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1、,高中函数大题专练、已知关于的不等式，其中。试求不等式的解集；对于不等式的解集，若满足（其中为整数集）。试探究集合能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由。、对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。 对任意的，总有； 当时，总有成立。已知函数与是定义在上的函数。（1）试问函数是否为函数？并说明理由；（2）若函数是函数，求实数的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程解的个数情况。3.已知函数. （1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.4.设函数是定义在上的偶函数.若当时，（1）求在上的解析式.（2）请你作出函数的
2、大致图像.（3）当时，若，求的取值范围.（4）若关于的方程有7个不同实数解，求满足的条件.5已知函数。 （1）若函数是上的增函数，求实数的取值范围； （2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）对于函数若存在区间，使时，函数的值域也是，则称是上的闭函数。若函数是某区间上的闭函数，试探求应满足的条件。6、设，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正实数，使函数的定义域和值域相同。7对于函数，若存在 ，使成立，则称点为函数的不动点。（1）已知函数有不动点（1，1）和（-3，-3）求与的值；（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）若定义在实数集R上的奇函数
3、存在（有限的） 个不动点，求证：必为奇数。8设函数的图象为、关于点A（2，1）的对称的图象为，对应的函数为. （1）求函数的解析式； （2）若直线与只有一个交点，求的值并求出交点的坐标.9设定义在上的函数满足下面三个条件：对于任意正实数、，都有； ；当时，总有. （1）求的值； （2）求证：上是减函数.10 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。（1）求函数的解析式；（2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；（3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。11.记函数的定义域为，的定义域为，（1）求： （2）若，求、的取值范围12、对于在
4、上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的，否则称与在上是非接近的.现在有两个函数与，现给定区间.(1)若，判断与是否在给定区间上接近；(2)若与在给定区间上都有意义，求的取值范围；(3)讨论与在给定区间上是否是接近的.13集合A是由具备下列性质的函数组成的：(1) 函数的定义域是； (2) 函数的值域是；(3) 函数在上是增函数试分别探究下列两小题：（）判断函数，及是否属于集合A？并简要说明理由（）对于（I）中你认为属于集合A的函数，不等式，是否对于任意的总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=（1）若
5、f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立，求F(x)表达式。（2）在（1）的条件下,当x时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。（3）（理）设m0,n0,a0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)0。15函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。(1)求a、b的值； (2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A(3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。函数大题专练答案、已知关于的不等式，其中。试求不等式的解集；对于不等式的解集，
6、若满足（其中为整数集）。试探究集合能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由。解：（1）当时，；当且时，；当时，；（不单独分析时的情况不扣分）当时，。（2） 由（1）知：当时，集合中的元素的个数无限；当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集。因为，当且仅当时取等号，所以当时，集合的元素个数最少。此时，故集合。、对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。 对任意的，总有； 当时，总有成立。已知函数与是定义在上的函数。（1）试问函数是否为函数？并说明理由；（2）若函数是函数，求实数的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程解的个数
7、情况。解：（1） 当时，总有，满足， 当时，满足 （2）若时，不满足，所以不是函数；若时，在上是增函数，则，满足 由 ，得，即， 因为 所以 与不同时等于1 当时， ， 综合上述：（3）根据（）知：a=1，方程为， 由得 令，则 由图形可知：当时，有一解；当时，方程无解。 .已知函数. （1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.解 （1）当时，；当时，. 由条件可知 ，即 ，解得 .，. （2）当时，即 .， .， 故的取值范围是.设函数是定义在上的偶函数.若当时，（1）求在上的解析式.（2）请你作出函数的大致图像.（3）当时，若，求的取值范围.（4）若关于的方程有7个不同实数解
8、，求满足的条件.解（1）当时，.（2）的大致图像如下：. （3）因为，所以，解得的取值范围是.（4）由（2），对于方程，当时，方程有3个根；当时，方程有4个根，当时，方程有2个根；当时，方程无解.15分所以，要使关于的方程有7个不同实数解，关于的方程有一个在区间的正实数根和一个等于零的根。所以，即.已知函数。 （1）若函数是上的增函数，求实数的取值范围； （2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； （3）对于函数若存在区间，使时，函数的值域也是，则称是上的闭函数。若函数是某区间上的闭函数，试探求应满足的条件。解：（1） 当时，设且，由是上的增函数，则由，知，所以，即 （2）当时，在
9、上恒成立，即因为，当即时取等号，所以在上的最小值为。则（3） 因为的定义域是，设是区间上的闭函数，则且（4） 若当时，是上的增函数，则，所以方程在上有两不等实根，即在上有两不等实根，所以，即且当时，在上递减，则，即，所以若当时，是上的减函数，所以，即，所以、设，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正实数，使函数的定义域和值域相同。解：（1）若，则对于每个正数，的定义域和值域都是故满足条件 （2）若，则对于正数，的定义域为， 但的值域，故，即不合条件； （3）若，则对正数，定义域 ，的值域为， 综上所述：的值为0或 对于函数，若存在 ，使成立，则称点为函数的不动点。（1）已知函数有不动点（1，1
