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1、第九讲概率模型本讲稿第一页，共五十九页 在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,1.确定性现象确定性现象“可导必连续可导必连续”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象:确定性现象确定性现象随机现象随机现象第一节第一节随机现象随机现象 确定性现象的特征确定性现象的特征:条件完全决定结果条件完全决定结果本讲稿第二页，共五十九页 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的

2、硬币在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观观察正反两面出现的情况察正反两面出现的情况”.2.随机现象随机现象 结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.本讲稿第三页，共五十九页结果有可能为结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或或“6”.实例实例3 “抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数”.实例实例2 “用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发,观察弹落点的情况观察弹落点的情况”.结果结果:“弹落点会各不相同弹落点会各不相同”.随机现象的特征随机现象的特征:条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果本讲稿

3、第四页，共五十九页2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性偶然性,但在大量重复试验或观察中但在大量重复试验或观察中,这种结果的出现具有这种结果的出现具有一定的一定的统计规律性统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科质规律的一门数学学科.说明说明1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述其数量关系无法用函数加以描述.本讲稿第五页，共五十九页 1.可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个

4、每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现.定义定义 在概率论中在概率论中,把具有以下三个特征的试验称把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验.3.随机试验随机试验本讲稿第六页，共五十九页表表1 1 抛掷硬币实验结果表抛掷硬币实验结果表抛掷次数抛掷次数(n)(n)正面向上的次数正面向上的次数 （频数（频数m m）频率（频率（m/nm/n）204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005

5、30000149840.499672088361240.5011当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率频率值值是稳定的，接近于常数是稳定的，接近于常数0.50.5，在它附近摆动。，在它附近摆动。本讲稿第七页，共五十九页结论：结论：一般地，在大量重复进行同一试验时，一般地，在大量重复进行同一试验时，事件事件A A发生的频率发生的频率m/nm/n总是接近于某个常数总是接近于某个常数p p，在它的附近摆动，这时就把这个常数在它的附近摆动，这时就把这个常数p p叫做事叫做事件件A A的概率，记作的概率，记作P(A)P(A)。本讲稿第八页，共五十九页 事件发生的可能性事

6、件发生的可能性最大是百分之百，此时最大是百分之百，此时概率为概率为1.0P(A)1我们用我们用P(A)表示表示事件事件A发生发生的概率，则的概率，则 事件发生的可能性事件发生的可能性最小是零，此时最小是零，此时概率为概率为0.本讲稿第九页，共五十九页 了解事件发生的可能性即概率的大了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？小，对人们的生活有什么意义呢？我先给大家举几个例子，也希望你们我先给大家举几个例子，也希望你们再补充几个例子再补充几个例子.本讲稿第十页，共五十九页 例如，了解发生意外人身事故的可例如，了解发生意外人身事故的可能性大小能性大小,确定保险金额确定保险金额.本讲

7、稿第十一页，共五十九页 了解来商场购物的顾客人数的各种可了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员能性大小，合理配置服务人员.本讲稿第十二页，共五十九页 了解每年最大洪水超警戒线可能性大了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度小，合理确定堤坝高度.本讲稿第十三页，共五十九页 大量重复试验的大量重复试验的工作量大工作量大，且试验数据且试验数据不稳定不稳定，且有些时候试验带有且有些时候试验带有破坏性破坏性。对于随机事件，是否只能通过大量重复的实对于随机事件，是否只能通过大量重复的实验才能求其概率呢？验才能求其概率呢？第二节第二节古典概型古典概型本讲稿第十四页，共五十九页

8、 1考察抛硬币实验，为什么在实验之前你也可考察抛硬币实验，为什么在实验之前你也可以想到抛一枚硬币，正面向上的概率为以想到抛一枚硬币，正面向上的概率为1/2?1/2?原因原因:（1 1）抛一枚硬币，可能出现的结果只有两种；）抛一枚硬币，可能出现的结果只有两种；（2 2）硬币是均匀的，所以出现这两种结果的可能性）硬币是均匀的，所以出现这两种结果的可能性是均等的是均等的。2 2若抛掷一枚骰子，它落地时向上的点数为若抛掷一枚骰子，它落地时向上的点数为3 3的概率的概率是多少？是多少？为什么？为什么？本讲稿第十五页，共五十九页归纳：归纳：那么，对于哪些随机事件，我们可以通过分析那么，对于哪些随机事件，我

