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1、第一章检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.若a,b,=c,ab=M,则(A)(A)Mc(B)Mc(C)Mc(D)Mc解析:因为M=ab,所以Ma且Mb.而a,b,所以M,且M,所以M(),因为=c,所以Mc.2.下列三个命题,其中正确的有(A)用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:错,因截面不一定平行于底面;错,因为各侧棱延长后不一定相交于一点;错,因为即使各侧面为等
2、腰梯形,各侧棱延长后也不一定交于一点,故选A.3.给出以下几种说法:和某一直线都相交的两条直线在同一个平面内;三条两两相交的直线在同一个平面内;有三个不同公共点的两个平面重合;两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确说法的个数是(A)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:错,这两条直线可能为异面直线;错,相交于一点的三条直线,可以确定三个平面;错,若这三个公共点在一条直线上,则两个平面可能是相交的;错,这三条平行线可以在一个平面内.故选A.4.如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,DC+CC1=8,CB=4,M是AB的中点,点N是平面A1B1C1D1上的点,且满足C1N=,当长方体ABCDA
3、1B1C1D1的体积最大时,线段MN的最小值是(C)(A)6 (B)8 (C) (D)4解析:依题意,=CBDCCC1=4DCCC14=64,当且仅当DC=CC1=4时等号成立.因为M为线段AB的中点,如图,记M在A1B1上的投影为M,连接MC1交圆C1于点N,连接MN,此时MN的长度即为所求最小值,因为B1C1=4,B1M=2,所以MC1=2,MN=MC1-C1N=,故MN=,故MN的最小值为.故选C.5.如图所示,四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列命题正确的是(D)(
4、A)平面ABD平面ABC(B)平面ADC平面BDC(C)平面ABC平面BDC(D)平面ADC平面ABC解析:由原来的平面图形,易知CDBD,由于平面ABD平面BCD,交线为BD,所以CD平面ABD.所以CDAB,而ABAD,CDAD=D,所以AB平面ADC,因为AB平面ABC,所以平面ADC平面ABC.故选D.6.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,将ACD沿AC折起,使得D折起的位置为D1,且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上,在四面体D1ABC的四个面中,其中有n对平面相互垂直,则n等于(B)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:如图,由已知D1O平面ABC,D1O平面D1AB.所
5、以平面D1AB平面ABC,又BCAB,BC平面D1BC,所以平面D1BC平面D1AB,在RtD1BC中,BC=1,D1C=,所以D1B=,在平面D1AB中,AD1=1,AB=,所以A+B=AB2,所以AD1D1B,而AD1D1C,所以AD1平面D1BC,又AD1平面AD1C,所以平面AD1C平面D1BC,共3对平面互相垂直,故选B.7.已知正方体ABCDA1B1C1D1,平面过直线BD,平面AB1C,平面AB1C=m,平面过直线A1C1,平面AB1C,平面ADD1A1=n,则m,n所成角的余弦值为(D)(A)0(B)(C)(D)解析:如图,由已知,m为直线B1O,n为直线A1D,又A1DB1C
6、,所以m,n所成角即是B1O与B1C所成的角,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,在RtB1OC中,B1C=,OC=,所以B1O=,cosOB1C=,即m,n所成角的余弦值为.故选D.8.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是(D)(A)ACBE(B)EF平面ABCD(C)三棱锥ABEF的体积为定值(D)AEF的面积与BEF的面积相等解析:可证AC平面D1DBB1,从而ACBE,故A项正确;由B1D1平面ABCD,可知EF平面ABCD,B项也正确;连接BD交AC于O,则AO为三棱锥ABEF的高,SBEF=1=,
7、三棱锥ABEF的体积为=为定值,C项正确;A到B1D1的距离与B到B1D1的距离不相等.故选D.9.一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,以它的斜边为轴旋转所得的旋转体的体积为(A)(A)(B)(C)8(D)24解析:该旋转体是具有公共底面的两个圆锥,且底面半径为,则体积V=()25=.故选A.10.如图,在空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且=,若BD=6 cm,梯形EFGH的面积为28 cm2 ,则平行线EH,FG间的距离为(A)(A)8 cm(B)6 cm(C)4 cm(D)9 cm解析:由题知,EH=BD=3 cm,FG=BD=4 cm
8、.设平行线EH,FG之间距离为d,则28=(3+4)d,所以d=8 cm,故选A.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.如图所示,ABCDA1B1C1D1是正方体,若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与AC的位置关系是.解析:易知AC平面A1C1,而AC平面ACB1,平面ACB1平面A1C1=l,故lAC.答案:平行12.若球的表面积为16,球心到一截面的距离为,则这个截面圆的面积是.解析:设截面圆的半径为r,由题知,球的半径为2,则有r2=22-()2=1,故截面圆的面积为r2=.答案:13.周长为12的矩形,绕其一边旋转360,得一圆柱,其最大
9、侧面积为.解析:设矩形一边长为x,则另一边长为=6-x,S侧=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,当x=3时侧面积最大,最大为18.答案:1814.已知一水平放置梯形的直观图是一等腰梯形(如图),其面积为6,则原梯形面积为.解析:设直观图的高为h,则h(2+4)=6,所以h=2.所以原梯形的高在直观图中对应的线段长为=2,所以原梯形的高为4,又两底边长不变,所以S原梯形=4(2+4)=12.答案:1215.如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,EF是棱AB上的一条线段,且EF=b(ba).若Q是CD上的动点,则三棱锥QD1EF的体积为.解析:=SQEFDD1=baa=a2b.
