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1、第九讲曲线本讲稿第一页，共二十四页1 Hermite曲线曲线Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以及曲线是给定曲线段的两个端点坐标以及两端点处的切线矢量来描述曲线。空间一条三次两端点处的切线矢量来描述曲线。空间一条三次参数曲线可以表示为：参数曲线可以表示为：该曲线的矢量表达式为：该曲线的矢量表达式为：上式为三次曲线的代数形式上式为三次曲线的代数形式,Ai(i=0,1,2,3),Ai(i=0,1,2,3)成成为代数系数为代数系数.本讲稿第二页，共二十四页矩阵表达式为矩阵表达式为：于是，于是，应用端点应用端点P0P0和和P1P1，以及端点切矢，以及端点切矢P0P0和和P1,P1,可得：可得
2、：解得，解得，本讲稿第三页，共二十四页上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式，几何系数是P0、P1、P0和P1。代入代入得到得到本讲稿第四页，共二十四页 把F0,F1,G0,G1称为调和函数（或混合函数），即该形式下的三次Hermite 基。F0和F1专门控制端点的函数值对曲线的影响，而同端点的导数值无关；G0和G1则专门控制端点的一阶导数值对曲线形状的影响，而同端点的函数值无关。或者说，F0和G0控制左端点的影响，F1和G1控制右端点的影响。下图给出了这四个调和函数的图形。本讲稿第五页，共二十四页本讲稿第六页，共二十四页Hermite本讲稿第七页，共二十四页 Hermit
3、e曲线的程序设计曲线的程序设计 Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以及两端点处的曲线是给定曲线段的两个端点坐标以及两端点处的切线矢量，利用它的参数表达式在区间切线矢量，利用它的参数表达式在区间(0,1)内取多个值，例内取多个值，例如如100，计算出这，计算出这100个值对应的坐标点，依次连接这些点就得个值对应的坐标点，依次连接这些点就得到一条到一条Hermite曲线。曲线。为程序设计方便，先计算各个系数为程序设计方便，先计算各个系数:最后代入下式计算最后代入下式计算:本讲稿第八页，共二十四页2 Bezier曲线曲线 1962年，年，Bezier提出了一种自由曲线曲面的设提出了一种自由
4、曲线曲面的设计方法，称为计方法，称为Bezier方法。其具体设计过程是：方法。其具体设计过程是：从模型或手绘草图上取得数据后，用绘图工从模型或手绘草图上取得数据后，用绘图工具绘出曲线图，然后从这张图上大致定出具绘出曲线图，然后从这张图上大致定出Bezier特征多边形各控制顶点的坐标值，并输入计算机特征多边形各控制顶点的坐标值，并输入计算机进行交互的几何设计，调整特征多边形顶点的位进行交互的几何设计，调整特征多边形顶点的位置，直到得出满意的结果为止；最后用绘图机绘置，直到得出满意的结果为止；最后用绘图机绘出曲线样图。出曲线样图。本讲稿第九页，共二十四页2.1 Bezier曲线定义曲线定义在空间给
5、定在空间给定n+1个控制顶点个控制顶点Pi(I=0,1,n)，称下列，称下列 参数曲参数曲线为线为n次次Bezier曲线。曲线。称为伯恩斯坦基函数（称为伯恩斯坦基函数（Bernstein Basis）。）。一般称折线一般称折线为为P(t)的控制多边形；称的控制多边形；称各点为各点为P(t)的控制顶点。的控制顶点。本讲稿第十页，共二十四页 （3）三次）三次Bezier曲线曲线常用常用 的三次的三次Bezier曲线，由曲线，由4个控制顶点确定。容易算出，与个控制顶点确定。容易算出，与其对应的其对应的4个个Bernstein基函数为：基函数为：相应的相应的Bezier 曲线为曲线为本讲稿第十一页，共
