是是数数学学上上的的抽抽象象，在在数数值值上上可可以以作作为为公公式式应应用用，可可以以推推广广到到与与原原物相近的一类问题。物相近的一类问题。3.可可以以作作为为某某事事物物的的数数学学语语言言，可可以以译译成成算算法法语语言言，编编写写程程序序输输入入计计算机进行运算。算机进行运算。通常所谓的处理事物和过程的模型化方法通常所谓的处理事物和过程的模型化方法往往就是建立数学模型来处理过程往往就是建立数学模型来处理过程第19页，共84页，编辑于2022年，星期六数学模型分类数学模型分类(按数
16、学模型的功能分按数学模型的功能分）定量模型与定性模型）定量模型与定性模型（按数学模型的目的）按数学模型的目的）理论研究模型、预期模型与优化模型理论研究模型、预期模型与优化模型（按数学模型变量之间的关系可分）代数模型、按数学模型变量之间的关系可分）代数模型、几何模型几何模型的和积分模型的和积分模型（按数学模型的结构可分）按数学模型的结构可分）分析模型、非分析模型的和分析模型、非分析模型的和图论模型图论模型第20页，共84页，编辑于2022年，星期六（按按数数学学模模型型所所研研究究对对象象的的特特性性）确确定定模模型型、随随机机模模型型；静静态态模模型型和和动动态态模模型型；连连续续模模型型和和
17、离离散散模模型型；线线性性模型和非线性模型模型和非线性模型（按按数数学学模模型型所所用用的的数数学学方方法法）初初等等模模型型，微微分分方方程程模模型型，优优化化模模型型，控控制制论论模模型型，逻逻辑辑模模型型，扩扩散模型散模型（按按数数学学模模型型研研究究对对象象的的实实际际领领域域）人人口口模模型型，交交通通模模型型，生生态态模模型型，生生理理模模型型，经经济济模模型型，社社会会模模型型，工工程系统模型程系统模型第21页，共84页，编辑于2022年，星期六按数学模型研究对象的了解程度可分为按数学模型研究对象的了解程度可分为白箱模型，白箱模型，灰箱模型灰箱模型和黑箱模型和黑箱模型第22页，共
18、84页，编辑于2022年，星期六建模实例建模实例 例例1.1万有引力定律万有引力定律历历史史背背景景15世世纪纪下下半半叶叶，人人类类社社会会发发展展到到了了一一个个新新阶阶段段，商商品品经经济济的的繁繁荣荣促促进进了了航航海海业业的的发发展展，哥哥伦伦布布、麦麦哲哲伦伦，扬扬帆帆远远航航，在在强强大大的的社社会会需需要要的的推推动动下下，天天文文观观测测的的精精确确程程度度不不断断提提高高。在在大大量量实实际际观观测测数数据据面面前前，一一直直处处于于天天文文学学统统治治地地位位的的“地地心心说说”开开始始动动摇摇了了，科科学学家家对对“地地心心说说”开开始始产产生生了了疑疑惑惑。哥哥白白尼
19、尼在在天天文文观观测测的的基基础础上上，冲冲破破宗宗教教统统治治和和“地地心心说说”的的束束缚缚，提提出出了了“日日心心说说”，这这是是天天文文学学乃乃至至整整个个科科学学的的一一大大革革命命。但但是是由由于于历历史史条条件件和和科科学学水水平平的的限限制制，他他的的理论尚有不少缺陷，如他认为行星绕太阳的运行轨道是圆形的。理论尚有不少缺陷，如他认为行星绕太阳的运行轨道是圆形的。第23页，共84页，编辑于2022年，星期六丹丹麦麦天天文文学学家家第第谷谷布布拉拉赫赫(TychoBrahe15461601)对对行行星星运运动动作作了了大大量量观观测测，积积累累了了20年年的的资资料料。他他的的助助
