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1、,前三届高数竞赛预赛试题(非数学类)(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题(每小题5分,共20分)1计算_,其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令,则, (*)令,则,2设是连续函数,且满足, 则_.解: 令,则,,解得。因此。3曲面平行平面的切平面方程是_.解: 因平面的法向量为,而曲面在处的法向量为,故与平行,因此,由,知,即,又,于是曲面在处的切平面方程是,即曲面 平行平面的切平面方程是。4设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则_.解: 方程的两
2、边对求导,得因,故,即,因此二、(5分)求极限,其中是给定的正整数.解 :因故因此三、(15分)设函数连续,且,为常数,求并讨论在处的连续性.解 : 由和函数连续知,因,故,因此,当时,故当时,这表明在处连续.四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证:(1);(2).证 :因被积函数的偏导数连续在上连续,故由格林公式知(1)而关于和是对称的,即知因此(2)因故由知即 五、(10分)已知,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解 设,是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,则和都是二阶常系数线性齐次微分方程的解,因此的特征多项式是,而的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次
3、微分方程为,由和,知,二阶常系数线性非齐次微分方程为六、(10分)设抛物线过原点.当时,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线过原点,故,于是即而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积即令,得即因此,.七、(15分)已知满足, 且, 求函数项级数之和.解 ,即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由知,于是下面求级数的和:令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令,得,因此级数的和八、(10分)求时, 与等价的无穷大量.解 令,则因当,时,故在上严格单调减。因此即,又,所以,当时, 与等价的无穷大量是。2010年 第二届全国大学生数学
4、竞赛预赛试卷(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)一、(25分,每小题5分)(1)设其中求(2)求。(3)设,求。(4)设函数有二阶连续导数,求。(5)求直线与直线的距离。解:(1)=(2) 令x=1/t,则原式=(3)二、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且且存在一点,使得。证明:方程在恰有两个实根。解: 二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为f(x)有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值。将f(x)二阶泰勒展开:因为二阶倒数大于0,所以,证明完成。三、(15分)设函数由参数方程所确定,其中具有二阶
5、导数,曲线与在出相切,求函数。解:(这儿少了一个条件)由与在出相切得,=。上式可以得到一个微分方程,求解即可。四、(15分)设证明:(1)当时,级数收敛;(2)当且时,级数发散。解:(1)0, 单调递增当收敛时,而收敛,所以收敛;当发散时,所以,而,收敛于k。所以,收敛。(2)所以发散,所以存在,使得于是,依此类推,可得存在使得成立,所以当时,所以发散五、(15分)设是过原点、方向为,(其中的直线,均匀椭球,其中(密度为1)绕旋转。(1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。解:(1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离由轮换对称性,(2)当时,当时,六、(15分)设函数
6、具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积分的值为常数。(1)设为正向闭曲线证明(2)求函数;(3)设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求。解:(1) L不绕原点,在L上取两点A,B,将L分为两段,再从A,B作一曲线,使之包围原点。则有(2) 令由(1)知,代入可得上式将两边看做y的多项式,整理得由此可得解得:(3) 取为,方向为顺时针2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷(参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题。)一 计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)(1).求;解:(用两个重要极限):
7、(2).求;解:(用欧拉公式)令其中,表示时的无穷小量,(3)已知,求。解:二(本题10分)求方程的通解。解:设,则是一个全微分方程,设该曲线积分与路径无关三(本题15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且均不为0,证明:存在唯一一组实数,使得。证明:由极限的存在性:即,又,由洛比达法则得由极限的存在性得即,又,再次使用洛比达法则得由得是齐次线性方程组的解设,则,增广矩阵,则所以,方程有唯一解,即存在唯一一组实数满足题意,且。四(本题17分)设,其中,为与的交线,求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。解:设上任一点,令,则椭球面在上点M处的法向量为:在点M处的切
8、平面为:原点到平面的距离为,令 则,现在求在条件,下的条件极值,令则由拉格朗日乘数法得:,解得或,对应此时的或此时的或又因为,则所以,椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为: ,五(本题16分)已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分()取上侧,是S在点处的切平面,是原点到切平面的距离,表示S的正法向的方向余弦。计算:(1);(2)解:(1)由题意得:椭球面S的方程为令则,切平面的法向量为,的方程为,原点到切平面的距离将一型曲面积分转化为二重积分得:记(2)方法一: 六(本题12分)设f(x)是在内的可微函数,且,其中,任取实数,定义证明:绝对收敛。证明:由拉格朗日中值定理得:介于之间,使得,又得级数收敛,级数收敛,即绝对收敛。七(本题15分)是否存在区间上的连续可微函数f(x),满足,?请说明理由。解:假设存在,当时,由拉格朗日中值定理得:介于0,x之间,使得,同理,当时,由拉格朗日中值定理得:介于x,2之间,使得即,显然,又由题意得即,不存在,又因为f(x)是在区间上的连续可微函数,即存在,矛盾,故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数f(x)。