10、）和（-3，-3）求与的值；（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求的取值范围；（3）若定义在实数集R上的奇函数存在（有限的） 个不动点，求证：必为奇数。解：（1）由不动点的定义：，代入知，又由及知。 ，。（2）对任意实数，总有两个相异的不动点，即是对任意的实数，方程总有两个相异的实数根。中，即恒成立。故，。故当时，对任意的实数，方程总有两个相异的不动点。 .1（3）是R上的奇函数，则，（0，0）是函数的不动点。若有异于（0，0）的不动点，则。又，是函数的不动点。的有限个不动点除原点外，都是成对出现的， 所以有个（），加上原点，共有个。即必为奇数 设函数的图象为、关于点A（2，1）的
11、对称的图象为，对应的函数为. （1）求函数的解析式； （2）若直线与只有一个交点，求的值并求出交点的坐标.解（1）设是上任意一点， 设P关于A（2，1）对称的点为 代入得 （2）联立或 （1）当时得交点（3，0）； （2）当时得交点（5，4）.9设定义在上的函数满足下面三个条件：对于任意正实数、，都有； ；当时，总有. （1）求的值； （2）求证：上是减函数.解（1）取a=b=1，则 又. 且.得： （2）设则： 依再依据当时，总有成立，可得 即成立，故上是减函数。10 已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。（1）求函数的解析式；（2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上
12、的单调递增区间（不必证明）；（3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。解：（1）时， 则 ， 函数是定义在上的奇函数，即，即 ，又可知 ，函数的解析式为 ，；（2）， ，即 时， 。猜想在上的单调递增区间为。（3）时，任取， 在上单调递增，即，即，当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。11.记函数的定义域为，的定义域为，（1）求： （2）若，求、的取值范围解：（1），（2），由，得，则，即， 。12对于在上有意义的两个函数与，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的，否则称与在上是非接近的.现在有两个函数与，现给定区间.(1)若，判断与是否在给定区间上接近；(2)若与在给定区间上
13、都有意义，求的取值范围；(3)讨论与在给定区间上是否是接近的.解：（1）当时，令，当时，即，与是否在给定区间上是非接近的. 4分(2)由题意知，且， 4分(3) 假设与在给定区间上是接近的，则有 （*）令G（x）=，当时，在的右侧，即G（x）=，在上为减函数，所以由（*）式可得 ，解得 因此，当时，与在给定区间上是接近的；当时，与在给定区间上是非接近的. 14分13集合A是由具备下列性质的函数组成的：(1) 函数的定义域是； (2) 函数的值域是；(3) 函数在上是增函数试分别探究下列两小题：（）判断函数，及是否属于集合A？并简要说明理由（）对于（I）中你认为属于集合A的函数，不等式，是否对于
14、任意的总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论解：（1）函数不属于集合A. 因为的值域是,所以函数不属于集合A.(或，不满足条件.)在集合A中, 因为: 函数的定义域是； 函数的值域是； 函数在上是增函数（2），对于任意的总成立14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b为实数）,F(x)=（1）若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立，求F(x)表达式。（2）在（1）的条件下,当x时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围。（3）（理）设m0,n0,a0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)0。解：（1）f(-1)=0 由f(x)0恒成立 知=b-4a=(
15、a+1)-4a=(a-1)0 a=1从而f(x)=x+2x+1 F(x)= ，（2）由（1）可知f(x)=x+2x+1 g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1，由于g(x)在上是单调函数,知-或-，得k-2或k6 ，（3）f(x)是偶函数，f(x)=f(x)，而a0在上为增函数对于F(x)，当x0时-x0，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)，当x0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，F(x)是奇函数且F(x)在上为增函数，m0,n-n0知F(m)F(-n)F(m)-F(n)F(m)+F(n)0 。15函数f(x)=(a，b是非零实常数)，满足f(2)=1，且方
16、程f(x)=x有且仅有一个解。(1)求a、b的值； (2)是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点A(3,1)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。解 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程=x的解，所以=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1，所以a=。 (2)f(x)=，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立，取x=0，则f(0)+f(m0)=4，即=4，m= 4(必要性)，又m= 4时，f(x)+f(4x)=4成立(充分
17、性) ，所以存在常数m= 4，使得对定义域中任意的x，f(x)+f(mx)=4恒成立， (3)|AP|2=(x+3)2+()2，设x+2=t，t0， 则|AP|2=(t+1)2+()2=t2+2t+2+=(t2+)+2(t)+2=(t)2+2(t)+10=( t+1)2+9， 所以当t+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| min = 3 。16、已知函数是奇函数。（1）求的值；（2）请讨论它的单调性，并给予证明。解（1）是奇函数，；即，解得：，其中（舍）；经验证当时，确是奇函数。（2）先研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2（0，1），且设x10，即在（0，1）内单调递减；由于是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数在（1，0）内单调递减。