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1、三垂线定理及其应用第1页，本讲稿共12页三垂线定理及其应用三垂线定理及其应用aAPo第2页，本讲稿共12页一、一、一、一、三线概念三线概念三线概念三线概念:平面的斜线、垂线、射影平面的斜线、垂线、射影平面的斜线、垂线、射影平面的斜线、垂线、射影aAPo如图如图如图如图POPO是平面是平面是平面是平面 的斜线的斜线的斜线的斜线,OO为斜足为斜足为斜足为斜足;PA PA是平面是平面是平面是平面 的垂线的垂线的垂线的垂线,A,A为垂足为垂足为垂足为垂足;AO是是PO在平面在平面内的射内的射影影.第3页，本讲稿共12页性质定理性质定理判定定理判定定理性质定理性质定理线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直线面
2、垂直线面垂直线线垂直线线垂直 PO 平面平面PAOaPO 二、三垂线定理：在二、三垂线定理：在二、三垂线定理：在二、三垂线定理：在平面内平面内平面内平面内的一条直线的一条直线的一条直线的一条直线(a)(a)(a)(a)，如果和这个平面，如果和这个平面，如果和这个平面，如果和这个平面的一条斜线的一条斜线的一条斜线的一条斜线(PO)(PO)(PO)(PO)的射影的射影的射影的射影(AO)(AO)(AO)(AO)垂直，那么它垂直，那么它垂直，那么它垂直，那么它(a)(a)(a)(a)也和这条斜线垂直。也和这条斜线垂直。也和这条斜线垂直。也和这条斜线垂直。PAa PAaAOaPAAO=Aa平面平面PA
3、OP Pa aA Ao o 已知已知:如图如图,PO为平面为平面的斜线的斜线,PA,a在平面在平面内且垂直内且垂直PO的射影的射影AO.求证求证:aPO证明证明:第4页，本讲稿共12页 1 1 1 1、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是斜线斜线、射影射影、直线直线之间之间之间之间 的的的的垂直关系垂直关系垂直关系垂直关系.2 2 2 2、a a a a与与与与POPOPOPO可以相交，也可以异面可以相交，也可以异面可以相交，也可以异面可以相交，也可以异面.3 3 3 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定
4、理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理平面内的一条直线垂直的判定定理平面内的一条直线垂直的判定定理平面内的一条直线垂直的判定定理.说明：说明：4、转化思想、转化思想、转化思想、转化思想:空间两直线的垂直问题转化为平面内空间两直线的垂直问题转化为平面内空间两直线的垂直问题转化为平面内空间两直线的垂直问题转化为平面内 两直线的垂直问题两直线的垂直问题两直线的垂直问题两直线的垂直问题.aAPo第5页，本讲稿共12页 练习：判定下列命题是否正练习：判定下列命题是否正练习：判定下列命题是否正练习：判定下列命题是否正确确确确 (1)(1)(1)(1)
5、若若若若a a a a是平面是平面是平面是平面的斜线、直线的斜线、直线的斜线、直线的斜线、直线b b b b垂直于垂直于垂直于垂直于a a a a在平面在平面在平面在平面内的射影，则内的射影，则abab。()()2 2 2 2定理的关键找定理的关键找定理的关键找定理的关键找“平面的垂线平面的垂线”.强调：强调：强调：强调：1111四线是对同一个平面而言四线是对同一个平面而言四线是对同一个平面而言四线是对同一个平面而言.(2)(2)若若a a是平面是平面的斜线，的斜线，b b是平面是平面内的直线，内的直线，且且且且b b b b垂直于垂直于垂直于垂直于a a a a在在在在内的射影，则内的射影，
6、则内的射影，则内的射影，则abababab。()()()()aAPo第6页，本讲稿共12页三、知识运用三、知识运用例1.如图,PD平面ABC,AC=BC,D为AB的中点,求证ABPC.PABCD证明:PD平面ABC,DC为PC在平面的射影,而ABC为等腰三角形,D为AB的中点,AB CD AB PC第7页，本讲稿共12页 例例例例2.2.2.2.如图，已知正方体如图，已知正方体如图，已知正方体如图，已知正方体ABCD-AABCD-AABCD-AABCD-A1 1 1 1B B B B1 1 1 1C C C C1 1 1 1D D D D1 1 1 1中，连结中，连结中，连结中，连结 BD B
7、D BD BD1 1 1 1，ACACACAC，CBCBCBCB1 1 1 1，B B B B1 1 1 1A A A A，求证：，求证：，求证：，求证：BDBDBDBD1 1 1 1平面平面平面平面ABABABAB1 1 1 1C C C C DD DD DD DD1 1 1 1平面平面平面平面ABCD ABCD ABCD ABCD BD BD BD BD是斜线是斜线是斜线是斜线D D D D1 1 1 1B B B B在平面在平面在平面在平面ABCDABCDABCDABCD上的射影上的射影上的射影上的射影 ABCDABCD是正方形是正方形是正方形是正方形ACACBDBD (AC(AC(AC