20、手手开开普普勒勒分分析析研研究究了了这这些些资资料料，运运用用数数学学工工具具，发发现现火火星星的的实实际际位位置置与与按按照照哥哥白白尼尼理理论论计计算算的的位位置置相相差差8弧弧分分。在在深深入入分分析析的的基基础础上上，于于1609年年归归纳纳出出开开普普勒勒第第一一、二二定定律律。为为了了寻寻求求行行星星运运动动周周期期与与轨轨道道尺尺寸寸的的关关系系，根根据据其其老老师师大大量量而而且且非非常常精精确确的的天天文文观观测测资资料料，反反复复研研究究，终终于于在在1619年年发发现现了了行行星星运运行行周周期期与与到到太太阳阳距距离离之之间间的的关关系系开开普普勒勒第第三三定定律律，这
21、这就就是是天天文文学学上上至至今今仍仍然然十十分分著著名名的的开开普普勒勒三三定定律：律：第24页，共84页，编辑于2022年，星期六(1)行行星星的的轨轨道道是是一一个个椭椭圆圆，太太阳阳位位于于其其中中一一个个焦焦点点上上(2)行行星星运运行行过过程程中中，行行星星和和太太阳阳的的连连线线在在单单位位时时间间内内扫扫过相等的面积过相等的面积(3)各各行行星星公公转转周周期期的的平平方方同同轨轨道道长长半半轴轴的的立立方方成成正正比比上上述述定定律律只只是是阐阐明明行行星星的的运运动动情情况况，但但并并没没有有解解释释为为什什么么这这样样运运动动。那那么么，是是什什么么力力量量作作用用在在行
22、行星星上上，使使它它的速度不断改变并保持在椭圆轨道上运动呢的速度不断改变并保持在椭圆轨道上运动呢?第25页，共84页，编辑于2022年，星期六牛牛顿顿认认为为一一切切运运动动都都有有其其力力学学原原因因，开开普普勒勒三三定定律律的的背背后后必必定定有有某某个个力力学学规规律律在在起起作作用用。他他要要构构造造一一个个模模型型加加以以解解释释。他他以以微微积积分分(当当时时称称流流数数法法)为为工工具具，在在开开普普勒勒三三定定律律和和牛牛顿顿力力学学第第二二定定律律的的基基础础上上，演演绎绎出出著著名名的的万万有有引引力力定定律律。这这一一定定律律成成功功地地定定量量解解释释了了许许多多自自然
23、然现现象象，为为其其后后一一系系列列的的观观测测和和实实验验数数据据所所证证实实，成成为为物物理理学学中中的的一一个个基本定律。基本定律。第26页，共84页，编辑于2022年，星期六万有引力定律的建立万有引力定律的建立 过程qO(太阳)uruq图1-1 极坐标系中的行星运行轨道qO(太阳)uruq图1-1 极坐标系中的行星运行轨道基本假设基本假设(1)行星的轨道是一个椭圆，行星的轨道是一个椭圆，太阳位于其中一个焦点上，则太阳位于其中一个焦点上，则其其轨道方程为：轨道方程为：raba为长半轴，为长半轴，b为短半轴，为短半轴，e为离心率为离心率 第27页，共84页，编辑于2022年，星期六(2)行
24、星运行过程中，行星和太阳的连线在单位时间内扫过相等的面行星运行过程中，行星和太阳的连线在单位时间内扫过相等的面积：积：(3)各行星公转周期的平方同轨道长半轴的立方成正比各行星公转周期的平方同轨道长半轴的立方成正比(4)牛顿第二定律：牛顿第二定律：太阳和行星间的作用力与加速度的方向一致，与的加速度大小成正比太阳和行星间的作用力与加速度的方向一致，与的加速度大小成正比第28页，共84页，编辑于2022年，星期六以以上上假假设设中中把把所所有有的的行行星星甚甚至至太太阳阳本本身身都都当当作作质质点点来来处处理理。这这是是进进行行数数学学表表述述时时所所作作的的一一种种近近似似或或理理想想化化，因因为