9、们可以通过分析其结果而求其概率？其结果而求其概率？（1 1）对于每次实验，只可能出现有限个不同的实）对于每次实验，只可能出现有限个不同的实验结果验结果（2 2）所有不同的实验结果，它们出现的可能性）所有不同的实验结果，它们出现的可能性是相等的是相等的本讲稿第十六页，共五十九页 在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基基本事件本事件.每一个基本事件发生的可能性都相同则称这每一个基本事件发生的可能性都相同则称这些基本事件为些基本事件为等可能基本事件等可能基本事件.通过以上两个例子进行归纳：通过以上两个例子进行归纳：我们将满足（我们将满足（1 1）（）（2

10、2）两个条件的随机试验的概）两个条件的随机试验的概率模型成为率模型成为古典概型古典概型。由于以上这些都是历史上最早研究的概率模型，由于以上这些都是历史上最早研究的概率模型，对上述的数学模型我们称为古典概型。对上述的数学模型我们称为古典概型。(1)(1)所有的基本事件是有限个。所有的基本事件是有限个。(2)(2)每个基本事件的发生都是等可能的。每个基本事件的发生都是等可能的。本讲稿第十七页，共五十九页 如果某个事件如果某个事件A A包含了其中包含了其中m m个等可能基本事件，个等可能基本事件，那么事件那么事件A A的概率的概率P(A)=m/nP(A)=m/n。古典概型的概率：古典概型的概率：如果

11、一次试验的等可能基本事件共有如果一次试验的等可能基本事件共有n n个，那个，那么每一个基本事件的概率都是么每一个基本事件的概率都是1/n1/n。本讲稿第十八页，共五十九页应用：应用：掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，（1 1）写出所有的基本事件，说明其是否是古典概型。）写出所有的基本事件，说明其是否是古典概型。解：有解：有6 6个基本事件，分别是个基本事件，分别是“出现出现1 1点点”，“出现出现2 2点点”，“出现出现6 6点点”。因为骰子的质地均匀，所以。因为骰子的质地均匀，所以每个基本事件的发生是等可能的，因此它是古典概型。每个基本事件的发生是等

12、可能的，因此它是古典概型。（2 2）观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。）观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。解：这个试验的基本事件共有解：这个试验的基本事件共有6 6个，即出现个，即出现1 1点、出点、出现现2 2点、点、出现、出现6 6点，所以基本事件数点，所以基本事件数n=6n=6；事件；事件A=A=掷得奇数点掷得奇数点=出现出现1 1点，出现点，出现3 3点，出现点，出现5 5点点,其包含的其包含的基本事件数基本事件数m=3m=3，所以，所以P(A)=0.5P(A)=0.5。本讲稿第十九页，共五十九页 例例1 1 从装有从装有3 3个白球和个白球和7 7个红球的袋子中随机个红球的袋子中

13、随机摸取一个球，求摸取一个球，求A=“A=“恰好取得白球恰好取得白球”的概率。的概率。机动 目录 上页 下页 返回 结束 与与“取得红球取得红球”的概率相比，发生的可能性的概率相比，发生的可能性小的多。假如有人搞这种赌博活动，承诺取得白小的多。假如有人搞这种赌博活动，承诺取得白球给你球给你1010元，而取得红球你给他元，而取得红球你给他6 6元，那么你认为元，那么你认为设赌者最终是嬴家还是输家？如果一天下来有设赌者最终是嬴家还是输家？如果一天下来有100100人参赌，则设赌者能赚（或赔）多少？人参赌，则设赌者能赚（或赔）多少？本讲稿第二十页，共五十九页 与此同理，福利彩票对绝大多数彩民来与此同

14、理，福利彩票对绝大多数彩民来说，只能是奉献。这是因为如果奖号为七位说，只能是奉献。这是因为如果奖号为七位数，它的产生是从数，它的产生是从0-90-9十个数码中可以重复十个数码中可以重复地选取出来的。按照乘法原理，全部可能结地选取出来的。按照乘法原理，全部可能结果，即总基本事件数为果，即总基本事件数为10107 7个，而这个特殊个，而这个特殊的奖号（中奖号码）只是其中的一份即的奖号（中奖号码）只是其中的一份即1/101/107 7 ，于是获大奖的概率几乎是不可能的。，于是获大奖的概率几乎是不可能的。现在你对现在你对彩票有所了解彩票有所了解吗吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十一页

