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1、第七章 简谐振动第1页，共25页，编辑于2022年，星期二一一.彈簧振子彈簧振子1.受力特点受力特点线性恢复力线性恢复力2.动力学微分方程动力学微分方程令令牛頓第二定律牛頓第二定律7.1 7.1 简谐振动简谐振动解得解得改写为改写为第2页，共25页，编辑于2022年，星期二4.由初始条件求振幅和初相位由初始条件求振幅和初相位注意注意:确定确定 的象限的象限初位移初速度x0v 0第3页，共25页，编辑于2022年，星期二三三.旋转矢量法旋转矢量法oxt 时刻t=0 时刻 v位置速度加速度xa t+坐标速度加速度谐振动物体圆周运动小球x 轴投影第4页，共25页，编辑于2022年，星期二三三.旋转矢
2、量法旋转矢量法oxt 时刻t=0 时刻 vxa t+振幅角频率加速度谐振动物体圆周运动小球半径角速度与x 轴夹角第5页，共25页，编辑于2022年，星期二例例物理摆物理摆如图所示如图所示,设刚体对轴的转设刚体对轴的转动惯量为动惯量为J.设设t=0时摆角向右最大为时摆角向右最大为 0.求求振动振动频率和振动方程和振动方程.解解振动方程振动方程当 50 时角频率t=0时摆角向右最大为时摆角向右最大为 0，初相位，初相位=0第6页，共25页，编辑于2022年，星期二四四.简谐振动的能量简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)1.动能动能2.势能势能3.机械能机械能（简谐振动系统机械能守
3、恒）（简谐振动系统机械能守恒）mxO平均动能第7页，共25页，编辑于2022年，星期二五五.兩個兩個同频率同频率振動的振動的相位關係相位關係相位差相位差两个振动两个振动 超前和落后超前和落后 t xx1x2x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后 )O第8页，共25页，编辑于2022年，星期二 同相和反相同相和反相 =2k 两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相xtoA1-A1A2-A2x1x2T =(2k+1)两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相x2TxoA1-A1A2-A2x1t第9页，共25页，编辑于2022年，星期二解法一解法一机械能守恒。以最低点为势能零点机械能守恒
4、。以最低点为势能零点例例 一个质量为一个质量为m 的小球在一个光滑的半径为的小球在一个光滑的半径为R 的球形碗底作微小振的球形碗底作微小振动，如图所示。设动，如图所示。设t=0时，时，=0，小球的速度为小球的速度为v0，向右运动。试向右运动。试求在振幅很小情况下，小球的振动方程。求在振幅很小情况下，小球的振动方程。O Nmg求导得t=0时，时，=0，向右运动向右运动,则初相则初相小球速度为小球速度为 v0，振幅振动方程振动方程第10页，共25页，编辑于2022年，星期二7.2 7.2 简谐振动的合成简谐振动的合成一一.同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成1.兩個分振动兩個分
5、振动2.合振动合振动第11页，共25页，编辑于2022年，星期二例例n 个同方向、同频率、同振个同方向、同频率、同振幅的谐振动，它们的初相差幅的谐振动，它们的初相差依次为常量依次为常量 .求它们合振求它们合振动的方程。动的方程。解解 合振动合振动oRCxt=0 时，n 个谐振动的旋转矢量图个谐振动的旋转矢量图第12页，共25页，编辑于2022年，星期二二二.同方向不同频率的简谐振动的合成同方向不同频率的简谐振动的合成1.分振动分振动2.合振动合振动当当A1、A2方向相同时，方向相同时，A 有最大值有最大值当当A1、A2方向相反时，方向相反时，A 有最小值有最小值结论：结论：合振动合振动 x 不
