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1、第3章 平稳随机过程本讲稿第一页，共七十二页1平稳随机过程的概念n所谓平稳随机过程，是指其统计特性不随时间推移而变化的随机过程n例如：测量电阻热噪声的统计特性，在任何时间进行测试都能得到相同的结果本讲稿第二页，共七十二页严平稳随机过程的n维概率密度函数满足本讲稿第三页，共七十二页平稳随机过程的统计特性n平稳过程，则它的一维概率密度与时间无关，均值，均方值和方差也应是常数n平稳过程，则它的二维概率密度之与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点无关 本讲稿第四页，共七十二页n在实际问题中，往往并不需要随机过程在所有时间都平稳，只要在观测的时间内过程平稳就行本讲稿第五页，共七十二页宽平稳随机过程 若
2、随机过程满足 本讲稿第六页，共七十二页是否为宽平稳随机过程本讲稿第七页，共七十二页严平稳随机过程严平稳随机过程宽平稳随机过程宽平稳随机过程 本讲稿第八页，共七十二页本讲稿第九页，共七十二页2.平稳过程自相关函数的性质本讲稿第十页，共七十二页本讲稿第十一页，共七十二页本讲稿第十二页，共七十二页本讲稿第十三页，共七十二页3.平稳随机过程的自相关系数和自相关时间n自相关系数本讲稿第十四页，共七十二页自相关时间自相关时间本讲稿第十五页，共七十二页本讲稿第十六页，共七十二页4.两个随机过程的联合平稳本讲稿第十七页，共七十二页联合平稳过程互相关函数的性质联合平稳过程互相关函数的性质本讲稿第十八页，共七十二
3、页互相关系数互相关系数本讲稿第十九页，共七十二页5.各态遍历随机过程n辛钦证明：在具备一定的补充条件下由平稳随机过程的任一个样本函数取时间平均值（观察时间足够长），从概率意义上趋近于该过程的统计平均值。本讲稿第二十页，共七十二页本讲稿第二十一页，共七十二页无穷多个样本值样本函数统计平均一个样本函数，等间隔取m个值其中对整个样本函数样本平均本讲稿第二十二页，共七十二页均值各态历经性均方误差为零的意义上相等本讲稿第二十三页，共七十二页时间均值时间自相关函数本讲稿第二十四页，共七十二页本讲稿第二十五页，共七十二页n若随机过程的均值和自相关函数都具有各态历经性，则随机过程是宽各态历经性。本讲稿第二十六
4、页，共七十二页讨论是否是各态历经过程本讲稿第二十七页，共七十二页若两个随机过程X(t)和Y(t)，当它们都是各态历经的，并且时间互相关函数与统计互相关函数以概率1相等时，则称两个随机过程联合各态历经。本讲稿第二十八页，共七十二页高斯随机信号本讲稿第二十九页，共七十二页本讲稿第三十页，共七十二页本讲稿第三十一页，共七十二页本讲稿第三十二页，共七十二页本讲稿第三十三页，共七十二页6.随机信号统计特性的实验研究随机信号统计特性的实验研究n借助于统计实验的分析方法，估计出随机信号的统计特性是研究随机信号的一种十分重要且必不可少的手段。n统计实验分析的理论基础是随机过程的各态历经假设，即通过一个具体的实
5、现来求出总体（整个随机过程）的有关统计量。本讲稿第三十四页，共七十二页本讲稿第三十五页，共七十二页随机信号的采样定理 本讲稿第三十六页，共七十二页本讲稿第三十七页，共七十二页当参数是未知的时候，从总体抽出一个样本，用某种方法对当参数是未知的时候，从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计这个未知参数进行估计就是参数估计.例如，例如，X N(,2),点估计点估计区间估计区间估计若若,2未知，通过构造样本的函数未知，通过构造样本的函数,给出它给出它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容们的估计值或取值范围就是参数估计的内容.点估计点估计 估计未知参数的值估计未知参数的值区间估
6、计区间估计 估计未知参数的取值范围，使得这个范围包估计未知参数的取值范围，使得这个范围包含未知参数真值的概率为给定的值含未知参数真值的概率为给定的值.本讲稿第三十八页，共七十二页点估计的思想方法点估计的思想方法设总体设总体X 的分布函数的形式已知，但它含有的分布函数的形式已知，但它含有一个或多一个或多个未知参数：个未知参数：1,2,k设设 X1,X2,Xn为总体的一个样本为总体的一个样本构造构造 k 个统计量：个统计量：随机变量随机变量7-5本讲稿第三十九页，共七十二页当测得一组样本值当测得一组样本值(x1,x2,xn)时，代入上述统计量，即时，代入上述统计量，即可得到可得到 k 个数：个数：
