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1、第二章检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在斜率为k的直线上,若|AB|=a,则|y2-y1|等于(D)(A)a(B)(C)|ak| (D)解析:设AB的方程为y=kx+b,则y1=kx1+b,y2=kx2+b.所以a=|AB|=|y2-y1|,所以|y2-y1|=.故选D.2.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90,再向右平移一个单位,所得的直线的方程为(A)(A)y=-x+(B)y=-x+1(C)y=3x-3(D)y=x+1解析:由于旋转后得到的直线与原直线互相垂直,故所得直线斜率为-,直线的
2、方程为y=-x,再向右平移1个单位,得y=-(x-1).故选A.3.已知A(-4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1,A关于z轴的对称点为A2,则|A1A2|等于(A)(A)8(B)12(C)16(D)19解析:由题可知A1(-4,-2,3),A2(4,-2,3),所以|A1A2|=8.故选A.4.直线x+y=0绕原点按顺时针方向旋转30所得直线与圆(x-2)2+ y2=3的位置关系是(A)(A)直线与圆相切(B)直线与圆相交但不过圆心(C)直线与圆相离(D)直线过圆心解析:直线x+y=0的斜率为-,倾斜角为150,绕原点按顺时针方向旋转30,所得直线的倾斜角为120,斜率为-,所以直线方程
3、为x+y=0.圆(x-2)2+y2=3的圆心(2,0)到直线x+y=0的距离d= =r,所以直线与圆相切.故选A.5.圆x2+y2+2x+4y+3=0的切线在x轴、y轴上的截距的绝对值相等,则这样的切线有(D)(A)3条(B)4条(C)5条(D)6条解析:因为圆的圆心坐标为(-1,-2),半径r=,可得符合条件的直线有6条.故选D.6.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,圆C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(A)(A)5-4(B)-1(C)6-2(D)解析:两圆的圆心均在第一象限,作点C1关于x轴的
4、对称点C1(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C1C2|=5,所以(|PM|+|PN|)min=5-(1+3)= 5-4.故选A.7.过直线y=2x上一点P作圆M:(x-3)2+(y-2)2=的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线y=2x对称时,则APB等于(C)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:过圆M的圆心M(3,2)向直线y=2x作垂线,设垂足为N,易知当点P与点N重合时,直线l1与l2关于直线y=2x对称,此时|MP|=.又因为圆M的半径长为,所以sinMPA=,则MPA=30,故APB= 60.8.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴
5、上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为(D)(A)x2+y2-2x-3=0 (B)x2+y2+4x=0(C)x2+y2+2x-3=0 (D)x2+y2-4x=0解析:设圆C的方程为(x-a)2+y2=4(a0),由已知得=2.解得a=2或a=-(舍去).故选D.9.若点P(x,y)在圆x2+y2+4x+3=0上,则的最大值为(A)(A) (B)(C)- (D)-解析:表示圆上的点与原点连线的斜率,设=k,y=kx,即kx-y=0,当直线与圆相切时k值最大或最小,此时=1,k=.故选A.10.已知:直线ax+by+c=0(abc0)与圆x2+y2=1相切,则以|a|,|b|, |c
6、|为三边长的三角形为(B)(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不存在解析:因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,d=1,即a2+b2=c2,故以|a|,|b|,|c|为三边长的三角形为直角三角形.故选B.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.已知两圆(x+1)2+(y-1)2=r2和(x-2)2+(y+2)2=R2相交于P,Q两点,若点P的坐标为(1,2),则点Q的坐标为.解析:由两圆的方程,可知它们的圆心坐标分别为(-1,1),(2,-2),则过两圆圆心的直线方程为=,即y=-x.根据圆的几何性质,可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称,故点P
7、与点Q关于直线y=-x对称.又因为P(1,2),所以Q(-2,-1).答案:(-2,-1)12.已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足ABCD,且ADBC,则点D的坐标为.解析:设D(x,y),因为kAB=1,kBC=-,kCD=,kAD=,由ABCD,ADBC,得kABkCD=-1,kAD=kBC,所以解得所以D(10,-6).答案:(10,-6)13.由直线y=x+1上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1引切线,则切线长的最小值为.解析:若使切线长最小,则直线上的点到圆心的距离d最小,又dmin= =3,此时切线长为=.答案:14.若直线x+y+m=0上存在点P可作圆O:
8、x2+y2=1的两条切线PA,PB,切点为A,B,且APB=60,则实数m的取值范围为.解析:若APB=60,则|OP|=2,直线x+y+m=0上存在点P可作圆O: x2+y2=1的两条切线PA,PB,由圆心到直线的距离公式可得2,解得m-2,2.答案:-2,215.已知p+2q-1=0,则直线px-3y+q=0恒过定点A的坐标为.解析:直线方程可化为(1-2q)x-3y+q=0,即:(x-3y)-q(2x-1)=0.若直线过定点,则有所以所以A(,).答案:(,)三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本小题满分12分)试在坐标平面yOz内的直线2y-z=1上确定一点P,使P到Q(-1
9、,0,4)的距离最小.解:因为点P在yOz平面内,所以可设P(0,y,2y-1),由两点间的距离公式得|PQ|=.显然当y=2时,|PQ|取最小值,这时点P(0,2,3).17.(本小题满分12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.求k的取值范围.解:由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为直线l与圆C交于两点,所以1.解得k.所以k的取值范围为(,).18.(本小题满分12分)有一种大型商品,A,B两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费A地是B地的2倍.若A,B两地相距10千米,顾客选择A地或B地购
10、买这种商品的标准是:运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?解:以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,如图所示.设A(-5,0),则B(5,0).在坐标平面内任取一点P(x,y),设从A地运货到P地的运费为2a元/千米,则从B地运货到P地的运费为a元/千米.若P地居民选择在A地购买此商品,则2aa.整理得(x+)2+y20且直线l与圆C相切,求圆C关于直线l的对称圆C的 方程.解:(1)因为圆C:(x+2)2+(y-2a)2=()2,又a=,所以圆心C为(-2,3),直线l:3x+2y+6=0,圆心C到直线l的距离d=,所以|AB|=2=.
11、(2)将y=-ax-2a代入圆C的方程化简得(1+a2)x2+4(1+2a2)x+16a2+1=0(*),所以=4(1+2a2)2-4(1+a2)(16a2+1)=4(3-a2)=0,因为a0,所以a=,所以此时圆心C为(-2,2),方程(*)的解为x=-,所以切点坐标为(-,),根据圆关于切线对称的性质可知切点为CC的中点,故圆心C的坐标为(-5,),所以圆C的方程为(x+5)2+(y-)2=3.21.(本小题满分14分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,
12、求l的方程及POM的面积.解:(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4,设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y),由题设知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,则(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为,|PM|=,所以POM的面积为.9