10、答案:a2b三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本小题满分12分)如图(1),在MBC中,MA是BC边上的高,MA=3,AC=4,如图(2),将MBC沿MA进行翻折,使得BAC=90,再过点B作BDAC,连接AD,CD,MD,且AD=2,CAD=30.(1)求证:CD平面MAD;(2)求点A到平面MCD的距离.(1)证明:在ADC中,AC=4,AD=2,CAD=30,利用余弦定理可得CD=2,所以ADC=90,即CDAD.因为MAAB,MAAC,ABAC=A,故MA平面ABDC.因为CD平面ABDC,所以CDMA.又ADMA=A,所以CD平面MAD.(2)解:因为ACD的面积S=22
11、=2.故三棱锥MACD的体积V=23=2.又由(1)CD平面MAD知MDCD,得MD=,故MCD的面积S=2=,由=可得23=h,所以h=,故点A到平面MCD的距离为.17.(本小题满分12分)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=12,BC=10,AA1=8,过点A1,D1的平面与棱AB和CD分别交于点E,F,四边形A1EFD1为正方形.(1)在图中请画出这个正方形(不必写作法),并求AE的长;(2)问平面右侧部分是什么几何体,并求其体积.解:(1)正方形A1EFD1如图所示.因为A1E=A1D1=AB=10,A1A=8,在RtA1AE中,由勾股定理知AE=6.(2)平面右侧部分几何
12、体是以A1EBB1为底面的直四棱柱,由棱柱体积公式得V=(6+12)810=720.18.(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱锥DABCFE的体积.(1)证明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得=,故ACEF.所以EFHD,EFHD,所以ACHD.(2)解:由EFAC得=.由AB=5,AC=6得DO=BO=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故O
13、DOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=68-3=.所以五棱锥DABCFE的体积V=2=.19.(本小题满分12分)有一个倒圆锥形的容器,它的轴截面是正三角形,在这个容器内注入水,并且放入一个半径是r的钢球,这时球面恰好与水面相切,那么将球从圆锥形容器中取出后,水面高是多少?解:如图,作出截面,因轴截面是一个正三角形,根据切线的性质知当球在容器内时,水面的深度为3r,水面半径为r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=(r)23r-r3=r3.将球取出后,设容
14、器中水的深度为h,则水面圆的半径为,从而容器内水的体积为V=h=h3,由V=V,可得h=r.20.(本小题满分13分)如图所示,平面PAB平面ABC,平面PAC平面ABC,AE平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA平面ABC;(2)当E为PBC的垂心时,求证:ABC为直角三角形.证明:(1)如图,在平面ABC内取一点D,作DFAC于F,作DGAB于G,因为平面PAC平面ABC,且平面PAC平面ABC=AC,所以DF平面PAC,所以DFAP,同理可证DGAP.又DGDF=D,DG平面ABC,DF平面ABC,所以PA平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H,因为E为PBC的垂心,所以PCBE.因
15、为AE平面PBC,所以PCAE.又BEAE=E,所以PC平面ABE,所以PCAB.又PA平面ABC,所以PAAB.又PCPA=P,所以AB平面PAC.所以ABAC,即ABC是直角三角形.21.(本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC,(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC;(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.(1)证明:因为PC平面ABCD,所以PCDC.又因为DCAC,所以DC平面PAC.(2)证明:因为ABDC,DCAC,所以ABAC.因为PC平面ABCD,所以PCAB.所以AB平面PAC.所以平面PAB平面PAC.(3)解:棱PB上存在点F,使得PA平面CEF.理由如下:取PB中点F,连接EF,CE,CF.因为E为AB的中点,所以EFPA.又因为PA平面CEF,EF平面CEF,所以PA平面CEF.11