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1、精选优质文档-倾情为你奉上2011-2012学年高一数学必修1（人教版）同步练习第一章第二节函数及其表示一、学习目标： 1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。2、会根据需要选择恰当的方法表示函数。3、了解分段函数，并能简单应用。二、重点、难点：重点是会求一些简单函数的定义域和值域，会根据需要选择恰当的方法表示函数。难点是函数的值域和分段函数的应用。三、考点分析：掌握函数的概念与表示，对于映射的概念只需要了解，本节知识点在单独出题时多为简单题，揉在综合题中考查。知识梳理1、函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意
2、一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作：，A，x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，y叫函数值，y的取值范围Cf（x）|xA叫做函数的值域，且CB。说明：函数首先是两个数集之间建立的对应关系对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一一”对应或“多一”对应认真理解的含义：是一个整体，并不表示f与x的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格；如同一个加工厂，把输入的数x，按照某种加工过程（如解析式、图象或表格），加工成另外一个数值y。要强调定义域，值域都是一个集合，
3、且值域是集合B的子集。2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则。3、区间的概念：闭区间：满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为，；开区间：满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为（，）；半开半闭区间：满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为，。4、函数的表示方法：解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系。列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。5、映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A
4、到集合B的一个映射（mapping），记作“f：AB”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的。其中f表示具体的对应法则，可以用汉字表示出来。（2）“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。典型例题知识点一：函数的概念例1. 已知且。（1）求f（2），g（2）的值；（2）求f的值；（3）求f和g的解析式。 思路分析：1）题意分析：本题给出了两个函数解析式，第一问是给出了自变量，求函数值；第二问是把作为“”的自变量，第三问是把和分别作为“”和“”的自变量。2）解题思路：按自变量的取值代入函数式求之即可。解答过程：（1）。（2
5、）。（3）ff（）。gg（）（）22。解题后的思考：求函数值时，要正确理解对应法则“f”和“g”的含义；求fg（x）时，应先求g（x），然后将f（x）解析式中的x换为g（x），同时要注意函数的定义域。例2. 已知的定义域为，求下列函数的定义域：（1）； （2）y。思路分析：1）题意分析：区间是函数中的x的取值范围，函数的定义域是中的x的取值范围，它由的取值范围来确定，第二问可同理解决。2）解题思路：解决本题关键在于理解“”和“”的取值范围就是。解答过程：（1）的定义域为即解得或因此的定义域为1。（2）的定义域为，中的x必须满足，|x|，故yf（x2）的定义域是1，1。解题后的思考：的对应法则不
6、是“f”，而是由“f”和“取倒数”复合而成的，函数y的对应法则是由“f”和“平方”复合而成的. 另外在解时要注意，不要出错，应该是|x|，而不是。知识点二：函数的表示方法例3. 若，求。思路分析：1）题意分析：已知，求2）解题思路：换元法解答过程：令，则，。解题后的思考：凡是已知，求的题型，均可用换元法求解，在换元的过程中要注意新元的取值范围。例4. 若，求。思路分析：1）题意分析：已知和的关系式，求，相当于有两个未知数，但只有一个方程，显然解不出来。所以解此题的关键在于再找到一个和的关系式。 2）解题思路：用去替换已知式中的，可以再造一个和的关系式，然后解方程组求解。解答过程：，用去替换式中
7、的，得，即有解方程组消去，得。解题后的思考：若已知满足某个等式，这个等式除是未知量外，还出现其他未知量（如，等），可以利用相互代换得到方程组，消去或，进而得到的解析式。知识点三：求函数的值域例5. 求函数的值域。思路分析：1）题意分析：求二次函数在指定区间上的值域2）解题思路：配方，画图，找区间解答过程：配方，得，又，结合图象，知函数的值域是。解题后的思考：“配方，画图，找区间”适用于解析式为二次函数的题目。例6. 求函数的值域。思路分析：1）题意分析：这是求分式型函数的值域，而且分子、分母是同次幂。2）解题思路：分离出常数，使问题简化。解答过程：分离常数，得。由，得，即有. 所以函数的值域是
8、。解题后的思考：该方法适用于分式型函数，且分子、分母是同次幂，这时可以通过多项式的除法，分离出常数，使问题简化。例7. 求函数的值域。思路分析：1）题意分析：这个函数是由一个有理式和一个无理式构成。2）解题思路：将无理式转化成有理式。解答过程：设，则，于是。又，得. 所以函数的值域是。解题后的思考：对形如的函数，可通过换元法将其转化为有理函数再求解。在用换元法转化的过程中要注意新元的取值范围。知识点四：分段函数例8. 求函数的值域。思路分析：1）题意分析：求分段函数的值域2）解题思路：先分别求出各段函数的值域，再求并集即可。解答过程：当2时，4。当2时，1。函数的值域是4。 解题后的思考：分段
9、函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数取值集合的并集。例9. 已知求的值。解答过程：30 （3）0，（3）（0），又0 f（）1。解题后的思考：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所处的范围，然后按相应的对应关系求值。提分技巧抓住换元思想，并注意在换元的过程中新元的取值范围预习导学学习完函数以后，我们最关注什么？对！函数的性质，那么一般我们都研究函数的哪些性质呢？请同学们先预习函数的基本性质。一、预习新知函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律。因此研究函数的性质，如函数在什么时候递增
10、或递减，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是非常重要的。观察下图中的各个函数图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？二、预习点拨增函数的定义是 。减函数的定义是 。奇函数的定义是 。偶函数的定义是 。同步练习（答题时间：60分钟）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）（1），；（2），；（3），；（4），；（5），。A. （1）、（2）B. （2）、（3） C. （4） D. （3）、（5）2. 函数的图象与直线的公共点的数目是（ ）A. B. C. 或 D. 或3. 已知集合，且，若使中元素和中的元素对应，则的值分别为（ ）A. 2，3 B. 3
11、，4C. 3，5D. 2，5 4. 已知，若，则的值是（ ）A. B. 或 C. ，或D. 5. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是（ ）A. 沿轴向右平移个单位 B. 沿轴向右平移个单位C. 沿轴向左平移个单位 D. 沿轴向左平移个单位6. 设则的值为（ ）A. B. C. D. 二、填空题7. 设函数则实数的取值范围是 。8. 函数的定义域为 。9. 若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是 。10. 函数的定义域是_。11. 函数的最小值是_。三、解答题12. 求函数的定义域。13. 求函数的值域。14. 是关于的一元二次方程的两个实根
12、，又，求的解析式及此函数的定义域。15. 已知函数在上有最大值和最小值，求、的值。试题答案一、选择题 1. C （1）定义域不同；（2）定义域不同；（3）对应法则不同；（4）定义域相同，且对应法则相同；（5）定义域不同。2. C 有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于仅有一个函数值3. D 按照对应法则，而，4. D 该分段函数的三段各自的值域为，而 5. D 平移前的为“”，平移后的为“”，用“”代替了“”，即，左移个单位6. B 。二、填空题 7. 当，这是矛盾的；当；8. 9. 设，对称轴，当时，10. 11. 。三、解答题 12. 解：，定义域为13. 解： ，值域为14. 解：，。15. 解：对称轴，是的递增区间， 。专心-专注-专业