15、，共五十九页求古典概型的步骤：求古典概型的步骤：（1 1）判断是否为等可能性事件；）判断是否为等可能性事件；（2 2）计算所有基本事件的总结果数）计算所有基本事件的总结果数n n（3 3）计算事件）计算事件A A所包含的结果数所包含的结果数mm（4 4）计算）计算 本讲稿第二十二页，共五十九页解解:显然每个人的生日在一年显然每个人的生日在一年365365天中的任意一天都是等天中的任意一天都是等可能的可能的.为简便，先来求为简便，先来求6464名学生生日各不相同的概率，名学生生日各不相同的概率，然后利用逆事件概率公式解决。然后利用逆事件概率公式解决。我们构建如下模型，设想将我们构建如下模型，设想

16、将6464名学生放到名学生放到365365个房个房间中去。每一种放法就是一个基本事件，因此基本事件间中去。每一种放法就是一个基本事件，因此基本事件总数是总数是36536564646464。由于每个人的生日都不同，故每个房间中。由于每个人的生日都不同，故每个房间中至多放一名学生，共有至多放一名学生，共有365364302365364302种不同的放法。种不同的放法。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2：设一个班级有设一个班级有6464人，那么至少有人，那么至少有2 2个人生日个人生日相同的概率为多少？相同的概率为多少？本讲稿第二十三页，共五十九页 于是，根据古典概型计算公式，64名学生

17、生日各不相同的概率为 64名同学至少有2人生日相同的概率为 由此可见，当这个班级有64人时，“至少有两个同学生日相同”的概率几乎是1。机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十四页，共五十九页 可以将上述模型一般化，即将64人改为n(n365)人，则n个人中至少有2个同学生日相同的概率为机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十五页，共五十九页用上面的公式可以计算此事出现的概率为用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1-0.524=0.476 美美国国数数学学家家伯伯格格米米尼尼曾曾经经做做过过一一个个别别开开生生面面的的实实验验，在在一一个个盛盛况况空空前前、人人山山人人海海的

18、的世世界界杯杯足足球球赛赛赛赛场场上上，他他随随机机地地在在某某号号看看台台上上召召唤唤了了2222个个球球迷迷，请请他他们们分分别别写写下下自自己己的生日，结果竟发现其中有两人同生日。的生日，结果竟发现其中有两人同生日。即即2222个个球球迷迷中中至至少少有有两两人人同同生生日日的的概概率为率为0.476.0.476.本讲稿第二十六页，共五十九页 这这个个概概率率不不算算小小，因因此此它它的的出出现现不不值值得得奇奇怪怪.计计算算后后发发现现，这这个个概概率率随随着着球球迷迷人人数数的的增加而迅速地增加，如下页表所示：增加而迅速地增加，如下页表所示：本讲稿第二十七页，共五十九页 人数人数 至

19、少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 所有这些概率都是在假定一所有这些概率都是在假定一个人的生日在个人的生日在 365天的任何一天的任何一天是等可能的前提下计算出来天是等可能的前提下计算出来的的.实际上实际上,这个假定并不完这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大中给出的还要大.当人数超当人数超过过23时，打赌说至少有两人同时，打赌说至少有两人同生日是有利的生日是有利的.本讲稿第二十八页

20、，共五十九页且每次试验的结果与其他次试验无关每次试验的结果与其他次试验无关称为这称为这 n n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的n n重重贝努利贝努利试验。试验。试验可重复 n 次每次试验只有两个可能的结果：第三节第三节 贝努利概型贝努利概型 事件事件A 出现出现 k 次的概率记为：次的概率记为：本讲稿第二十九页，共五十九页n n重贝努利试验：重贝努利试验：连续抛骰子10次，观察出现偶数点的次数；某人打靶命中率为0.7，连续打靶15发子弹，观察命中次数；在次品率为0.1的一批产品中，有放回地每次任取1件，重复8次，观察其中的次品数.本讲稿第三十页，共五十九页一般地，若若则则本讲稿第三十一页