25、为行行星星、太太阳阳的的半半径径比比行行星星到到太太阳阳的的距距离离小小得得多多，因因而而这这种种近近似似是是合合理理的的。从从这这四四条条假假设设出出发发，推推出出了了万万有有引引力力定定律律：太太阳阳与与行行星星间间作作用用力力的的方方向向是是太太阳阳和和行行星星连连线线方方向向，指指向向太太阳阳；大大小小与与太太阳阳行行星星间间距距离离的的平平方方成成反反比比，比例系数是绝对常数。比例系数是绝对常数。第29页，共84页，编辑于2022年，星期六牛牛顿顿设设想想这这种种引引力力对对地地球球与与月月球球也也适适用用，对对任任何何两两块块物物质质都都适适用用。这这个个大大胆胆的的设设想想立立即
26、即引引出出了了问问题题：物物体体的的什什么么性性质质决决定定它它对对其其他他物物体体的的引引力力呢呢?地地球球的的什什么么性性质质决决定定地地球球对对物物体体的的引引力力常常数数地地呢呢?又又是是什什么么决决定定太太阳阳的的引引力力常常数数呢呢？或或许许这这常常数数取取决决于于物物体体所所含含某某一一种种新新性性质质。如如果果引引力力是是一一切切物物体体的的一一种种性性质质，那那就就有有理理由由假假设设常常数数等等取取决决于于物物体体所所含含的的质质量量，最最简简单单的的假假设设是是与与物物体体的的质质量量成成正正比比。于于是是假设：假设：引力常数引力常数第30页，共84页，编辑于2022年，
27、星期六G6.67 10-11牛牛米米2千克千克2第31页，共84页，编辑于2022年，星期六简简洁洁优优美美的的数数学学处处理理令令人人惊惊异异，尤尤其其是是当当这这种种理理论论与与冗冗长长乏乏味味的的观观察察结结果果相相比比较较时时更更是是如如此此。不不过过，若若没没有有这这种种冗冗长长乏乏味味的的观观察察结结果果，能能够够想想象象到到这这一一强强有有力力的的定定律律吗吗?显显然然，这这是是不不可可能能的的。另另外外，若若没没有有当当时时新新发发明明的的微微分分技技巧巧，也也不不可可能能作出上述的计算。作出上述的计算。第32页，共84页，编辑于2022年，星期六“开开普普勒勒的的全全部部推推
28、理理的的基基础础是是他他最最早早所所觉觉察察到到的的速速度度与与距距离离之之间间反反比比关关系系的的重重要要性性，这这一一反反比比关关系系乃乃是是一一种种有有朝朝一一日日会会导导致致角角动动量量守守恒恒定定律律的的先先兆兆，正正是是上上述述预预感感，引引导导开开普普勒勒通通过过长长达达900页页的的计计算算得得到到了了比比已已有有的的任任何何理理论论都都要要优优越越的的一一个个行行星星理理论论，撇撇开开机机遇遇与与幸幸运运不不说说?开开普普勒勒取取得得成成功功的的要要素素是是：他他认认为为事事物物是是可可知知的的那那种种信信念念；他他对对事事业业的的献献身身精精神神，这这促促使使他他作作了了4
29、年年时时间间的的推推理理和和计计算算；他他最最初初得得到到的的预预感感的的正正确确性性，以以及及借借助助于于这这种种正正确确预预感感从从事事物物的的千千头头 万万 绪绪 中中 理理 出出 头头 绪绪 的的 能能 力力”(摘摘 自自 1972年年 3月月 号号 ScientificAmerican(VoL226，P92)。第33页，共84页，编辑于2022年，星期六从从演演算算角角度度看看到到，为为了了达达到到我我们们的的结结论论，“必必须须自自始始至至终终记记住所得结果的物理解释，并且要有十分纯熟的运算技巧住所得结果的物理解释，并且要有十分纯熟的运算技巧”。从从万万有有引引力力定定律律产产生生
30、的的历历史史中中，还还可可得得到到另另一一启启迪迪，即即进进一一步步证证明明需需要要恰恰当当的的观观念念，并并且且精精通通数数学学技技巧巧。牛牛顿顿将将他他的的定定律律应应用用于于月月球球绕绕地地球球的的运运动动上上，以以此此来来检检验验他他的的定定律律的的正确性便是如此。正确性便是如此。在在正正确确假假设设的的基基础础上上，运运用用数数学学的的演演绎绎方方法法建建立立模模型型，对自然科学的发展能够发挥多么巨大的作用。对自然科学的发展能够发挥多么巨大的作用。第34页，共84页，编辑于2022年，星期六2发射卫星为什么用三级火箭发射卫星为什么用三级火箭发发射射卫卫星星为为什什么么不不用用一一级级
