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1、,高一数学同步拔高 1。2函数及其表示基础知识清单考点一 映射的概念1 了解对应 大千世界的对应共分四类，分别是：一对一 多对一 一对多 多对多2 映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都存在唯一的一个元素y与之对应，那么，就称对应f：AB为集合A到集合B的一个映射(mapping). 映射是特殊的对应，简称“对一”的对应。包括：一对一 多对一考点二 函数的概念 1函数：设A和B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应，那么，就称对应f：AB为集合A到集合B的一个函
2、数。记作y=f(x),xA.其中x叫自变量，x的取值范围A叫函数的定义域；与x的值相对应的y的值 函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数是特殊的映射，是非空数集A到非空数集B的映射。 2函数的三要素：定义域 、值域、对应关系。这是判断两个函数是否为同一函数的依据。3区间的概念：设a,b R ,且ab.我们规定：(a,b) = x | a x b a,b = x | a x b a,b) = x | a x b (a,b = x | a aa,+) = x | x a(-,b) = x | x f(-a),则实数a的取值范围是（A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+） （C）
3、（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）【答案】C【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。解分段函数方程8（2009北京文）已知函数若，则 . .w 解析 5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.由，无解，故应填.方法四 求函数的解析式1 求下列函数的解析式 已知 已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且
4、f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x). 已知f(x)满足求f(x).方法五 函数图像的考察1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 1. (2009山东卷理)函数的图像大致为( ).解析 函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A. 【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.2.（2009广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别
5、为（如图2所示）那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是（ ）A. 在时刻，甲车在乙车前面 B. 时刻后，甲车在乙车后面C. 在时刻，两车的位置相同 D. 时刻后，乙车在甲车前面解析 由图像可知，曲线比在0、0与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A. 3.（2009江西卷文）如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为 ( )A B C D解析 由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此
6、是错误的，故选.4（2010山东理数）(11)函数y=2x -的图像大致是【解析】因为当x=2或4时，2x -=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x -=，故排除D，所以选A。【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。5（2010安徽文数）设,二次函数的图像可能是【解析】当时，、同号，（C）（D）两图中，故，选项（D）符合【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分或两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.6（2010山东文数）函数的图像大致是答案：A方法六 映射概念的考察1 设:
7、是集合A到集合B的映射，如果B=，则AB=（ ） A. B. C. 或 D. 或2集合M=，N=映射f:满足f(a)+(b)+f(c)=0,那么映射f: 的个数是（ ）A.4 B.5 C. 6 D. 73集合M=到集合N=一共有 个不同的映射。方法七函数值域和最值的求法1利用二次函数在有限区间上的范围求值域 求函数y=的值域2分离常数法 求函数y=的值域3换元法 求函数y=的值域4数形结合法 求函数y=的值域5判别式法 求函数y=的值域方法八 函数奇偶性和周期性的考察1.（2009全国卷理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数答案 D解析
8、与都是奇函数， 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，即是奇函数。故选D2.(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2答案 C解析 由已知得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.3.（2009江西卷文）已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为（ ）A B C D答案 C解析 ,故选C.方法九 函数奇偶性和对称性考察1.（2009全国卷文）函数的图像（ ）（A） 关于原点对称 （B
9、）关于主线对称（C） 关于轴对称 （D）关于直线对称答案 A解析 本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A。2（2010重庆理数）(5) 函数的图象A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称解析： 是偶函数，图像关于y轴对称方法十 函数奇偶性和单调性的考察1.(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则( ). A. B. C. D. 答案 D解析 因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,又因为在R上是奇函数， ,得
10、,而由得,又因为在区间0,2上是增函数,所以,所以,即,故选D. 2.（2009全国卷文）设则（ ）（A） （B） （C） （D）答案 B解析 本题考查对数函数的增减性，由1lge0,知ab,又c=lge, 作商比较知cb,选B。3.（2009辽宁卷文）已知偶函数在区间单调增加，则满足的x 取值范围是( )（A）（，） B.，） C.（，） D.，）答案 A解析 由于f(x)是偶函数,故f(x)f(|x|) 得f(|2x1|)f(),再根据f(x)的单调性得|2x1| 解得x4.（2009陕西卷文）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则( )(A) B. C. D. 答案 A 解析 由等价，
11、于则在上单调递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时, , ,得,故选A.5.(2009陕西卷理)定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有 ( )(A) B. C. C. D. 答案 C6.（2009江苏卷）已知，函数，若实数、满足，则、的大小关系为 . 解析 考查指数函数的单调性。 ，函数在R上递减。由得：m0)在区间上有四个不同的根,则 答案 -8解析 因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上
12、有四个不同的根,不妨设由对称性知所以-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 方法十二 对数函数的考察3（2010全国卷1文数）(7)已知函数.若且，则的取值范围是(A) (B)(C) (D) C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=
13、|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=又0ab,所以0a1f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+).【解析2】由0ab,且f(a)=f(b)得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题，过点时z最小为2,(C) 4（2010全国卷1理数）（10）已知函数f(x)=|lgx|.若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是(A) (B) (C) (D)方法十三函数创新题的解法1.(2009浙江理）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有下列结论中正确的是 ( )A若，则B若，且，则C若，则 D若，且，则答案 C 解析 对于，即有，令，有，不妨设，即有，因此有，因此有2.（2009福建卷理）函数的图象关于直线对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程的解集都不可能是( )A. B C D 答案 D解析 本题用特例法解决简洁快速，对方程中分别赋值求出代入求出检验即得.