高量角动量耦合精选文档.ppt

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1、高量角动量耦合1本讲稿第一页，共四十七页一、一、Clebsch-Gordan系数（系数（CG系数）系数）任何系统所在的任何系统所在的Hilbert空间总可以写成两个空间的直积：空间总可以写成两个空间的直积：其中其中 不受空间转动的影响，不受空间转动的影响，在空在空间转动时间转动时要要发发生相生相应应的的变变化。化。后一空后一空间间的基矢的基矢就是就是这这个系个系统统角角动动量本征矢量。量本征矢量。子系子系统统2的相的相应应量量为为，和和和和大系大系统统的的总总角角动动量量为为设设子系子系统统1的角的角动动量算符量算符为为，本征矢量，本征矢量为为和和本征矢量本征矢量为为2本讲稿第二页，共四十七页

2、描写大系描写大系统统的的态态矢量随空矢量随空间转动间转动而而变变的那一部分，的那一部分，从两个子系从两个子系统统角度角度讲讲是在空是在空间间中，而从大系中，而从大系统统的角度的角度讲讲，是在空，是在空间间中，两中，两组组基矢所基矢所张张的空的空间间是同一个空是同一个空间间，两，两组组基矢可以通基矢可以通过过一个幺正一个幺正变换变换相相联联系。系。，3本讲稿第三页，共四十七页和和 ，取固定的取固定的和和的关系的关系为为式中式中 可写成可写成 式中式中 是在是在这这确定的子空确定的子空间间中的两中的两组组基矢基矢变换变换的的不耦合表象：不耦合表象：耦合表象：耦合表象：幺正矩阵，称为幺正矩阵，称为C

3、G系数系数，Wigner系数或矢量耦合系数。系数或矢量耦合系数。4本讲稿第四页，共四十七页二、由二、由j1和和j2确定确定j1.重要关系重要关系j1和和j2取取 定定 的的 子子 空空 间间，从从 不不 耦耦 合合 表表 象象 看看，是是(2j1+1)(2j2+1)维维 的的。耦耦 合合 表表 象象 的的 基基 矢矢 也也 应应 该该 是是(2j1+1)(2j2+1)个，由此看个，由此看j的取值范围。的取值范围。对对23.3 两两边边用用分分别别作用，有作用，有即即 由此得由此得 5本讲稿第五页，共四十七页设设，即，即可以表示成可以表示成的叠加，的叠加，上式两上式两边边用用作用（作用（），当当

4、左左边边的的m由由于于受受到到J的的作作用用变变为为m时时，(-j mj)，右右边边的的m1和和m2也也由由于于受受到到J1和和J2的的作作用用取取不不同同的的值值，而而且且不不会会所所有有的的项项都都成成为为0，这这样样23.3式式仍仍然然成成立立，这这证证明明，若若对对某某一一个个m，|jm在在此此空空间间，则则所所有有的的2j+1个个|jm必然也在此空间。必然也在此空间。6本讲稿第六页，共四十七页2.j的最大值和最小值的最大值和最小值最大的最大的j应该是应该是j1+j2。反反证证之之：设设jj1+j2的的|jm也也可可表表示示为为|j1m1|j2m2的的叠叠加加，用用J+=J1+J2+分

5、分别别作作用用于于等等号号两两边边若若干干次次，使使左左边边为为|jj(jj1+j2），这这时时右右边边各各项项已已全全部部为为0，此此时时m=m1+m2已不再满足。所以已不再满足。所以jj1+j2是不可能的。是不可能的。7本讲稿第七页，共四十七页设最小值为设最小值为x，根据耦合表象和不耦合表象的基矢数，根据耦合表象和不耦合表象的基矢数目相等，有目相等，有右边是一个等差级数，共右边是一个等差级数，共(j1+j2-x+1)，这样有，这样有由此得由此得 即最小的即最小的j值是值是|j1-j2|，最后得，最后得8本讲稿第八页，共四十七页三、三、CG系数的正交性关系系数的正交性关系CG系数系数是幺正矩

6、是幺正矩阵阵元，元，满满足正交性关系：足正交性关系：式中式中 事实上，事实上，CG系数的国际标准值都是实数，所以系数的国际标准值都是实数，所以9本讲稿第九页，共四十七页23-2 CG系数的计算系数的计算一、一、m=j的特殊情况的特殊情况若若m=j，将，将简简写写为为，根据，根据CGCG系数的定系数的定义义有有 符号符号对对的取的取值值范范围进围进行了明确的限制。行了明确的限制。计计算算时时利用两个性利用两个性质质：等号两：等号两边边都是都是的本征矢量，本征的本征矢量，本征值为值为；利用；利用的性的性质质。10本讲稿第十页，共四十七页即：即：22.53 11本讲稿第十一页，共四十七页上式第二上式

