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1、【优化设计】2015-2016学年高中数学 第一章 计数原理单元测评B 新人教A版选修2-3 (高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2015四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个 B.120个 C.96个 D.72个解析:当首位数字为4,个位数字为0或2时,满足条件的五位数有个;当首位数字为5,个位数字为0或2或4时,满足条件的五位数有个.故满足条件的五位数共有=(2+3)=54321=120个.答案:B2
2、.(2015湖北高考)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29解析:由条件知,n=10.(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.答案:D3.(2014辽宁高考)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24解析:插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空当中选出3个插入3人即可.故排法种数为=24.答案:D4.(2014四川高考)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B
3、.216种C.240种D.288种解析:(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为;(2)当最左端排乙的时候,排法种数为.因此不同的排法的种数为=120+96=216.答案:B5.(2014大纲全国高考)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种解析:从6名男医生中选出2名有种选法,从5名女医生中选出1名有种选法,故共有5=75种选法.答案:C6.(2014安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对解析:正方体六个面的对角线共有
4、12条,则有=66(对),而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60,则共有3=18(对),而其余的都符合题意,故有66-18=48(对).答案:C7.(2015湖南高考)已知的展开式中含的项的系数为30,则a等于()A.B.-C.6D.-6解析:展开式的通项为Tr+1=()5-r=(-1)rar(r=0,1,2,5).令-r=,得r=1,所以展开式中含项的系数为(-1)a,于是-5a=30,解得a=-6.答案:D8.(2014北京高考)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生
5、乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人解析:假设满足条件的学生有4位及4位以上,设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁,则4位同学中必有两个人其中一门学科的成绩一样,且这两个人另一门学科的成绩不一样,那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好,故满足条件的学生不能超过3人.当有3位学生时,用A,B,C表示“优秀”“合格”“不合格”,则满足题意的有AC,CA,BB,所以最多有3人.答案:B9.(2014浙江高考)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n)
6、,则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)等于()A.45B.60C.120D.210解析:因为f(m,n)=,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120.答案:C10.(2014福建高考)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取,“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的
7、蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)解析:由题意可知:从5个无区别的红球中取出若干个球可表示为1+a+a2+a3+a4+a5;5个无区别的蓝球都取出或都不取出可表示为1+b5;从5个有区别的黑球中取出若干个球可表示为(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)=(1+c)5.由乘法原理可得所有取法可表示为(1+a+a2+a3+a4+a5)(1
8、+b5)(1+c)5.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)11.(2015福建高考)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)解析:通项公式为Tr+1=x5-r2r,令5-r=2,得r=3.则x2的系数为23=80.答案:8012.(2014北京高考)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.解析:产品A,B相邻时,不同的摆法有=48(种).而A,B相邻,A,C也相邻时的摆法为A在中间,C,B在A的两侧,不同的摆法共有=12(种).故产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻的不同摆法有48-
9、12=36(种).答案:3613.(2015安徽高考)的展开式中x5的系数是.(用数字填写答案)解析:通项公式Tr+1=x3(7-r)x-r=x21-4r,由21-4r=5,得r=4,所以x5的系数为=35.答案:3514.(2015天津高考)在的展开式中,x2的系数为.解析:由题意知Tr+1=x6-rx6-2r.令6-2r=2,可得r=2.故所求x2的系数为.答案:15.(2015广州模拟)由0,1,2,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中,十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是.解析:数字之差的绝对值等于7的两个数字为0和7,1和8,2和9.当两个数字是0和7时,满足条件的
10、四位数有个,同理,是1和8时,有个,是2和9时,有个,所以共有=280(个).答案:280三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)16.(6分)(2015课标全国高考改编)求(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数.解:由于(x2+x+y)5=(x2+x)+y5,其展开式的通项为Tr+1=(x2+x)5-ryr(r=0,1,2,5),因此只有当r=2,即T3=(x2+x)3y2中才能含有x5y2项.设的展开式的通项为Si+1=(x2)3-ixi=x6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x2+x)3的展开式中x5项的系数是=3,故
11、(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数是3=103=30.17.(6分)(2014重庆改编)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,求同类节目不相邻的排法种数.解:解决该问题分为两类:第1类分两步,先排歌舞类,然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空,故不同排法有2=72.第2类也分两步,先排歌舞类,然后将剩余3个节目放入中间两空排法有,故不同的排法有=48,故共有120种不同排法.18.(6分)(2015课标全国高考改编)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,求a的值.解法一:(1+x)4=x4+x3+x2+x+x0=
12、x4+4x3+6x2+4x+1,(a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,a=3.解法二:设(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5,令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5,由-,得16(a+1)=2(b1+b3+b5).即8(a+1)=32,解得a=3.19.(7分)(2014广东高考改编)设集合A=(x1,x2,x3,x4,x5)|xi-1,0,1,i=1,2,3,4,5,求集合A中满足条件“1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数.解:在x1,x2,x3,x4,x5这五个数中,因为xi-1,0,1,i=1,2,3,4,5,所以满足条件1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3的可能情况有:一个1(或-1),四个0,有2种;两个1(或-1),三个0,有2种;一个-1,一个1,三个0,有种;两个1(或-1),一个-1(或1),两个0,有2种;三个1(或-1),两个0,有2种.故共有2+2+2+2=130种情况.4