6、二十四页（1）一一次次Bezier曲线曲线 二次二次Bezier曲线由三个控制顶点确定，此时，相曲线由三个控制顶点确定，此时，相应的曲线表达式为应的曲线表达式为对应于一条抛物线。对应于一条抛物线。（2）二二次次Bezier曲线曲线 一次一次Bezier曲线由两个控制顶点确定，此时，相曲线由两个控制顶点确定，此时，相应的曲线表达式为应的曲线表达式为这是一条连接这是一条连接P0和和P1的直线段。的直线段。本讲稿第十二页，共二十四页2.2 Bezier曲线的程序设计曲线的程序设计实际应用的主要是三次实际应用的主要是三次Bezier曲线。利用它的参数表达式曲线。利用它的参数表达式在区间在区间(0,1)
7、内取多个值，例如内取多个值，例如100，计算出这，计算出这100个值对个值对应的坐标点，依次连接这些点就得到一条应的坐标点，依次连接这些点就得到一条Bezier曲线。曲线。为程序设计方便，改写曲线的表达式为：为程序设计方便，改写曲线的表达式为：本讲稿第十三页，共二十四页注意：再添加一个注意：再添加一个z 坐标，就可得到空间坐标，就可得到空间Bezier曲线曲线。本讲稿第十四页，共二十四页2.3 Bezier曲线的性质曲线的性质在在Bernstein基函数基函数中，中，n为基本曲线的次数，为基本曲线的次数，i为基函数的序号。由排列组合和导数为基函数的序号。由排列组合和导数运算规律可以推导出运算规
8、律可以推导出Bernstein基函数的如下性质：基函数的如下性质：（1）正性（非负性）：）正性（非负性）：（2）权性：）权性：（3）对称性：）对称性：（4）导数性质：）导数性质：（5）递推性质：）递推性质：本讲稿第十五页，共二十四页Bezier曲线的一些性质：曲线的一些性质：1）端点性质）端点性质曲线经过特征多边形的首末点。因为曲线经过特征多边形的首末点。因为曲线曲线P(t)在在P0点与边点与边P0P1相切，在相切，在Pn 点与点与2）对称性）对称性由由Bernstein基函数的对称性可知，控制点的次序完全颠基函数的对称性可知，控制点的次序完全颠倒过来后，曲线的形状不变，但走向相反。这表明倒过
9、来后，曲线的形状不变，但走向相反。这表明,同一同一特征多边形定义的特征多边形定义的Bezier曲线是惟一的曲线是惟一的.相切。因为相切。因为本讲稿第十六页，共二十四页（3）凸包性凸包性所以，所以，P(t)是是P0,P1,Pn凸线性组合。凸线性组合。这证明这证明Bezier曲线完全被包曲线完全被包在其特征多边形的凸包内。在其特征多边形的凸包内。所以，控制顶点所以，控制顶点P0,P1,Pn的凸包为的凸包为:本讲稿第十七页，共二十四页（5）交互能力）交互能力（4）几何不变性几何不变性由给定控制顶点所确定的由给定控制顶点所确定的Bezier曲线的形状与坐标系的选取无曲线的形状与坐标系的选取无关。此性质
10、就是关。此性质就是Bezier曲线的几何不变性。曲线的几何不变性。几何不变性对几何图形来说是一种很重要的性质。在计几何不变性对几何图形来说是一种很重要的性质。在计算机图形学中经常要作坐标变换，如果同一表示式在不算机图形学中经常要作坐标变换，如果同一表示式在不同坐标系下表示不同的曲线，则会给图形变换带来很多同坐标系下表示不同的曲线，则会给图形变换带来很多不便之处。不便之处。控制多边形控制多边形P0P1Pn大致地勾画出大致地勾画出Bezier曲线曲线P(t)的形的形状。状。要改变要改变P(t)的形状，只要改变的形状，只要改变P0,P1,Pn的位置即可的位置即可。本讲稿第十八页，共二十四页（6）变差
