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1、高等数学下曲线曲面积分本讲稿第一页，共九十二页第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十章 本讲稿第二页，共九十二页一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件的质量,1.引例引例:曲线形构件的质量采用本讲稿第三页，共九十二页设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点,2.定义定义下列“乘积
2、和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量和对本讲稿第四页，共九十二页如果 L 是 xoy 面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为思考思考:(1)若在 L 上 f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中dx 可能为负.本讲稿第五页，共九十二页3.性质性质（k 为常数)(由 组成)(l 为曲线弧 的长度)本讲稿第六页，共九十二页(5)对称性与二重积分类似L关于y轴对称轮换对称性(6)可将重心，转动惯量推广到曲线弧上本讲稿第七页，共九十二页二、对弧长的曲线积
3、分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分说明说明:(1)因此积分限必须满足本讲稿第八页，共九十二页(2)注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”.本讲稿第九页，共九十二页如果曲线 L 的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广推广:设空间曲线弧的参数方程为则本讲稿第十页，共九十二页例例1.计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:上点 O(0,0)本讲稿第十一页，共九十二页例例2.计算其中L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得本讲稿第十二页，共九十二页例例3.计
4、算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解解:线本讲稿第十三页，共九十二页例例4.计算其中为球面 被平面 所截的圆周.解解:由对称性可知本讲稿第十四页，共九十二页 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧内容小结内容小结本讲稿第十五页，共九十二页思考与练习思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示提示:原式=利用对称性本讲稿第十六页，共九十二页2.设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于 z 轴的转动惯量(2)求它的质心.解解:设其密度为 (常数).(2)L的质量而(1)本讲稿第十七页，共九十二页故重心坐标为本讲稿第十八页，共九十二页第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质
5、二、二、对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十章 本讲稿第十九页，共九十二页一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.本讲稿第二十页，共九十二页2.定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在
6、有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线.称为被积函数被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限记作本讲稿第二十一页，共九十二页3.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)用L 表示 L 的反向弧,则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!本讲稿第二十二页，共九十二页二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在,且有如果曲线 L 的方程为则
7、有本讲稿第二十三页，共九十二页例例1.计算其中L 为沿抛物线解法解法1 取 x 为参数,则解法解法2 取 y 为参数,则从点的一段.本讲稿第二十四页，共九十二页例例2.计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则本讲稿第二十五页，共九十二页例例3.计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解解:(1)原式(2)原式(3)原式本讲稿第二十六页，共九十二页三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方
8、程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系本讲稿第二十七页，共九十二页例例4.将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周本讲稿第二十八页，共九十二页1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结本讲稿第二十九页，共九十二页3.计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧本讲稿第三十页，共九十二页4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧:本讲稿第三十一页，共九十二页第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应
9、用 第十章 本讲稿第三十二页，共九十二页区域 D 分类单连通区域(无“洞”区域)复连通区域(有“洞”区域)域 D 边界L 的正向正向:域的内部靠左域的内部靠左定理定理1.设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,则有(格林公式格林公式)函数在 D 上具有连续一阶偏导数,一一、格林公式格林公式 其中L是的取正向的边界曲线本讲稿第三十三页，共九十二页说明：（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立；（2）在一定条件下可以用二重积分计算曲线积分，也可以用曲线积分计算二重积分。（4）几何应用：正向闭曲线正向闭曲线L 所围区域所围区域 D 的面积的面积（在格林公式中，取则有)（3）对于复连通区域D，公式右
10、端应包括D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对D来说都是正方向。本讲稿第三十四页，共九十二页推论推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积格林公式格林公式例如例如,椭圆所围面积本讲稿第三十五页，共九十二页例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明证证:令则利用格林公式,得？本讲稿第三十六页，共九十二页例例2.计算其中D 是以 O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角形闭域.解解:令,则利用格林公式,有本讲稿第三十七页，共九十二页例3.计算其中L是曲线上从点(0,0)到点的一段。解解：添加为围成的封闭区间本讲稿第三十八页，共九十二页例例4.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向
11、闭曲线.解解:令设 L 所围区域为D,由格林公式知本讲稿第三十九页，共九十二页在D 内作圆周取逆时针方向,对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式,得本讲稿第四十页，共九十二页二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2.设D 是单连通域,在D 内具有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)(4)在 D 内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 本讲稿第四十一页，共九十二页说明说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利
12、用格林公式简化计算,3)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;本讲稿第四十二页，共九十二页例例5.计算其中L 为上半从 O(0,0)到 A(4,0).解解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D,则本讲稿第四十三页，共九十二页例例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证证:设则由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使。本讲稿第四十四页，共九十二页积分与路径无关例6.计算其中 为自点A(-1,0)沿至B(2,3)的弧段（如图）解：由题知构造一个单连
13、通域G，积分在G内与路径则G无关，本讲稿第四十五页，共九十二页内容小结内容小结1.格林公式2.等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有本讲稿第四十六页，共九十二页第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分 第十章 本讲稿第四十七页，共九十二页一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质 “大化小,常代变,近似和,求