31、火火箭箭而而必必须须用用多多级级火火箭箭?为为什什么么一一般都采用三级火箭系统般都采用三级火箭系统?可以构造一个数学模型来加以论证。可以构造一个数学模型来加以论证。火火箭箭是是一一个个复复杂杂的的系系统统，为为了了使使问问题题简简单单明明了了，这这里里只只从从动动力力系系统及整体结构上分析，并假定引擎是足够强大的。统及整体结构上分析，并假定引擎是足够强大的。第35页，共84页，编辑于2022年，星期六I为什么不能用一级火箭发射人造卫星为什么不能用一级火箭发射人造卫星(1)(1)卫星进入轨道，火箭所需的最低速度卫星进入轨道，火箭所需的最低速度 将问题理想化，假设：将问题理想化，假设：(a)卫卫星
32、星轨轨道道为为过过地地球球中中心心某某一一平平面面上上的的圆圆，卫卫星星在在此此轨轨道道上上以以地地球球引引力力作作为为向向心心力力绕绕地地球球作作平平面面圆圆周周运运动动。如图如图1-2所示。所示。(b)地地球球是是固固定定于于空空间间中中的的均均匀匀球球体体，其它星球对卫星引力忽略不计。其它星球对卫星引力忽略不计。第36页，共84页，编辑于2022年，星期六设设地地球球半半径径为为R，中中心心为为O，地地球球质质量量看看成成集集中中于于球球心心(假假设设据据地地球球为为均均匀匀球球体体)，曲曲线线C为为地地球球表表面面，C 为为卫卫星星轨轨道道，其其半半径径为为r，卫卫星星质质量量为为m，
33、据牛顿万有引力定律，地球对卫星的引力为：，据牛顿万有引力定律，地球对卫星的引力为：第37页，共84页，编辑于2022年，星期六距离地面高度距离地面高度Km1002004006008001000v0minkms7.867.807.697.587.477.37g=9.81ms2，R=6400km 卫星离地面高度不同时所对应的最低速度应分别为：卫星离地面高度不同时所对应的最低速度应分别为：第38页，共84页，编辑于2022年，星期六(2)火箭推进力及速度的分析火箭推进力及速度的分析火火箭箭简简单单模模型型是是由由一一台台发发动动机机和和一一个个燃燃料料仓仓组组成成，燃燃料料燃燃烧烧产产生生大大量量气
34、气体体从从火火箭箭末末端端喷喷出出，给给火火箭箭一一个个向向前前的的推推力力。火火箭箭飞飞行行时时要要受受重重力力与与空空气气阻阻力力影影响响，且且地地球球自自转转与与公公转转，火火箭箭升升空空后后作作曲曲线运动，为使问题简化，仍将问题理想化。线运动，为使问题简化，仍将问题理想化。假设假设火箭在喷气推动下作直线运动，火箭重力及空气阻力均不计火箭在喷气推动下作直线运动，火箭重力及空气阻力均不计第39页，共84页，编辑于2022年，星期六这个质量的减少，是由于燃料燃烧喷出气体所致。设喷出气体相对于这个质量的减少，是由于燃料燃烧喷出气体所致。设喷出气体相对于火箭的速度为火箭的速度为u(就某种燃料而言
35、为常数就某种燃料而言为常数)，则气体相对于地球运动速度为，则气体相对于地球运动速度为u(t)-u0。据动量守恒定律：。据动量守恒定律：第40页，共84页，编辑于2022年，星期六火箭所受推力等于燃料消耗速度与气体相对于火箭运动速度的乘积火箭所受推力等于燃料消耗速度与气体相对于火箭运动速度的乘积 第41页，共84页，编辑于2022年，星期六在在v0和和m0一一定定下下，v(t)由由喷喷发发速速度度(相相对对于于火火箭箭)u及及质质量量比比决决定定。这这为为提提高高火火箭箭速速度度找找到到了了正正确确的的途途径径：提提高高u(从从燃燃料料上上想想法法)，减少减少m(t)(从结构上想法从结构上想法)
