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1、2021年 第一届全国高校生数学竞赛预赛试卷一、填空题每题5分，共20分1计算_，其中区域由直线及两坐标轴所围成三角形区域.2设是连续函数，且满意, 那么_.3曲面平行平面的切平面方程是_.4设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，那么_.二、5分求极限，其中是给定的正整数.三、15分设函数连续，且，为常数，求并探讨在处的连续性.四、15分平面区域，为的正向边界，试证：1；2.五、10分，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、10分设抛物线过原点.当时,又该抛物线及轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、15分满意, 且, 求函
2、数项级数之和.八、10分求时, 及等价的无穷大量.2021年 第二届全国高校生数学竞赛预赛试卷一、25分，每题5分1设其中求2求。3设，求。4设函数有二阶连续导数，求。5求直线及直线的间隔 。二、15分设函数在上具有二阶导数，并且且存在一点，使得。三、15分设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，曲线及在出相切，求函数。四、15分设证明：1当时，级数收敛；2当且时，级数发散。五、15分设是过原点、方向为，其中的直线，匀称椭球，其中密度为1绕旋转。1求其转动惯量；2求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的随意光滑的简洁闭曲线上，曲线积分的值为常数。
3、1设为正向闭曲线证明2求函数；3设是围绕原点的光滑简洁正向闭曲线，求。2021年 第三届全国高校生数学竞赛预赛试卷一 计算以下各题此题共3小题，每题各5分，共15分1.求；2.求；3，求。二此题10分求方程的通解。三此题15分设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得。四此题17分设，其中，为及的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点间隔 的最大值和最小值。五此题16分S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分取上侧，是S在点处的切平面，是原点到切平面的间隔 ，表示S的正法向的方向余弦。计算：1；2六此题12分设f(x)是在内的可微函数，且，其中
4、，任取实数，定义证明：肯定收敛。七此题15分是否存在区间上的连续可微函数f(x)，满意，？请说明理由。第四届全国高校生数学竞赛预赛试卷一、本大题共5小题，每题6分共30分解答以下个体要求写出要求写出重要步骤(1) 求极限(2) 求通过直线的两个相互垂直的平面和，使其中一个平面过点。(3) 函数，且。确定常数和，使函数满意方程(4) 设函数连续可微，且在右半平面及途径无关，求。(5) 求极限二、此题10分计算三、求方程的近似解，精确到0.001.四、此题12分设函数二阶可导，且，求，其中是曲线上点处的切线在轴上的截距。 五、此题12分求最小实数，使得满意的连续函数都 有 六、此题12分设为连续函
5、数，。区域是由抛物面 和球面所围起来的部分。定义三重积分 求的导数七、此题14分设及为正项级数，证明： 1假设，那么级数收敛； 2假设，且级数发散，那么级数发散。第五届全国高校生数学竞赛预赛试卷一、 解答以下各题每题6分共24分，要求写出重要步骤1.由确定，求的极值。上的点A作切线，使该切线及曲线及轴所围成的平面图形的面积为，求点A的坐标。二、总分值12计算定积分三、总分值12分设在处存在二阶导数，且。证明 ：级数收敛。四、总分值12分设，证明五、总分值14分设是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分。试确定曲面，使积分I的值最小，并求该最小值。六、总分值14分设，其中为常数，曲线C
6、为椭圆，取正向。求极限七总分值14分推断级数的敛散性，假设收敛，求其和。第六届全国高校生数学竞赛预赛试卷一、填空题(共有5小题，每题6分，共30分)1.和是齐次二阶常系数线性微分方程的解，那么该方程是_ _2.设有曲面和平面。那么及平行的的切平面方程是_3.设函数由方程所确定。求_4.设。那么_5.。那么_二、此题12分设为正整数，计算。三、此题14分设函数在上有二阶导数，且有正常数使得。证明：对随意，有。四、此题14分1设一球缺高为，所在球半径为。证明该球缺体积为。球冠面积为；2设球体被平面所截得小球缺为，记球冠为，方向指向球外。求第二型曲面积分五、此题15分设在上非负连续，严格单增，且存在，使得。求六、此题15分设。求第七届全国高校生数学竞赛预赛试卷一、填空题每题6分，共5小题，总分值30分1极限 .2设函数由方程所确定，其中具有连续偏导数，且。那么 .3曲面在点的切平面及曲面所围区域的体积是 .4函数在的傅立叶级数在收敛的值是 .3设区间上的函数定义域为的，那么的初等函数表达式是 .二、12分设是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。三、12分设在内二次可导，且存在常数，使得对于，有，那么在内无穷次可导。四、14分求幂级数的收敛域，及其和函数。五、16分设函数在上连续，且。试证：1使2使五、16分设在上有连续的二阶偏导数，且。假设证明：。