11、减小性）变差减小性（7）保凸性）保凸性如果如果Bezier曲线曲线P(t)的控制多边形的控制多边形P0P1Pn是一平面图形，是一平面图形，则该平面内的任意直线与则该平面内的任意直线与P(t)的交点个数不多于该直线与控的交点个数不多于该直线与控制多边形制多边形P0P1Pn交点的个数，这一性质称为变差减小交点的个数，这一性质称为变差减小性。性。此性质说明此性质说明Bezier曲线比控制多边形所在的折线更曲线比控制多边形所在的折线更光顺。光顺。如果平面上的凸控制多边形能导致所生成的曲线为凸曲线，如果平面上的凸控制多边形能导致所生成的曲线为凸曲线，则称这个曲线生成的方法具有保凸性。则称这个曲线生成的方
12、法具有保凸性。我们将控制多边形的终点与起点连起来，如果这样形成一个我们将控制多边形的终点与起点连起来，如果这样形成一个闭的凸多边形，则相应的闭的凸多边形，则相应的Bezier曲线是一个凸的平面曲线。曲线是一个凸的平面曲线。此性质就是此性质就是Bezier 曲线的保凸性。曲线的保凸性。本讲稿第十九页，共二十四页 2 2.4 4 三次三次BezierBezier曲曲线线的拼接的拼接三次三次BezierBezier曲曲线线曲曲线线的拼接，工程上的拼接，工程上经经常采用分段常采用分段绘绘制三次制三次BezierBezier曲曲线线，然后将分段的然后将分段的BezierBezier曲曲线连线连接起来，形
13、成接起来，形成BezierBezier样样条曲条曲线线。设设有两条有两条BezierBezier曲曲线线Q1(t)Q1(t)和和Q2(t)Q2(t)，其特征多，其特征多边边形形顶顶点分点分别为别为：1 1、2 2、3 3、4 4和和R1R1、R2R2、R3R3、R4R4，如，如图图。本讲稿第二十页，共二十四页曲线间连接的光滑度的度量有两种：1）n阶参数连续性（Cn）：在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微。2）n阶几何连续性（Gn）：比Cn弱的连续性。Cn一定Gn。设两段曲线P(t)和Q(t)（0=t=1）当P(1)=Q(0)时，C0，G0连续。当C0（G0）连续，P(1)=aQ(0)时
14、，G1连续。当C0（G0）连续，P(1)=Q(0)时，C1连续。当C0,C1连续，P(1)=aQ(0)时，G2连续。当C0,C1连续，P(1)=Q(0)时，C2连续。一般，在曲线、曲面造型中，只用到G1，C1和G2，C2。本讲稿第二十一页，共二十四页Q1(t)=Q2(t)Q1(t)=Q2(t)P4P4P3=(R2P3=(R2R1)R1)1 1）GG连续连续根据端矢量条件，对根据端矢量条件，对Q1(t)Q1(t)曲线则有：曲线则有：Q1(t)=3(P4Q1(t)=3(P4P3)P3)Q Q2(t)=3(R2R1)共点：共点：P4P4和和R1R1共点。共点。共共线线：P3P3、P4(R1)P4(R
15、1)、R2R2三点共三点共线线。Q1(t)Q1(t)为为Q2(t)Q2(t)长长度的度的倍。倍。本讲稿第二十二页，共二十四页2 2）GG连续连续 若若Q1(t)Q1(t)曲曲线为线为m m次，而次，而Q2(t)Q2(t)曲曲线为线为n n次，次，则则有：有：为满足连续性条件，应有：为满足连续性条件，应有：Q2(t)=kQ2(t)Q2(t)=kQ2(t)亦即：亦即：P2 P2、P3P3、P4(R1)P4(R1)、R2R2、R3R3四点共面。四点共面。在连接处两曲线的曲率相等在连接处两曲线的曲率相等本讲稿第二十三页，共二十四页2 2.5 5优优缺点分析缺点分析1 1）特征多）特征多边边形的形的顶顶点个数决定了点个数决定了BezierBezier曲曲线线的的阶阶次；次；2 2）BezierBezier曲线不具备局部修改性；曲线不具备局部修改性；3 3）BezierBezier曲线的凸包性较强。曲线的凸包性较强。本讲稿第二十四页，共二十四页