36、。质量比v0v(0)，m0m(0)第42页，共84页，编辑于2022年，星期六(3)一级火箭末速度上限一级火箭末速度上限(目前技术条件下目前技术条件下)火箭火箭-卫星系统的质量可分成三部分：卫星系统的质量可分成三部分：mp(有效负载，如卫星有效负载，如卫星)mF(燃料质量燃料质量)ms(结构质量，如外壳，燃料容器及推进器结构质量，如外壳，燃料容器及推进器)m(t)=mp+mF+ms第43页，共84页，编辑于2022年，星期六在在发发射射一一级级火火箭箭运运载载卫卫星星时时，最最终终(燃燃料料耗耗尽尽)质质量量为为mp+ms，可以得到末速度为可以得到末速度为(v00)：目前技术条件下限制：目前技
37、术条件下限制：假设：假设：第44页，共84页，编辑于2022年，星期六根根据据现现有有技技术术条条件件和和燃燃料料性性能能，u只只能能达达到到3km/s，即即使使火火箭箭不不带卫星，也不计空气阻力及火箭本身重量，取带卫星，也不计空气阻力及火箭本身重量，取 1/9，得：，得：第45页，共84页，编辑于2022年，星期六因因此此，用用一一级级火火箭箭发发射射人人造造卫卫星星，至至少少目目前前条件下无法达到在相应高度所需的速度。条件下无法达到在相应高度所需的速度。原原因因分分析析火火箭箭推推进进力力在在加加速速着着整整个个火火箭箭，其其实实际际效效益益越越来来越越低低，最最后后几几乎乎是是在在加加速
38、速着着最最终终毫毫无无用用处处的的结结构构质质量量(包包括括空空油油箱箱)。所所以以，应应该该改进火箭设计改进火箭设计。第46页，共84页，编辑于2022年，星期六理想的火箭模型理想的火箭模型理理想想的的火火箭箭模模型型应应该该是是随随着着燃燃料料燃燃烧烧随随时时抛抛弃弃无无用用的结构。的结构。假假设设t到到t+t时时间间内内，丢丢掉掉总总质质量量为为1(包包括括结结构构质质量量和和燃燃料料燃燃烧烧质质量量)，设设丢丢弃弃结结构构质质量量为为(0 1)，燃燃烧烧掉掉的的质质量为量为l-，即，即 与与(1-)按比例同时减少。按比例同时减少。第47页，共84页，编辑于2022年，星期六第48页，共
39、84页，编辑于2022年，星期六一级火箭一级火箭 理想火箭理想火箭 表明当表明当m0足够大，便可使卫星达到我们所希望它具有的任意速度。例足够大，便可使卫星达到我们所希望它具有的任意速度。例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计(按比例的粗略计算按比例的粗略计算)要使要使v10.5km/s才行，如果取才行，如果取u=3km/s，=0.1，则可推出。即发射，则可推出。即发射1吨重吨重的卫星大约需的卫星大约需50吨重的理想火箭。吨重的理想火箭。第49页，共84页，编辑于2022年，星期六III、理想过程的实际逼近、理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统多级火箭卫星系统理
40、理想想火火箭箭是是设设想想把把无无用用结结构构质质量量连连续续抛抛弃弃，显显然然实实际际上上办办不不到到，现现用用建建造造多多级级火火箭箭系系统统办办法法，来来近近似似实实现现理理想想过过程程。记记火火箭箭级级数数为为n。当当第第i级级火火箭箭燃燃料料烧烧尽尽时时，第第i+1级级火火箭箭立立即即自自动动点点火火，并并抛抛掉掉已已经经无无用用的的第第i级级。用用mi表表示第示第i级火箭质量级火箭质量(燃料与结构之和燃料与结构之和)，mp表示有效负载。表示有效负载。第50页，共84页，编辑于2022年，星期六(1)设设各各级级火火箭箭具具有有相相同同的的，mi表表示示第第i级级结结构构质质量，量，