21、，共五十九页 有有5 5个女孩，她们去洗餐具，在打破的个女孩，她们去洗餐具，在打破的4 4个餐具中有个餐具中有3 3个是最小的女孩打破的，因此人个是最小的女孩打破的，因此人家说她笨拙。你能否运用概率统计原理为她家说她笨拙。你能否运用概率统计原理为她申辩，说这完全可能是碰巧？申辩，说这完全可能是碰巧？举例：她笨拙吗？举例：她笨拙吗？本讲稿第三十二页，共五十九页分析：分析：假设每个女孩打破餐具的概率相等，那么打假设每个女孩打破餐具的概率相等，那么打破破4 4个餐具中同一人打破个餐具中同一人打破3 3个的概率为个的概率为 根据小概率原理，这概率很小，可以认为在一次试验中根据小概率原理，这概率很小，可

22、以认为在一次试验中根据小概率原理，这概率很小，可以认为在一次试验中根据小概率原理，这概率很小，可以认为在一次试验中是不可能发生的。这意味着每个女孩打破餐具的概率不相等，是不可能发生的。这意味着每个女孩打破餐具的概率不相等，是不可能发生的。这意味着每个女孩打破餐具的概率不相等，是不可能发生的。这意味着每个女孩打破餐具的概率不相等，也就是说，最小的女孩打破餐具的概率要大些。也就是说，最小的女孩打破餐具的概率要大些。也就是说，最小的女孩打破餐具的概率要大些。也就是说，最小的女孩打破餐具的概率要大些。本讲稿第三十三页，共五十九页 假定不考虑英文写作所占的假定不考虑英文写作所占的1515分，那么按及分，

23、那么按及格成绩格成绩6060分计算，分计算，8585道选择题必须答对道选择题必须答对5151道题以道题以上。如果单靠碰运气、瞎猜测的话，则每道题答上。如果单靠碰运气、瞎猜测的话，则每道题答对的概率为对的概率为1/41/4，答错的概率是，答错的概率是3/43/4。显然，各道。显然，各道题的解答互不影响，因此，可以将解答题的解答互不影响，因此，可以将解答8585道选择道选择题看成题看成8585重贝努利试验重贝努利试验。英语考试英语考试本讲稿第三十四页，共五十九页 这个概率非常小，因此可以认为，想靠这个概率非常小，因此可以认为，想靠碰运气通过四级考试几乎是一个不可能发碰运气通过四级考试几乎是一个不可

24、能发生的事件，它相当于在一千亿个想碰运气生的事件，它相当于在一千亿个想碰运气的考生中，仅有的考生中，仅有0.8740.874人能通过四级考试人能通过四级考试。设设A A表示答对的题数超过表示答对的题数超过5151，则，则本讲稿第三十五页，共五十九页小结小结概率：频率的稳定值概率：频率的稳定值古典概型古典概型 （1 1）试验结果的有限性）试验结果的有限性 （2 2）所有结果的等可能性。）所有结果的等可能性。P P（A A）=n n重贝努利概型重贝努利概型本讲稿第三十六页，共五十九页 法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。一个叫做费马。巴斯卡尔认

25、识两个赌徒，这两个赌巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，各出赌金徒向他提出了一个问题。他们说，各出赌金100100元元,共共200200元，并约定谁先赢满元，并约定谁先赢满5 5局，谁取得全部局，谁取得全部200200元，元，由于出现意外情况，由于出现意外情况，A A赢了赢了4 4局，局，B B赢了赢了3 3局，时间局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？该怎么分？引例一：引例一：赌博问题赌博问题第四节第四节 数学期望数学期望本讲稿第三十七页，共五十九页A 胜胜 4 局局 B 胜胜 3 局局前七局前七局:

26、后二局后二局:把已赌过的七局把已赌过的七局(A 胜胜4局局B 胜胜3局局)与上述结果与上述结果相结合相结合,即即 A、B 赌完赌完9局局,A AA B B AB BA 胜胜B 胜胜分析分析假设继续赌两局假设继续赌两局,则结果有以下四种情况则结果有以下四种情况:A AA B B AB BA胜两局胜两局 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜两局胜两局本讲稿第三十八页，共五十九页因此因此,A 能能“期望期望”得到的数目应为得到的数目应为 而而B 能能“期望期望”得到的数目得到的数目,则为则为故有故有,在赌技相同的情况下在赌技相同的情况下,A,B 最终获胜的最终获胜的可能性大小之比为可能性大小之比为即即A