7、第二项项再做代再做代换换，有有上式第一上式第一项项再做代再做代换换，有有与星式比较，则第二项代换后等于星式第一项，第一项代换后等于与星式比较，则第二项代换后等于星式第一项，第一项代换后等于星式第二项，所以由第二项代换后等于星式第一项得：星式第二项，所以由第二项代换后等于星式第一项得：12本讲稿第十二页，共四十七页得得递递推公式：推公式：递递推下去，得推下去，得即即m1增大到最大增大到最大j1，m2减小到最小减小到最小j-j1。（。（m1+m2=j）最最终终：其中其中 与与m1,m2无关的常数，可以用无关的常数，可以用|j1j2jj的的归归一化条件得出一化条件得出a即即23.16式，代入式，代入

8、23.14，得，得 23.1723.17式式13本讲稿第十三页，共四十七页二、一般的CG系数的的求法根据根据 易推出易推出 次次（即作用（即作用之后，之后，）由此得由此得 所以所以 取其负共轭，利用取其负共轭，利用，得，得 14本讲稿第十四页，共四十七页由二项式定理得由二项式定理得则有则有 将此式代入将此式代入23.18式，利用式，利用23.17式（式（m=j的情况）为的情况）为“边边界界”条件，条件，注意到注意到得到得到CG系数的最后系数的最后结结果：果：23.19式（式（Edmonds）为实数，为实数，15本讲稿第十五页，共四十七页 式中：式中：满满足足m=m1+m2，求和，求和变变量的取

9、量的取值值范范围围是不使是不使分母括号中的量分母括号中的量为负为负的所有正整数；的所有正整数；j1,j2,m1,m2可可以取整数，也可以取半数。以取整数，也可以取半数。mj时时，16本讲稿第十六页，共四十七页等价的等价的Racah形式：形式：注意各值关系和范围：注意各值关系和范围：，17本讲稿第十七页，共四十七页三、查三、查CG系数表系数表j1j2 18本讲稿第十八页，共四十七页23-3 CG系数和转动矩阵系数和转动矩阵一、一、CG系数与转动群表示之间的关系系数与转动群表示之间的关系19本讲稿第十九页，共四十七页于是在直积空间中有于是在直积空间中有 式中式中 对对耦合表象基矢耦合表象基矢，它是

10、，它是和和的本征矢量，因而也是的本征矢量，因而也是转动转动群的一个不可群的一个不可约约表示的基矢：表示的基矢：20本讲稿第二十页，共四十七页以上两套基矢通过以上两套基矢通过CG系数联系起来：系数联系起来：其逆变换是：其逆变换是：令令(23.24)两边经受一个转动两边经受一个转动Q，则有，则有(23.25)代入代入 利用矩阵相乘利用矩阵相乘 21本讲稿第二十一页，共四十七页将此式与将此式与23.2323.23式相比较，得式相比较，得这这是是CG系数与系数与转动转动群的表示之群的表示之间间的重要关系式。的重要关系式。和和二二者者的的直直积积矩矩阵阵也也是是转转动动群群的的一一个个表表示示，上上式式

11、表表明明，两两个个不不可可约约表表示示的的直直积积是是可可约约的的，其其约约化化矩矩阵阵就就是是以以CGCG系系数数作作为为矩矩阵阵元元的的矩矩阵阵S。（在在被被S矩矩阵阵作作用用后后，直直积积矩矩阵阵被被块对块对角化）角化）都是转动群都是转动群Q的不可约表示，的不可约表示，22本讲稿第二十二页，共四十七页二、二、CG系数的一个普遍公式系数的一个普遍公式由由23.26得得 写成矩阵元的形式为写成矩阵元的形式为 两两边边乘以乘以，并对，并对Q积分，积分，因因为为是完全已知的，所以可以求出是完全已知的，所以可以求出CGCG系数系数的普遍公式：（的普遍公式：（23.2723.27）。）。23本讲稿第

12、二十三页，共四十七页23-4 CG系数和系数和3j符号符号一、CG系数的性质系数的性质1.在在中，中，j1、j2和和j可以是整数，可以是整数，以及三角形条件：以及三角形条件：m1、m2和和m必须满足：必须满足：只有满足这些条件，只有满足这些条件，CG系数才不为零。系数才不为零。也可以是半数，但必须满足：也可以是半数，但必须满足：24本讲稿第二十四页，共四十七页2.CG系数是实数系数是实数3.CG系数满足幺正性条件系数满足幺正性条件25本讲稿第二十五页，共四十七页4.其他关系其他关系26本讲稿第二十六页，共四十七页二二3j符号符号1.定义：定义：2.对称性质：对称性质：27本讲稿第二十七页，共四