41、(1-)mi为燃料质量。为燃料质量。(2)喷喷气气相相对对速速度度u各各级级相相同同，燃燃烧烧级级的的初初始始质质量量与与其其负负载质量之比保持不变，记比值为载质量之比保持不变，记比值为k。为简单起见，先作如下假设：为简单起见，先作如下假设：第51页，共84页，编辑于2022年，星期六二级火箭二级火箭 第一级火箭燃烧完时第一级火箭燃烧完时 第二级火箭燃烧完时第二级火箭燃烧完时m2=kmpm1=k(m2+mp)u3kms=0.1第52页，共84页，编辑于2022年，星期六欲使将欲使将V2=10.5km/s，则，则k=11.2，从而有，从而有二级火箭二级火箭 三级火箭三级火箭 第53页，共84页，
42、编辑于2022年，星期六与与二二级级火火箭箭相相比比，在在达达到到相相同同效效果果的的情情况况下下，三三级级火火箭箭系系统统几几乎乎节节省省了了一一半半，但但是是如如果果让让火火箭箭级级数数再再继继续续增增加加，发发射射1吨重的卫星，火箭系统的重量是否还能大幅度减少呢？吨重的卫星，火箭系统的重量是否还能大幅度减少呢？n(级数级数)12345(理想理想)火箭质火箭质(吨吨)14977656050第54页，共84页，编辑于2022年，星期六可可见见，用用三三级级火火箭箭代代替替二二级级火火箭箭很很值值得得，但但用用四四级级火火箭箭代代替替三三级级火火箭箭时时，重重量量减减轻轻不不多多，而而实实际际
43、上上，由由于于工工艺艺的的复复杂杂性性及及每每级级火火箭箭都都需需配配备备一一个个推推进进器器，所所以以使使用用四四级级或或四四级级以以上上火火箭箭不不合合算算。故故三三级级火火箭箭的的设设计是最优的。计是最优的。第55页，共84页，编辑于2022年，星期六3反应器中流动状况的确定反应器中流动状况的确定第56页，共84页，编辑于2022年，星期六第57页，共84页，编辑于2022年，星期六存在滞流区存在滞流区第58页，共84页，编辑于2022年，星期六存在沟流存在沟流第59页，共84页，编辑于2022年，星期六存在短路存在短路第60页，共84页，编辑于2022年，星期六 闭式系统闭式系统系统系
44、统进口进口出口出口 停留时间分布停留时间分布 年龄分布：对存留在系统的粒子而言，从进入系年龄分布：对存留在系统的粒子而言，从进入系统算起在系统中停留的时间。统算起在系统中停留的时间。寿命分布：流体粒子从进入系统起到离开系统止，寿命分布：流体粒子从进入系统起到离开系统止，在系统内停留的时间。在系统内停留的时间。停留时间分布理论的应用停留时间分布理论的应用 对现有设备进行工况分析对现有设备进行工况分析 建立合适的流动模型，进行非理想反应器的计算建立合适的流动模型，进行非理想反应器的计算第61页，共84页，编辑于2022年，星期六停留时间分布密度与分布函数分布密度与分布函数停留时间分布概念的引入分布
45、概念的引入第62页，共84页，编辑于2022年，星期六停留时间分布的测定停留时间分布的测定实验方法概述实验方法概述脉冲法脉冲法：简单、示踪剂用量少，可简单、示踪剂用量少，可直接测出停留时间分布密度直接测出停留时间分布密度函数；函数；要求输入理想脉冲。要求输入理想脉冲。阶跃法阶跃法 操作容易；操作容易；示踪剂用量大，直接测示踪剂用量大，直接测出的是停留时间分布函出的是停留时间分布函数。数。升阶法升阶法降阶法降阶法(“刺激刺激-响应响应”或者或者“应答技术应答技术”)第63页，共84页，编辑于2022年，星期六脉冲法脉冲法输入曲线输入曲线响应（输出）曲线响应（输出）曲线c0(t)停留时间分布的测定
