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1、第七讲 角动量耦合及光谱精细结构1本讲稿第一页，共二十八页 原子中有多个电子，而每个电子又有轨道和原子中有多个电子，而每个电子又有轨道和自旋运动，故角动量有多个，这些角动量又有自旋运动，故角动量有多个，这些角动量又有相应的磁矩，所以有必要研究角动量耦合问题。相应的磁矩，所以有必要研究角动量耦合问题。两个角动量的耦合(coupling of two angular momentums)简单情况是两个角动量的耦合。对于多个角简单情况是两个角动量的耦合。对于多个角动量则依次耦合。动量则依次耦合。2本讲稿第二页，共二十八页两个角动量的耦合(coupling of two angular momentu
2、ms)考虑任意两个角动量算符考虑任意两个角动量算符 和和 它们满足一般对易关系它们满足一般对易关系 它们是相互独立的它们是相互独立的 一、总角动量一、总角动量定义定义 与与 的和为总角动量的和为总角动量 3本讲稿第三页，共二十八页 两个角动量的耦合(coupling of two angular momentums)4本讲稿第四页，共二十八页 由由 、的本征值和本征矢，可以求出的本征值和本征矢，可以求出 本征值和本本征值和本征矢。征矢。设以设以 和和 分别表示分别表示 、的共同本征的共同本征矢和矢和 、的共同本征矢。的共同本征矢。二、本征值和本征矢二、本征值和本征矢 两个角动量的耦合(coup
3、ling of two angular momentums)相应的本征值方程为：相应的本征值方程为：（1）（2 2）5本讲稿第五页，共二十八页 又因又因 、也是相互对易的，则它们的共同也是相互对易的，则它们的共同本征矢也组成正交归一完全系，设为：本征矢也组成正交归一完全系，设为：（4）两个角动量的耦合(coupling of two angular momentums)因为算符因为算符 、相互对易，则它们的相互对易，则它们的共同本征矢组成正交归一完全系：共同本征矢组成正交归一完全系：（3 3）6本讲稿第六页，共二十八页耦合表象可按无耦合表象展开：耦合表象可按无耦合表象展开：其中，展开其中，展开
4、系数系数 称为称为CGCG耦合系数耦合系数（克来布希（克来布希-高登高登系数系数）7.4 两个角动量的耦合(coupling of two angular momentums)显然，显然，是没有耦合的表示，故称为是没有耦合的表示，故称为无耦合表象。无耦合表象。是有耦合的表示，故称为是有耦合的表示，故称为耦合表象。耦合表象。7本讲稿第七页，共二十八页由于由于 故故 或或 （5 5）两个角动量的耦合(coupling of two angular momentums)由上面的讨论可知：由上面的讨论可知：.当求得了量子数当求得了量子数j j 和和 后后,就能得到就能得到 和和 的的本征值。本征值。.
5、当求得当求得CGCG耦合系数后，由（耦合系数后，由（5 5）式可由）式可由 和和 的共同本征矢的共同本征矢 进行线性迭加而得到进行线性迭加而得到 和和 的共同本征矢的共同本征矢 。8本讲稿第八页，共二十八页当当 和和 为已知时，总量子数的取值为：为已知时，总量子数的取值为：的本征值为的本征值为 三、量子数和本征值三、量子数和本征值 两个角动量的耦合(coupling of two angular momentums),有有 个取值个取值；,有有 个取值。个取值。便有便有 个取值，但不完全独立！个取值，但不完全独立！9本讲稿第九页，共二十八页例例：当当 氢氢 原原 子子 处处 于于P P态态 时
6、时，本本 征征 值值 的的 可可 能能 值值 ，的本征值为的本征值为两个角动量的耦合(coupling of two angular momentums)的本征值为的本征值为 ，的本征值为的本征值为 。的独立值：的独立值：10本讲稿第十页，共二十八页 当给定当给定 时，时，有有 个取值，对应有个取值，对应有 个本征矢个本征矢 。当给定当给定 时，时，有有 个取值，对应有个取值，对应有 个本征矢个本征矢 。四、四、CGCG耦合系数和耦合系数和 的本征矢的本征矢两个角动量的耦合(coupling of two angular momentums)同时给定同时给定 和和 时，时，和和 的共同本征矢的
7、共同本征矢 共有共有 个，相应地，耦合表象的本征矢个，相应地，耦合表象的本征矢 也应有也应有 个，而且每一个都是无个，而且每一个都是无耦合表象本征矢耦合表象本征矢 的线性迭加的线性迭加 由于耦合系数的明显表达式复杂，一般查专用表，如由于耦合系数的明显表达式复杂，一般查专用表，如克来克来布希布希-高登系数表高登系数表。下表列出第二个角动量为电子自旋角动量下表列出第二个角动量为电子自旋角动量 时的几个矢量耦合系数。时的几个矢量耦合系数。11本讲稿第十一页，共二十八页两个角动量的耦合(coupling of two angular momentums)将这些系数代入将这些系数代入(5)(5)式可得式