13、十七页3.相关公式的相关公式的3j符号表示符号表示28本讲稿第二十八页，共四十七页23-5 323-5 3个角动量的耦合个角动量的耦合考考虑虑一个系一个系统统有三个不同的，互相有三个不同的，互相对对易的角易的角动动量量的情况。的情况。设设它它们们的本征矢量分的本征矢量分别为别为，和和。三个角。三个角动动量的矢量和，即系量的矢量和，即系统统的的总总角角动动量量为为一、耦合表象基矢的构造一、耦合表象基矢的构造描写描写这这个系个系统统的的HilbertHilbert空空间间中的角中的角动动量有关量有关的直的直积积空空间间，的部分是三个空间的部分是三个空间其基矢是其基矢是29本讲稿第二十九页，共四十七

14、页第一套：第一套：先将先将和和耦合，令耦合，令 则则 和和四个算符的共同本征矢量是四个算符的共同本征矢量是然后根据然后根据 再把再把和和耦合，得到耦合，得到它它们们是六个算符是六个算符的共同本征矢量。的共同本征矢量。30本讲稿第三十页，共四十七页第二套：先将第二套：先将和和 耦合，令耦合，令然后再将然后再将和和耦合耦合 与前类似，可以得到另一套基矢与前类似，可以得到另一套基矢由一个幺正由一个幺正变换联变换联系起来：系起来：定定义义Racah系数系数两套基矢都是空两套基矢都是空间间中的基矢组，中的基矢组，31本讲稿第三十一页，共四十七页二、二、Racah系数的计算系数的计算由由23.68左乘左乘

15、得得 又可证明又可证明 所以所以 32本讲稿第三十二页，共四十七页并将式中的并将式中的j12和和m12改改为为j12和和m12,得得 两两边边乘以乘以再再对对m1,m2取和，取和，利用利用CG系数的幺正性得系数的幺正性得33本讲稿第三十三页，共四十七页两两边边再乘以再乘以，对对m12,m3取和，最后得取和，最后得Racah系数用系数用CG系数表示的公式。系数表示的公式。34本讲稿第三十四页，共四十七页CG系数是完全已知的，所以系数是完全已知的，所以Racah系数原则上已经求出。系数原则上已经求出。经过化简得到经过化简得到Racah系数的普遍公式：系数的普遍公式：在上式中在上式中 35本讲稿第三

16、十五页，共四十七页23-6 6j符号和符号和9j符号符号目目前前文文献献上上在在使使用用RacahRacah系系数数时时，常常用用对对称称性性更更为为明明显显的的6j6j符号，而当遇到四个角动量耦合时又会使用符号，而当遇到四个角动量耦合时又会使用9j9j符号。符号。一、一、6j符号符号定义：定义：通常写成：通常写成：36本讲稿第三十六页，共四十七页The 6j symbol the coupling probability for three angular momenta.is related toIt is valid when(triangle relations)37本讲稿第三十七页，

17、共四十七页二、二、9j符号符号在研究四个角动量耦合时会遇到在研究四个角动量耦合时会遇到9j符号，例如原子系统中的符号，例如原子系统中的LS耦合和耦合和jj耦合之间的关系。耦合之间的关系。设设有四个互相有四个互相对对易的角易的角动动量量J1,J2,J3,J4，则在，则在HilbertHilbert空间空间中，可以建立两中，可以建立两组组新的基矢：新的基矢：对对于于给给定定的的J1,J2,J3,J4，这这两两组组基基矢矢是是以以一一个个幺幺正正矩矩阵阵互互相相变变换换的的，9j符符号号就就是是这这个个变变换换矩矩阵阵的的矩矩阵阵元元乘乘以以一一个个参参数，其定义为数，其定义为38本讲稿第三十八页，

18、共四十七页The 9j symbol coupling probability for four angular momenta.is related to theIt is valid when39本讲稿第三十九页，共四十七页9j9j符符号号具具有有很很高高的的对对称称性性，对对于于行行和和列列的的偶偶数数次次对对调调，对对于于两两个个对对角角线线的的反反射射，9j9j符符号号都都不不改改变变数数值值；对对于于行行和和列列的的奇奇数数次次对对调调，9j9j符符号号只只差差一一个个符符号号(-1)s，s为为其其中所有中所有9 9个量之和。当个量之和。当9j9j符号有一个量为符号有一个量为0 0