46、停留时间分布的测定M 为示踪剂为示踪剂的加入量的加入量第64页，共84页，编辑于2022年，星期六升阶法升阶法主流体主流体V0V系系 统统检测器含示踪剂的流含示踪剂的流体（体（C()）c()c0(t)tt=00输入曲线输入曲线c()c(t)t0响应曲线响应曲线第65页，共84页，编辑于2022年，星期六降阶法降阶法主流体主流体VV系系 统统检测器含示踪剂的流含示踪剂的流体（体（C(0)）0c(0)c0(t)tt=0输入曲线输入曲线0c(0)c(t)t响应曲线响应曲线第66页，共84页，编辑于2022年，星期六1.活塞流模型活塞流模型理想反应器的停留时间分布理想反应器的停留时间分布t=0tE(t
47、)01.00所有物料质点的停留时间都相同所有物料质点的停留时间都相同且等于整个物料的平均停留时间且等于整个物料的平均停留时间第67页，共84页，编辑于2022年，星期六全混流模型反应器的停留时间分布全混流模型反应器的停留时间分布第68页，共84页，编辑于2022年，星期六非理想流动模型的停留时间分布第69页，共84页，编辑于2022年，星期六轴向混合模型（扩散模型）轴向混合模型（扩散模型）轴向混合模型是在平推流模型基础上发展起来的，适用于返轴向混合模型是在平推流模型基础上发展起来的，适用于返混程度较小的流动状况。混程度较小的流动状况。.模型要点模型要点）垂直于流动方向的每一个截面上，物料浓度均
48、匀；）垂直于流动方向的每一个截面上，物料浓度均匀；）沿流动方向，具有相同的液体速度和扩散系数；）沿流动方向，具有相同的液体速度和扩散系数；）物料浓度沿流动方向连续变化；）物料浓度沿流动方向连续变化；）模型参数）模型参数z轴向混合模型适用于管式反应器、塔式反应器等。轴向混合模型适用于管式反应器、塔式反应器等。第70页，共84页，编辑于2022年，星期六dlV0uuV0l=0l=Luc第71页，共84页，编辑于2022年，星期六多多级级串串联联全混流模型全混流模型第72页，共84页，编辑于2022年，星期六第73页，共84页，编辑于2022年，星期六停留停留时间时间分布分布模型参数模型参数实际实际
49、反反应应器器流流动动模型模型物料衡算物料衡算动动力学方程力学方程物料的流物料的流动动状况介于平推流和全混流之状况介于平推流和全混流之间间，为为非理想流非理想流动动，物料的微物料的微观观混合混合为为完全混合，达到分子程度均匀。完全混合，达到分子程度均匀。实际实际反反应应器的器的计计算算过过程如下：程如下：2）由）由xAf计计算算VR非理想流动反应器的计算非理想流动反应器的计算1）由）由VR计算计算xAf第74页，共84页，编辑于2022年，星期六建模的一般步骤和原则建模的一般步骤和原则理理想想的的数数学学模模型型须须是是既既能能反反映映系系统统的的全全部部重重要要特特性性，同时在数学上又易于处理
50、，即它满足：同时在数学上又易于处理，即它满足：(1)模模型型的的可可靠靠性性在在允允许许的的误误差差范范围围内内，它它能能反反映映出出该该系系统的有关特性的内在联系。统的有关特性的内在联系。(2)模型的适用性模型的适用性它易于数学处理和计算。它易于数学处理和计算。第75页，共84页，编辑于2022年，星期六一一个个实实际际问问题题往往往往是是很很复复杂杂的的，而而影影响响它它的的因因素素总总是是很很多多的的。如如果果想想把把它它的的全全部部影影响响因因素素(或或特特性性)都都反反映映到到模模型型中中来来，这这样样的的模模型型很很难难甚甚至至无无法法建建立立，即即使使能能建建立立也也是是不不可可