27、 应获得赌金的应获得赌金的 而而 B 只能获得赌金的只能获得赌金的本讲稿第三十九页，共五十九页 设某射击手在同样的条设某射击手在同样的条件下件下,瞄准靶子相继射击瞄准靶子相继射击90次次,(命中的环数是一个随机变量命中的环数是一个随机变量).射中次数记录如下射中次数记录如下引例引例二二 射击问题射击问题试问试问:该射手每次射击平均命中靶多少环该射手每次射击平均命中靶多少环?命中环数命中环数 k命中次数命中次数频率频率本讲稿第四十页，共五十九页解解平均射中环数平均射中环数本讲稿第四十一页，共五十九页 平均射中环数平均射中环数频率随机波动频率随机波动随机波动随机波动随机波动随机波动 稳定值稳定值

28、“平均射中环数平均射中环数”的稳定值的稳定值 “平均射中环数平均射中环数”等于等于射中环数的可能值与其概率之积的射中环数的可能值与其概率之积的求和求和本讲稿第四十二页，共五十九页设 X 为离散型随机变量，其分布列为为 X 的数学期望数学期望数学期望的定义数学期望的定义则称本讲稿第四十三页，共五十九页数学期望的本质数学期望的本质 加权平均加权平均 它反映了离散型随机变量取值的平均它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值数、均值 。本讲稿第四十四页，共五十

29、九页分赌本问题分赌本问题A 期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为 X 的数学期望的数学期望射击问题射击问题 “平均射中环数平均射中环数”应为随机变量应为随机变量Y 的数学期望的数学期望本讲稿第四十五页，共五十九页试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?实例一实例一 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手甲射手甲射手本讲稿第四十六页，共五十九页解解故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.本讲稿第四十七页，共五十九页实例二实例二 发行彩票的创收利润发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票某一彩票中心发行彩票 10万张万张,每张每张2元元.设头等设头等奖奖1个个,奖金奖金 1万元万元,二等奖

30、二等奖2个个,奖金各奖金各 5 千元千元;三等奖三等奖 10个个,奖金各奖金各1千元千元;四等奖四等奖100个个,奖金各奖金各100元元;五等奖五等奖1000个个,奖金各奖金各10 元元.每张彩票的成本费为每张彩票的成本费为 0.3 元元,请计请计算彩票发行单位的创收利润算彩票发行单位的创收利润.解解设设每张彩票中奖的数额每张彩票中奖的数额为随机变量为随机变量X,则则本讲稿第四十八页，共五十九页每张彩票平均可赚每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为万张彩票的创收利润为本讲稿第四十九页，共五十九页 法国有两

31、个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。做费马。巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满谁先赢满5 5局局，谁就获得全部赌金。赌了半天，谁就获得全部赌金。赌了半天，A A赢了赢了4 4局局，B B赢了赢了3 3局局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？钱应该怎么分？实例三实例三正确的答案是：正确的答案是：赢了赢了4 4局的拿这个钱的局的拿这个钱的3 34

32、,4,赢了赢了3 3局的拿这个钱的局的拿这个钱的1 14 4为什么呢？为什么呢？本讲稿第五十页，共五十九页 答案：答案：假定他们俩再赌一局，或者假定他们俩再赌一局，或者A A赢，或者赢，或者B B赢。赢。若是若是 A A赢满了赢满了5 5局，钱应该全归他；局，钱应该全归他；若是若是A A输了，即输了，即 A A、B B各赢各赢4 4局，这个钱应该对半局，这个钱应该对半分分。现在，现在，A A赢、输的可能性都是赢、输的可能性都是1 12,2,所以所以A A拿的钱拿的钱应该是（应该是（A A拿的钱的数学期望）拿的钱的数学期望）1 1 1 12 21 121212 23 34,4,当然，当然，B B