8、(AC垂直射影垂直射影垂直射影垂直射影BD)BD)BD)BD)，ACACACACBDBD1 1 A1D1C1B1ADCB同理同理同理同理:BABA1 1是斜线是斜线是斜线是斜线BDBD1 1在平面在平面在平面在平面ABBABB1 1A A1 1上的射影上的射影上的射影上的射影,AB,AB1 1 BDBD1 1 而而AC ABAB1 1=A BDBDBDBD1 1 1 1平面平面平面平面ABABABAB1 1 1 1C C C C证明：连结证明：连结证明：连结证明：连结BDBDBDBD、A A A A1 1 1 1B B B B第8页，本讲稿共12页例例例例3.3.3.3.道路旁有一条河，彼岸有
9、电塔道路旁有一条河，彼岸有电塔道路旁有一条河，彼岸有电塔道路旁有一条河，彼岸有电塔ABABABAB，高，高，高，高15m15m15m15m，只有测角器和皮尺，只有测角器和皮尺，只有测角器和皮尺，只有测角器和皮尺作测量工具，不过河能否求出电塔顶作测量工具，不过河能否求出电塔顶作测量工具，不过河能否求出电塔顶作测量工具，不过河能否求出电塔顶A A A A与道路的距离？与道路的距离？与道路的距离？与道路的距离？(测角器只能测角器只能测角器只能测角器只能测水平面角测水平面角测水平面角测水平面角)解：在道路边取一点解：在道路边取一点解：在道路边取一点解：在道路边取一点C C C C，使使使使BCBCBC
10、BC与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于与道边所成水平角等于90909090，B BA AC C9090 BCBC是是是是ACAC的射影的射影的射影的射影,且且且且CDCDBC,BC,CDCDAC(AC(三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理)因此斜线因此斜线因此斜线因此斜线ACAC的长度就是电塔顶的长度就是电塔顶的长度就是电塔顶的长度就是电塔顶A A与道路的距离。与道路的距离。与道路的距离。与道路的距离。第9页，本讲稿共12页B BA AC C9090 BC=BC=BC=BC=a a米米米米，在直角在直角在直角在直角ABCABCABCABC中中中中,ACACACAC
11、2 2 2 2=AB=AB=AB=AB2 2 2 2+BC+BC+BC+BC2 2 2 2，AC=15 AC=15 AC=15 AC=152 2 2 2+a+a+a+a2 2 2 2 米米米米 答：电塔顶答：电塔顶答：电塔顶答：电塔顶A A A A与道路的距离是与道路的距离是与道路的距离是与道路的距离是 米米。再在道路边取一点再在道路边取一点再在道路边取一点再在道路边取一点D D D D，使，使，使，使CDB=45,CDB=45,则则CD=CB可测得可测得可测得可测得C C、D D的距离等于的距离等于的距离等于的距离等于a a米米米米,D4545第10页，本讲稿共12页例4.如图,长方体 AB
12、CD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AB=AD=2 ,AA1=,E,F分别为AB和AD的中点,求平面A1EF 和平面ABCD所成二面角的大小?ABCDEFA1B B1 1C1D1解:连接BD,AC,AC交EF于G,G连接A1G 底面底面底面底面ABCDABCD是正方形，是正方形，是正方形，是正方形，ACACBD,BD,而而而而E,FE,F为为为为AB和和AD中点中点中点中点,EFEFBD,BD,EF EFACAC 又因为又因为AG为为A1G在平面在平面ABCD 上的射上的射影影.(由由三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理)EF EFA A1 1G,G,则则则
13、则A A1 1GAGA为为为为二面角的二面角的平面角平面角平面角平面角.计算得计算得:二面角的大小为二面角的大小为:60o第11页，本讲稿共12页 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。和这条斜线垂直。和这条斜线垂直。和这条斜线垂直。四、小四、小四、小四、小 结结结结 2.2.2.2.定理的主要应用定理的主要应用定理的主要应用定理的主要应用:证明线线垂直证明线线垂直证明线线垂直证明线线垂直,线面垂直线面垂直线面垂直线面垂直,求点到线的距离求点到线的距离求点到线的距离求点到线的距离,二面角大小二面角大小二面角大小二面角大小,1.1.1.1.定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言,3.3.3.3.证明程序分三个步骤证明程序分三个步骤证明程序分三个步骤证明程序分三个步骤:“:“一垂二射三证一垂二射三证一垂二射三证一垂二射三证”,”,计算程序分三个步骤计算程序分三个步骤计算程序分三个步骤计算程序分三个步骤:“:“一作二证三算一作二证三算一作二证三算一作二证三算”.”.第12页，本讲稿共12页