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1、12.42.4 空间直角坐标系空间直角坐标系1 1 在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关系是( )A.关于x轴对称 B.关于yOz平面对称C.关于坐标原点对称D.关于y轴对称解析：因为P,Q两点的y坐标相同,x,z坐标分别互为相反数,它们的中点在y轴上,并且PQ与y轴垂直,故P,Q关于y轴对称.答案：D2 2 已知三点A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5),则( )A.三点构成等腰三角形B.三点构成直角三角形C.三点构成等腰直角三角形D.三点不能构成三角形解析：因为|AB|=,|BC|=,|AC|=2,9 + 16 + 4 = 299 + 16
2、 + 4 = 2936 + 64 + 1629所以|AC|=|AB|+|BC|.所以三点不能构成三角形.答案：D3 3 已知空间一点P在xOy平面上的射影为M(1,2,0),在xOz平面上的射影为N(1,0,3),则P在yOz平面上的射影Q的坐标为( )A.(1, 2,3)B.(0,0,3)C.(0,2,3) D.(0,1,3)解析：由P点在xOy平面上的射影,知xP=1,yP=2,在xOz平面上的射影为N(1,0,3),知xP=1,zP=3.故P(1,2,3)在yOz平面上的射影为Q(0,2,3).答案：C4 4 已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点间距离的最小值是(
3、 )A.B.C.D.5 555 53 5 511 5解析：因为d(A,B)=2 - (1 - )2+ - (1 - )2+ ( - )2=(1 + )2+ (2 - 1)2+ 0=,52- 2 + 2= 5( -1 5)2+9 53 5 5所以A,B两点间距离的最小值是.3 5 52答案：C5 5 如图,在正方体ABCD-ABCD中,棱长为 1,点P在对角线BD上,且BP=BD,则点P的坐标为( )A.B.(1 3,1 3,1 3)(2 3,2 3,2 3)C.D.(1 3,2 3,1 3)(2 3,2 3,1 3)解析：点P在坐标平面xDy上的射影落在BD上.因为BP= BD,所以Px=Py
4、=,Pz= .1 32 31 3故点P的坐标为.(2 3,2 3,1 3)答案：D6 6 在空间直角坐标系中,若点P在x轴上,它到P1(0,3)的距离为 2,则点P的坐标为 .23解析：设P(x,0,0),则=2,解得x=1,故P点坐标为(1,0,0).2+ 2 + 93答案：(1,0,0)7 7 在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,-2),B(1,-3,1),点B关于坐标平面xOy的对称点为B1,则|AB1|= . 答案：108 8 若半径为r的球在第卦限内,且与各坐标平面均相切,则球心的坐标是 . 解析：由第卦限内的各坐标的符号正负可得.答案：(-r,-r,r)9 9 若点P(x,y,z
5、)到A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则x,y,z满足的关系式是 ,猜想它表示的图形是 . 解析：由两点间距离公式得(x-1)2+y2+(z-1)2=(x-2)2+(y-1)2+z2,化简得 2x+2y-2z-3=0,由几何图形的性质知这个方程表示线段AB的中垂面.答案：2x+2y-2z-3=0 线段AB的中垂面1010 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求:(1)d(A,B);(2)线段AB的中点坐标;3(3)到A,B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.解(1)由空间两点间的距离公式,得d(A,B)=.(3 - 1)2+ (3 - 0)2+ (1
6、 - 5)2= 29(2)线段AB的中点坐标为,(3 + 1 2,3 + 02,1 + 52)即为.(2,3 2,3)(3)点P(x,y,z)到A,B的距离相等,则( - 3)2+ ( - 3)2+ ( - 1)2=,化简得 4x+6y-8z+7=0,即到A,B距离相等的点P的坐( - 1)2+ ( - 0)2+ ( - 5)2标(x,y,z)满足的条件是 4x+6y-8z+7=0.1111 如图,在长方体OABC-DABC中,OA=3,OC=4,OD=3,AC与BD相交于点P,分别写出点C,B,P的坐标.解根据题意,得点C在y轴上,因为OC=4,所以点C的坐标为(0,4,0);点B的横坐标与
7、点A的横坐标相同,因为OA=3,所以点B的横坐标为 3,点B的纵坐标与点C的纵坐标相同,所以点B的纵坐标为 4,点B的竖坐标与点D的竖坐标相同,因为OD=3,所以点B的竖坐标为 3,所以点B的坐标为(3,4,3).点P的横坐标为点A横坐标的一半,纵坐标为点C纵坐标的一半,竖坐标与点D的竖坐标相同,因此,点P的坐标为.(3 2,2,3)综上所述:C(0,4,0),B(3,4,3),P.(3 2,2,3)1212 如图,AF,DE分别是O,O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8,BC是O的直径,AB=AC=6,OEAD,试建立适当的空间直角坐标系,求出点A,B,C,D,E,F的坐标.解因
8、为AD与两圆所在的平面均垂直,OEAD,所以OE平面ABC,又因为AF平面ABC,BC平面ABC,所以OEAF,OEBC,4又因为BC是圆O的直径,所以OB=OC,又因为AB=AC=6,所以OABC,BC=6,2所以OA=OB=OC=OF=3.2如图,以O为原点,以OB,OF,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,-3,0),B(3,0,0),C(-3,0,0),D(0,-3,8),E(0,0,8),F(0,3,0).222221313 如图,以正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.(1)当点
9、P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值;(2)当点Q为棱CD的中点,点P在对角线AB上运动时,探究|PQ|的最小值;(3)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值.由以上问题,你得到了什么结论,你能证明你的结论吗?解设正方体的棱长为a.(1)当点P为对角线AB的中点时,点P的坐标是.因为点Q在线段CD上,设Q(0,a,z),( 2, 2, 2)|PQ|=( 2)2+(2- )2+(2- )2=.( - 2)2+1 22当z=时,|PQ|的最小值为a,即点Q为棱CD的中点时,|PQ|有最小值a. 22 22 2(2)因为P在对角线AB上运动,
10、Q是定点,所以当PQAB时,|PQ|最短.因为当点Q为棱CD的中点时,|AQ|=|BQ|,QAB是等腰三角形,所以当P是AB的中点时,|PQ|取得最小值a.2 2(3)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,|PQ|的最小值仍然是a.2 25证明如下:如图,设P(x,y,z1).由正方体的对称性,显然有x=y.设P在平面xOy上的射影是H.在AOB中,所以,即有x=a-z1.则点P的坐标是(a-z1,a-z1,z1). = 1= - 由已知,可设Q(0,a,z2),则|PQ|=( - 1)2+ ( - 1)2+ (1- 2)2=.(2- 1)2+ 2(1- 2)2+2 2当z2=z1=时,|PQ|取得最小值,最小值是a. 22 2