33、就应该得就应该得1 14 4。本讲稿第五十一页，共五十九页实例四实例四 “犯人犯人”的机智的机智 有一个古老的传说，一个绅士因看不惯王爷的所作所为而得罪了有一个古老的传说，一个绅士因看不惯王爷的所作所为而得罪了他，并被关进了监狱，众人替他求情，王爷就给他出了个难题：给他他，并被关进了监狱，众人替他求情，王爷就给他出了个难题：给他两个碗，一个碗里装两个碗，一个碗里装5050个小黑球，另一个碗里装个小黑球，另一个碗里装5050个小白球。规则是个小白球。规则是把他的眼睛蒙住，要他先选择一个碗，并从这个碗里拿出一个球。如把他的眼睛蒙住，要他先选择一个碗，并从这个碗里拿出一个球。如果他拿的是黑球，就要继

34、续关在监狱；如果他拿的是白球，就将获得果他拿的是黑球，就要继续关在监狱；如果他拿的是白球，就将获得自由。但在蒙住眼睛之前，允许他用他希望的任何方式把球进行混合。自由。但在蒙住眼睛之前，允许他用他希望的任何方式把球进行混合。这个绅士两眼直盯着两个碗，因为关系到他今后的人生和众人的情意，这个绅士两眼直盯着两个碗，因为关系到他今后的人生和众人的情意，他不得不慎重考虑。王爷说：他不得不慎重考虑。王爷说：“这就要看你的造化了，你挑一个碗并这就要看你的造化了，你挑一个碗并从里面拿出一个白球的几率是从里面拿出一个白球的几率是50%50%。”本讲稿第五十二页，共五十九页 的确如此，这时他选中装一个白球的碗的概

35、率为的确如此，这时他选中装一个白球的碗的概率为 ，如果他选了另一个碗，他还能以如果他选了另一个碗，他还能以 的概率从碗里拿出一的概率从碗里拿出一个白球，这样他获得自由的机会提高到个白球，这样他获得自由的机会提高到 绅士紧皱眉头，绅士紧皱眉头，“天无绝人之路天无绝人之路”，灵机一动，灵机一动，只见他把所有的球都混合在一个碗里，然后再拿出一只见他把所有的球都混合在一个碗里，然后再拿出一个白球放在另一个碗里，对王爷说：个白球放在另一个碗里，对王爷说：“现在我获得自现在我获得自由的几率为由的几率为75%75%。”本讲稿第五十三页，共五十九页 但他并不因此而满足，因为他仍有但他并不因此而满足，因为他仍有

36、1/41/4的几率选到黑球。的几率选到黑球。怎样才能把获释的机会再扩大一点呢？耍小聪明的时候到了，怎样才能把获释的机会再扩大一点呢？耍小聪明的时候到了，思维犹如奔驰的野马，思维犹如奔驰的野马，“允许我用允许我用任何任何方式把球混合方式把球混合”，急中生智，突然，他大叫一声：，急中生智，突然，他大叫一声：“这一下，我有救了。这一下，我有救了。”只见他把白球覆盖在黑球上，并拿一个白球放在另一个碗里，只见他把白球覆盖在黑球上，并拿一个白球放在另一个碗里，这样他获释的机会为这样他获释的机会为100%100%了。王爷大叫一声：了。王爷大叫一声：“好，君无戏好，君无戏言，立刻放人。言，立刻放人。”这个故事

37、的前半段用了概率知识，至于后半部分把白球这个故事的前半段用了概率知识，至于后半部分把白球覆盖在黑球上，那是运用智谋。覆盖在黑球上，那是运用智谋。本讲稿第五十四页，共五十九页到站时刻到站时刻概率概率实例五实例五本讲稿第五十五页，共五十九页解解概率概率到站时刻到站时刻本讲稿第五十六页，共五十九页概率概率到站时刻到站时刻本讲稿第五十七页，共五十九页实例六实例六 据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10 年内因事故死亡公司赔偿a 元,应如何定a，才能使公司可期望获益;若有1000人投保,公司期望总获益多少?设Xi 表示公司从第i个投保者身上所得的收益,i=11000。则Xi 0.98 0.02100 100本讲稿第五十八页，共五十九页由题设 公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.公司期望总收益为若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.本讲稿第五十九页，共五十九页