7、数值数值称数称数为未知参数为未知参数的估计值的估计值问题问题如何构造统计量？如何构造统计量？如何评价估计量的好坏？如何评价估计量的好坏？对应的统计量对应的统计量为未知参数为未知参数的估计量的估计量7-6本讲稿第四十页，共七十二页寻求估计量的方法寻求估计量的方法1.1.矩估计法矩估计法2.2.极大似然法极大似然法3.3.最小二乘法最小二乘法4.4.贝叶斯方法贝叶斯方法本讲稿第四十一页，共七十二页极大似然法极大似然法 是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯高斯在在18211821年提出的年提出的 ,Ga
8、ussFisher费歇费歇在在19221922年重新发现了这一方法，并首先年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质研究了这种方法的一些性质 .本讲稿第四十二页，共七十二页则称这样得到的则称这样得到的 为参数为参数 的的极大似然估计值极大似然估计值称统计量称统计量为参数为参数 的的极大似然估计量极大似然估计量7-22 选择适当的选择适当的 =,=,使使 取最大值，即取最大值，即L L()()当给定一组样本值时，当给定一组样本值时，就是参数就是参数 的函数的函数,极大似然估计法的思想就是：极大似然估计法的思想就是：L L()简记简记本讲稿第四十三页，共七十二页若随机变量若随机变量X 连
9、续连续,取取 f(xi,)为为Xi 的密度函数的密度函数似然函数为似然函数为7-23注注1 1注注2 2未知参数个数可以不止一个未知参数个数可以不止一个,如如 1,2,k 设设X 的密度函数的密度函数(或概率分布或概率分布)为为则定义似然函数为则定义似然函数为本讲稿第四十四页，共七十二页若若关于关于 1,2,k 可微，可微，为为似然方程组似然方程组若对于某组给定的样本值若对于某组给定的样本值x1,x2,xn，参数参数 使得似然函数取得最大值，即使得似然函数取得最大值，即则称则称为为 1,2,k 的的极大似然估计值极大似然估计值则称7-24本讲稿第四十五页，共七十二页显然，称统计量为1,2,k
10、的极大似然估计量7-25本讲稿第四十六页，共七十二页求未知参数的极大似然估计值求未知参数的极大似然估计值(量量)的方法的方法1）写出似然函数L2）求出,使得7-28本讲稿第四十七页，共七十二页设总体 X N(,2),x1,x2,xn 是 X 的 一组样本值，求,2 的极大似然估计.解解7-26本讲稿第四十八页，共七十二页,2 的极大似然估计量分别为似然方程组为7-27本讲稿第四十九页，共七十二页随机信号估计的准则本讲稿第五十页，共七十二页本讲稿第五十一页，共七十二页评价估计性能好坏的标准评价估计性能好坏的标准 n偏移性偏移性n估计量的方差：有效性估计量的方差：有效性n一致性一致性均方误差均方误
11、差本讲稿第五十二页，共七十二页本讲稿第五十三页，共七十二页本讲稿第五十四页，共七十二页本讲稿第五十五页，共七十二页随机信号时域特征的估计随机信号时域特征的估计 本讲稿第五十六页，共七十二页本讲稿第五十七页，共七十二页均值的估计均值的估计本讲稿第五十八页，共七十二页均值估计的评价均值估计的评价本讲稿第五十九页，共七十二页本讲稿第六十页，共七十二页方差的估计方差的估计 本讲稿第六十一页，共七十二页方差估计的评价方差估计的评价本讲稿第六十二页，共七十二页自相关函数的估计自相关函数的估计本讲稿第六十三页，共七十二页本讲稿第六十四页，共七十二页自相关函数估计的评价自相关函数估计的评价本讲稿第六十五页，共
12、七十二页本讲稿第六十六页，共七十二页本讲稿第六十七页，共七十二页本讲稿第六十八页，共七十二页本讲稿第六十九页，共七十二页本讲稿第七十页，共七十二页随机事件随机变量随机信号平稳随机信号非平稳随机信号各态遍历平稳随机信号非各态遍历平稳随机信号本讲稿第七十一页，共七十二页1.计算一长度N=100000的正态分布高斯随机信号的均值、均方值、均方根值、方差、标准差3.已知两个周期信号 x(t)=sin(2*pi*f*t),y(t)=0.5*sin(2*pi*f*t+90)其中,f=10Hz,求互相关函数2.求受白噪声干扰的正弦信号以及白噪声信号的自相关函数并进行比较4.两个sinc信号有0.2s的时移，用互相关函数计算时移大小本讲稿第七十二页，共七十二页