8、可得12本讲稿第十二页，共二十八页两个角动量的耦合(coupling of two angular momentums)（6 6）（6 6）式中，）式中，只表述了只表述了 和和 两个，而两个，而 还有不同取值未表述还有不同取值未表述.注意注意 的数目不定，还得视的数目不定，还得视 而定，例如对而定，例如对氢原子氢原子P P态态,，应有，应有6 6个本征矢个本征矢，其中其中4 4个是独个是独立的。立的。对氢原子对氢原子，（6 6）式也可表示为具体表象形式）式也可表示为具体表象形式 用用 的本征函数的本征函数 和和 的本征函数的本征函数 表示：表示：13本讲稿第十三页，共二十八页 两个角动量的耦合
9、(coupling of two angular momentums)改写为改写为 14本讲稿第十四页，共二十八页7.5 7.5 光谱的精细结构光谱的精细结构 Fine structures of the optical spectrum15本讲稿第十五页，共二十八页 讨论电子自旋与轨道相互作用对类氢原子能级和谱讨论电子自旋与轨道相互作用对类氢原子能级和谱线的影响线的影响。不考虑自旋与轨道相互作用时不考虑自旋与轨道相互作用时对类氢原子对类氢原子 因 彼此对易，它们有共同的本征函数彼此对易，它们有共同的本征函数 7.5 7.5 光谱的精细结构（光谱的精细结构（1 1）未考虑核外内层未考虑核外内层
10、电子对核的屏蔽电子对核的屏蔽无耦合表象无耦合表象基矢基矢而而自旋量子数自旋量子数能量本征值能量本征值 16本讲稿第十六页，共二十八页有两个取值，故有两个取值，故 是是 简并的能级简并的能级 总角动量算符总角动量算符 彼彼此此对对易易，则则它它们们有有共共同同的的本本征征函函数数（耦合表象中的基矢）：（耦合表象中的基矢）：将耦合表象的基矢将耦合表象的基矢 按无耦合表象按无耦合表象基矢基矢 展开展开 7.5 7.5 光谱的精细结构（光谱的精细结构（2 2）17本讲稿第十七页，共二十八页 电子自旋与轨道运动的相互作用能比电子的动能和在核电子自旋与轨道运动的相互作用能比电子的动能和在核场中的势能小得多
11、，现表示为：场中的势能小得多，现表示为：考考虑虑自自旋旋与与轨轨道道运运动动相相互互作作用用能能的的影影响响而而 由于由于 的存在，使的存在，使 和和 都与都与 不对易，故不能不对易，故不能用用 和和 来描述来描述(和和 不是好量子数不是好量子数)7.5 7.5 光谱的精细结构（光谱的精细结构（3 3）（1 1）18本讲稿第十八页，共二十八页（2 2）都和都和 对易，但由于对易，但由于 的存在的存在,与与 不对易，故不能认为不对易，故不能认为 的本征函数的本征函数 就是就是 的本征函数，设的本征函数，设 的本征函数为的本征函数为 ，本征方程为，本征方程为 由于由于 的本征值是简并的，可用简并情
12、况下的微扰理的本征值是简并的，可用简并情况下的微扰理论方法求方程（论方法求方程（2 2）的解。）的解。7.5 7.5 光谱的精细结构（光谱的精细结构（4 4）令令（4）由（由（2 2）式，则有：）式，则有：（3 3）19本讲稿第十九页，共二十八页矩阵元：矩阵元：（4 4）7.5 7.5 光谱的精细结构（光谱的精细结构（5 5）而：而：令令（5 5）20本讲稿第二十页，共二十八页故故 由此得能量的一级修正：由此得能量的一级修正：7.5 7.5 光谱的精细结构（光谱的精细结构（6 6）（6 6）积分：积分：（7）21本讲稿第二十一页，共二十八页 7.5 7.5 光谱的精细结构（光谱的精细结构（7
13、7）当当 和和 给定后，给定后，（除外（除外 ）,能量能量分裂为两个能量值分裂为两个能量值,由此产生了光谱线的精细结构由此产生了光谱线的精细结构。故由此可得两个态的能量分别为故由此可得两个态的能量分别为 （8 8）22本讲稿第二十二页，共二十八页两能级差为两能级差为 7.5 7.5 光谱的精细结构（光谱的精细结构（）精细结构常数精细结构常数 对对于于 的的能能级级，自自旋旋与与轨轨道道无无耦耦合合，故故能能级级不不分裂，不移动。分裂，不移动。相应两个态函数为：相应两个态函数为：对于对于 的能级，均分裂移动。的能级，均分裂移动。23本讲稿第二十三页，共二十八页 7.5 7.5 光谱的精细结构（光
14、谱的精细结构（）对于对于 的情况，的情况，有两个取值，能级均一有两个取值，能级均一分为二。分为二。由于考虑了电子自旋与轨道运动的相互作用，使由于考虑了电子自旋与轨道运动的相互作用，使能级不仅与能级不仅与 有关，而且与有关，而且与j j 有关。有关。对对于于氢氢原原子子，不不考考虑虑相相对对论论效效应应和和轨轨道道与与自自旋旋耦耦合合，能能级级为为 度度简简并并。当当考考虑虑外外电电子子对对核核的的屏屏蔽蔽效效应应或或碱碱金金属属原原子子对对原原子子实实贯贯穿穿时时，能能级级与与 有有关关；再再考考虑虑自自旋旋轨轨道道耦耦合合，能能级级还还与与 有有关关，表表为为 ，但但 乃有乃有 个取值，故为
15、个取值，故为 简并。简并。24本讲稿第二十四页，共二十八页简并是部分消除简并是部分消除 7.5 7.5 光谱的精细结构（光谱的精细结构（1 1）表示表示:原子态原子态总角量子数 主量子数主量子数 重数25本讲稿第二十五页，共二十八页氢原子光谱的精细结构氢原子光谱的精细结构帕邢系第一条巴系第一条巴系第二条 7.5 7.5 光谱的精细结构（光谱的精细结构（1 1）26本讲稿第二十六页，共二十八页钠原子钠原子2 2P P项的精细结构项的精细结构 7.5 7.5 光谱的精细结构（光谱的精细结构（1 1）27本讲稿第二十七页，共二十八页附录附录 7.5 7.5 光谱的精细结构（光谱的精细结构（1 1）28本讲稿第二十八页，共二十八页