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1、3 3 函数的单调性函数的单调性（教案）教案）一、一、教学目的：教学目的：（1）通过已学过的函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性二、二、教学重点教学重点、难点、难点：（1）重点：函数的单调性及其几何意义（2）难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性三、教学方法：三、教学方法：启发、引导、讨论.四、四、教学过程：教学过程：（一）问题情境（一）问题情境1海宁潮，又名钱江潮，自古称之为“天下奇观”。“八月十八潮，壮观天下无”。海宁潮是一个壮观无比的自然动态奇观，当江潮从东面来时，似一条银线，周密在观
2、潮中写道：“则玉城雪岭际天而来，大声如雷霆，震撼激射，吞天沃日，势极雄豪”。潮起潮落，牵动了无数人的心。如何用函数形式来表示，起和落？2教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语：蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏。如何用学过的函数图象来描绘这些成语？（二）温故知新（二）温故知新1问题 1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。观察得到：随着 x 值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。2问题 2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？例如：初中研究2yx时，我们知道，
3、当x0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。回忆初中对函数单调性的解释：图象呈逐渐上升趋势数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势数值y随x的增大而减小。函数这种性质称为函数的单调性单调性。（三）建构概念（三）建构概念问题 3：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？2对于区间I内的任意两个值12,x x，当12xx时，都有12()()f xf x。单调增函数的定义：单调增函数的定义：问题 4：如何定义单调减函数呢？可以通过类比的方法由学生给出。如果函数)(xfy 在整个定义域内整个定义域内是增加的或是减少的，我们称这个函数为增函数增函数或减函数减函数,统称为单调函数单调函数。注
4、意：理解概念中自变量取值的任意性。区别“任意”、“无数”、“所有”之间的关系。其中“任意”等价于“所有”，“任意”不等价于“无数”。（四）理解概念（四）理解概念1顾名思义，对“单调”两字加深理解汉语大词典对“单调”的解释是：简单、重复而没有变化。2呼应引入，解决问题情境中的问题3如：21yx的单调增区间是(,)；1yx在(0,)上是减函数。3单调性是函数的“局部”性质如：函数1yx在(0,)和(,0)上都是减函数，能否说1yx在定义域(,0)(0,)上是减函数？引导学生讨论，从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论（如取1211,2xx）。概念理解概念理解：增函数、减函数、单调函数是对整个定义域
5、而言。有的函数不是单调函数，但在某个区间上可以有单调性。（五）（五）运用概念运用概念【例题 1】如下图是定义在闭区间5,5上的函数)(xfy 的图像，根据图像说出)(xfy 的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数)(xfy 是增函数还是减函数。【例题 2】证明函数12)(xxf在区间),(上是单调递增函数。证明：设21,xx是区间),(内任意两个实数，且21xx)(2)12(12)()(212121xxxxxfxf又21xx，021xx0)()(21xfxf即)()(21xfxf则函数12)(xxf在区间),(上是单调递增函数。【例题 3】判断函数xxxf2)(2的单调性，并加以证明。4通过
6、图像观察可知，函数在区间)1,(上单调递减，在区间),1(上单调递增。通过单调函数的定义，进行证明。通过三个例题，教师要向学生说明：1判断函数单调性的主要方法：观察法：画出函数图象来观察；定义法：严格按照定义进行验证；分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。2概括出证明函数单调性的一般步骤：取值作差定号结论。（1）设21xx 是区间上的任意两个数（2）作差)()(21xfxf（3）判断)()(21xfxf的符号 分解因式,得出因式21xx 配成非负实数和（4）作结论【练习】：作出函数|1|1yx、2|1|yx的图象，写出他们的单调区间。（六）回顾总结（六）回顾总结本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。五、五、教学反思教学反思