14、极限”的方法,量 M.其中,表示 n 小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).本讲稿第四十八页，共九十二页定义定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中 f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积函数,叫做积分曲面.本讲稿第四十九页，共九十二页则对面积的曲面积分存在.对积分域的可加性.则有 线性性质.在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.积分的存在性.若
15、 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面本讲稿第五十页，共九十二页定理定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在 上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分本讲稿第五十一页，共九十二页说明说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS 的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.本讲稿第五十二页，共九十二页例例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解解:本讲稿第五十三页，共九十二页例例2.计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解解:设上的部分,则与 原式=分别表示 在平面 本讲稿第五十四页，共九
16、十二页例例3.设计算解解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的投影域为则 本讲稿第五十五页，共九十二页本讲稿第五十六页，共九十二页内容小结内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.本讲稿第五十七页，共九十二页第五节一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分 第十章 本讲稿第五十八页，共九十二页
17、一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)本讲稿第五十九页，共九十二页其方向用法向量指向方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在 xoy 面上的投影记为的面积为则规定类似可规定本讲稿第六十页，共九十二页设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R 叫做被积函数被积函数;叫做积分曲面积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对 的任
18、 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积二二.定义定义.本讲稿第六十一页，共九十二页引例中,流过有向曲面 的流体的流量为称为Q 在有向曲面上对对 z,x 的曲面积分的曲面积分;称为R 在有向曲面上对对 x,y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面上对对 y,z 的曲面积分的曲面积分;若记 正侧正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式本讲稿第六十二页，共九十二页3.性质性质(1)若之间无公共内点,则(2)用 表示 的反向曲面,则本讲稿第六十三页，共九十二页三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理:设光滑曲面取上侧,是 上的连续函数,则 若
19、则有 若则有(前正后负)(右正左负)说明说明:如果积分曲面 取下侧,则本讲稿第六十四页，共九十二页例例1.计算其中 是以原点为中心,边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解:利用对称性.原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧本讲稿第六十五页，共九十二页解解:把 分为上下两部分根据对称性 思考思考:下述解法是否正确:例例2.计算曲面积分其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分.本讲稿第六十六页，共九十二页本讲稿第六十七页，共九十二页四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画本讲稿第六十八页，共九十二页令向量形式(A 在 n 上的投影)本讲稿第六十九页，共九十二页例
20、例4.设是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角,计算解解:本讲稿第七十页，共九十二页例例5.计算曲面积分其中解解:利用两类曲面积分的联系,有 原式=旋转抛物面介于平面 z=0 及 z=2 之间部分的下侧.本讲稿第七十一页，共九十二页原式=本讲稿第七十二页，共九十二页面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化内容小结内容小结本讲稿第七十三页，共九十二页当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在 yoz
21、 面及 zox 面上的二重积分转化公式.本讲稿第七十四页，共九十二页第六节Green 公式Gauss 公式推广推广一、高斯公式一、高斯公式二、通量与散度二、通量与散度 高斯公式 通量与散度 第十章 本讲稿第七十五页，共九十二页一、高斯一、高斯(Gauss)公式公式定理定理1.设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数,函数 P,Q,R 在面 所围成,的方向取外侧,则有(Gauss 公式公式)本讲稿第七十六页，共九十二页例例1.用Gauss 公式计算其中 为柱面闭域 的整个边界曲面的外侧.解解:这里利用Gauss 公式,得原式=(用柱坐标)及平面 z=0,z=3 所围空间思考思考:若
22、改为内侧,结果有何变化?本讲稿第七十七页，共九十二页例例2.利用Gauss 公式计算积分其中 为锥面解解:作辅助面取上侧介于 z=0 及 z=h 之间部分的下侧.所围区域为,则 本讲稿第七十八页，共九十二页利用重心公式,注意本讲稿第七十九页，共九十二页例例3.设 为曲面取上侧,求 解解:作取下侧的辅助面用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标本讲稿第八十页，共九十二页定义定义:设有向量场其中P,Q,R 具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向 则称曲面,其单位法向量 n,为向量场 A 通过有向曲面 的通量(流量).在场中点 M(x,y,z)处 称为向量场 A 在点 M 的散度.记作三、通量与散度三、通量与
23、散度本讲稿第八十一页，共九十二页内容小结内容小结1.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:本讲稿第八十二页，共九十二页2.通量与散度 设向量场P,Q,R,在域G内有一阶 连续 偏导数,则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 本讲稿第八十三页，共九十二页二、环流量与旋度二、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式 第十章 本讲稿第八十四页，共九十二页一一、斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 定理定理1.设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式斯托
24、克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一则有注意注意:如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.本讲稿第八十五页，共九十二页为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:本讲稿第八十六页，共九十二页例例1.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面 x+y+z=1 被三坐标面所截三角形的整个解解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.利用对称性本讲稿第八十七页，共九十二页例例2.为柱面与平面 y=z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针,计算解解:设为平面 z=y 上被 所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦本讲稿第八十八页，共九十二页三、三、环流量与旋度环流量与旋度斯托克斯公式设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 本讲稿第八十九页，共九十二页令,引进一个向量记作向量 rot A 称为向量场 A 的称为向量场A定义定义:沿有向闭曲线 的环流量环流量.或于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度旋度.本讲稿第九十页，共九十二页的外法向量,计算解解:例例3.设本讲稿第九十一页，共九十二页内容小结内容小结1.斯托克斯公式斯托克斯公式本讲稿第九十二页，共九十二页