6、再是简谐振动不再是简谐振动第13页，共25页，编辑于2022年，星期二xx2x1ttt拍频拍频:单位时间内单位时间内合振动振幅强弱变化的次数合振动振幅强弱变化的次数，即，即3.拍的现象拍的现象第14页，共25页，编辑于2022年，星期二 =0(第一象限第一象限)=/2 =3/2(第二象限第二象限)(第三象限第三象限)（第第四四象象限限）=k 时时=k+/2时时轨迹为直线轨迹为直线轨迹为正椭圆轨迹为正椭圆第15页，共25页，编辑于2022年，星期二四四.两个垂直方向不同频率简谐振动的合成两个垂直方向不同频率简谐振动的合成有理数有理数闭合曲线闭合曲线周期性运动周期性运动无理数无理数非闭合曲线非闭合
7、曲线非周期性运动非周期性运动频率之比频率之比轨迹轨迹周期性周期性李萨如图形李萨如图形1.1.分振动分振动第16页，共25页，编辑于2022年，星期二7.3阻尼振动和受迫运动阻尼振动和受迫运动一一.阻尼振动阻尼振动阻尼力2.振动的微分方程振动的微分方程(以弹簧振子为例以弹簧振子为例)1.受力特点受力特点线性恢复力令 ，上式改写为fFn 阻尼常量第17页，共25页，编辑于2022年，星期二3.阻尼振动的方程阻尼振动的方程(2)过阻尼和临界阻尼过阻尼和临界阻尼(1)小阻尼小阻尼(n2 02)临界阻尼临界阻尼:过过阻阻尼尼:在在临界阻尼状态下，物体回到并停临界阻尼状态下，物体回到并停留在平衡位置，所需
8、时间最短留在平衡位置，所需时间最短 角频率角频率 振幅衰减随时间按指数衰减振幅衰减随时间按指数衰减第18页，共25页，编辑于2022年，星期二二二.受迫振动（受迫振动（在外来策动力作用下的振动在外来策动力作用下的振动）1.受力特点受力特点弹性力弹性力阻尼力阻尼力周期性策动力周期性策动力2.受迫振动的微分方程受迫振动的微分方程令令齐次方程齐次方程通解通解非齐次方非齐次方程特解程特解解解+=第19页，共25页，编辑于2022年，星期二振幅振幅（1）位移共振）位移共振(振幅取极值振幅取极值)讨论讨论位位移移共共振振曲曲线线共振频率共振频率:共振振幅共振振幅:受迫振动是谐振动，其角频率与驱动力角频率相
9、同。受迫振动是谐振动，其角频率与驱动力角频率相同。受迫振动微分方程的受迫振动微分方程的稳态解稳态解为为:驱动力角频率驱动力角频率受迫振动驱受迫振动驱动力动力相位差相位差第20页，共25页，编辑于2022年，星期二（2）速度共振）速度共振(速度振幅速度振幅 A取极值取极值)因因此此，受受迫迫振振动动速速度度v 与与策策动动力力相相位位相相同同，一一周周期期内内策策动动力力总总作作正正功功（P=F v），此时向系统输入的能量最大。），此时向系统输入的能量最大。共振频率共振频率:共振速度振幅共振速度振幅:振振幅幅共共振振曲曲线线vm受迫振动受迫振动 x驱驱动力动力相位差相位差说明说明第21页，共25
10、页，编辑于2022年，星期二第22页，共25页，编辑于2022年，星期二7.4非谐振动的傅氏分解非谐振动的傅氏分解频谱频谱任何一个周期性复杂振动都可分解为一系列任何一个周期性复杂振动都可分解为一系列谐振动的叠加谐振动的叠加例如例如:方波：方波：（基频为（基频为v0）由傅里叶理论，有由傅里叶理论，有x(t)O第23页，共25页，编辑于2022年，星期二15102000方波振动方波振动13102001000锯齿波振动锯齿波振动Mathematica第24页，共25页，编辑于2022年，星期二北京大钟寺内北京大钟寺内的巨钟的频谱的巨钟的频谱图图0100200300400500v(Hz)结论：结论：1.1.方波可分解为方波可分解为v0，3v0，5v0等等谐振动的叠加。谐振动的叠加。2.2.谐频次数越高的项振幅越小。谐频次数越高的项振幅越小。Avv03v05v0方波频谱图方波频谱图7v0O第25页，共25页，编辑于2022年，星期二