19、时，有时，有40本讲稿第四十页，共四十七页9j9j符号还有以下关系：符号还有以下关系：41本讲稿第四十一页，共四十七页23-7 LS耦合和耦合和jj耦合耦合以以具具有有两两个个价价电电子子的的原原子子为为例例，讨讨论论这这一一双双电电子子系系统统的态矢量的角向部分。的态矢量的角向部分。一、基矢的选择、基矢的选择设设两两电电子子的的轨轨道道角角动动量量和和自自旋旋角角动动量量分分别别为为L L1 1,L,L2 2和和S S1 1,S,S2 2，则则根根据据前前面面的的讨讨论论，在在这这一一双双电电子子的的HilbertHilbert空间中可以有两组基矢系统。第一组是：空间中可以有两组基矢系统。第

20、一组是：42本讲稿第四十二页，共四十七页在在这这组组基基矢矢描描写写的的状状态态中中，总总轨轨道道角角动动量量L=L1+L2的的大大小小和和总总自自旋旋角角动动量量S=S1+S2的的大大小小以以及及总总角角动动量量J的的大大小小和和z分分量量取确定值。这组基矢称为取确定值。这组基矢称为LS耦合的基矢。耦合的基矢。另一组基矢系统为另一组基矢系统为这这组组基基矢矢表表示示的的态态中中，两两粒粒子子的的总总角角动动量量J1=L1+S1和和J2=L2+S2大大小小以以及及系系统统的的总总角角动动量量J的的大大小小和和z分分量量取取确确定定值，这组基矢称为值，这组基矢称为jj耦合基矢耦合基矢。43本讲稿

21、第四十三页，共四十七页二、系统的二、系统的Hamiltonian和和Schrdinger方程的解方程的解 1对此双电子系统，其哈密顿为对此双电子系统，其哈密顿为式中式中H0为电子在原子核及其余电子（原子实）的场中为电子在原子核及其余电子（原子实）的场中的哈密顿：的哈密顿：（23.91）等式右边最后三项是双电子系统中最重要的）等式右边最后三项是双电子系统中最重要的两种相互作用：两种相互作用：是两是两电电子子间间的的静静电电相互作用相互作用，第四第五项则是两电子各自的自旋轨道相互作用第四第五项则是两电子各自的自旋轨道相互作用(简简称称“旋轨耦合旋轨耦合”)。44本讲稿第四十四页，共四十七页 2.S

22、chrdinger方程的解方程的解 系统的系统的Schrdinger方程的解方程的解 当两电子完全没有相互作用的时候（包括没有旋当两电子完全没有相互作用的时候（包括没有旋轨耦合），轨耦合），此此时时 LS耦合态耦合态 或或jj耦合态耦合态 都可以是都可以是Schrdinger方程的解方程的解 为为与径向方程有关的参数与径向方程有关的参数 45本讲稿第四十五页，共四十七页 两电子只有静电相互作用两电子只有静电相互作用由于由于r12（1/r12也一也一样样）具有空）具有空间转动间转动不不变变性，它性，它 肯定肯定与与L对对易，而（易，而（23.93）式是）式是 的共同本征矢量，的共同本征矢量，与与

23、这这些算符都些算符都对对易，易，的解肯定取的解肯定取LS耦合耦合23.93的形式。的形式。再加上较小的旋轨耦合作用再加上较小的旋轨耦合作用这这种种作作用用可可以以作作为为微微扰扰来来处处理理，根根据据微微扰扰理理论论，态态函函数数与与（23.93）比比较较差差一一个个较较小小的的修修正正。（以以23.93形形式作为式作为0级波函）级波函）所以所以Schrdinger方程方程46本讲稿第四十六页，共四十七页 只考虑旋轨耦合，不考虑静电相互作用只考虑旋轨耦合，不考虑静电相互作用 比如静电相互作用远小于旋轨耦合作用比如静电相互作用远小于旋轨耦合作用 此时此时Schrdinger方程为方程为 因为容易证明因为容易证明 与与对对易易 所以上述方程的解必然是所以上述方程的解必然是jj耦合耦合的（的（23.94）的形式。）的形式。（与与对对易，易，与与对易）对易）所以当二电子静电相互作用较大时，态函数基本上取所以当二电子静电相互作用较大时，态函数基本上取LS耦耦合形式，而自旋轨道相互作用较大时取合形式，而自旋轨道相互作用较大时取jj耦合。耦合。采取何种耦合方式，在于寻找与系统哈密顿量相对易的角动量。采取何种耦合方式，在于寻找与系统哈密顿量相对易的角动量。47本讲稿第四十七页，共四十七页