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1、非线性振动本讲稿第一页，共二十五页对于大量工程实际问题对于大量工程实际问题,后一个假设是满足的后一个假设是满足的.理论上理论上,根据常微分方程的理论根据常微分方程的理论,这一假设就保证了方程解的唯一性这一假设就保证了方程解的唯一性.即,在区域(2)内任取一点 ,从这点出发的解的轨线在此区域内只有唯一一条.(在增广空间,任何两条轨线不会相交;若投影到相空间内却是可能相交的).范数,通常采用例如,任取常数 ,满足不等式 ,表示以原点为球心,为球半径的区域，称为原点的球邻域.我们这里我们这里,范数采用所有的范数采用所有的 的绝对值中最大的值表示的绝对值中最大的值表示即 任取常数 不等式表示形心在原点
2、,边长为 的 维正方形,记作 (闭区域),(开区域)本讲稿第二页，共二十五页严格的稳定性概念由 李雅普诺夫给出:定义1 如果任取 (,无论如何小),对于任意给定的初时刻 ,存在 ,(由 和 确定),任取初扰动 ,只要满足 ,对于一切 有 那么系统(1)的平衡就是稳定的.For all Only if Then 定义2 如果平衡是稳定的,且存在 ,(只与 有关),任取 ,只需 ,就有 (3)那么就称平衡是渐近稳定的.本讲稿第三页，共二十五页区域 称为渐近稳定区域.定义3 如果存在 ,任取 (无论如何小),存在 ,满足 ,使得 ,那么称平衡是不稳定的.本讲稿第四页，共二十五页着重解释几点：1.对于
3、稳定定义1特别注意任意 是可以任意选取的正数,着眼点放在”无论如何小”显然,不能大于 ,对于给定的 ,越小,就更小.若把定义1中的”任意取 ”,改为”存在 ”,则只能得到”解有界”的结论,而得不到稳定的结论.2.对于渐近稳定的定义2,特别注意 a首先要求平衡是稳定的.为什么?反例:等式(3)成立,但平衡不是稳定的.所有轨线都趋向原点.但从其中一条轨线不可以看出平衡是不是稳定的.本讲稿第五页，共二十五页 b 定义2中的 不同于定义1中的 ,因为如果 给定,则是唯一确定的值;而定义1中的 仍是 的函数,越小,也越小.3.对于定义3中,要注意 是一个确定的值,而 是任意选取的.对 着眼于无论如何小”
4、.一旦发现原点任意小 的邻域内,存在初扰动 ,由它发出的解满足,平衡就是不稳定的。原则上只要有一束 就可以判定不稳定,而不需要研究原点的某个邻域的所有解的性质.4.平衡位置是否稳定,主要看解在原点附近的性质.,本讲稿第六页，共二十五页无阻尼的下垂摆自由振动的微分方程 ,用定义1证明其平衡是稳定的.证明:令 ,则 通解为:式中 ,是初扰动,由此得:本讲稿第七页，共二十五页 （三角不等式）因此任给 ,任取 ,欲 和 ,对一切 成立,只需 现设 和 所以只需由此解得本讲稿第八页，共二十五页从而只要取定义1的条件全部满足,自由振动的平衡是稳定的.其它下垂摆,证明写出来一大堆,不讲了.（有阻尼的下垂摆，
5、倒立摆）（有阻尼的下垂摆，倒立摆）由该例可以看出,用定义取直接考察系统的稳定性很不容易.注意：这个例子比较特殊：与 无关 For all Only if Then Lyapunov Lyapunov 第二方法第二方法本讲稿第九页，共二十五页基本概念（基本概念（V V函数函数）：定号定号,常号常号,变号函数变号函数设函数 是 维空间原点邻域内的单值连续函数,而 定义1 如果存在 ,在区域 :()内当 时,则称 是正定的 ,则称 是负定的.定义2,如果在域 内,有 ,则称 是常正的 ,则称 是常负的.定义3,如果原点的任意小的邻域内,既可取正值,又可以取负值,则称 为变号函数例如 ()是正定的(在
6、全空间内正定)()是常定的.因为在 轴上,各点有 ,其它各点 是变量函数.本讲稿第十页，共二十五页正定函数的判定方法要判定 是不是正定函数,还没有一个普遍的方法（通用的方法）还没有一个普遍的方法（通用的方法）对于二次型的 函数,有普遍适用的方法定理1 考虑二次型 式中 是定常数,是 阶对称方阵 表示列阵 的转置矩阵,即矢量二次型 为正定的充要条件是:顺序主子式的行列式都大于零.即:本讲稿第十一页，共二十五页例:设问 满足什么条件时,是正定的?解:令 ,则 求得 ,根据定理1,只要 ,即 时,函数 是正定的.本讲稿第十二页，共二十五页定义全导数定义全导数:(2)定理1(李雅普诺夫,1892)如果
7、对于扰动运动微分方程(1)可以找到一个正定函数 ，它通过(1)构成的全导数是常负的,则系统(1)的无扰运动是稳定的.定理2(李雅普诺夫,1892)如果对于扰动运动的微分方程(1),可以找到一个正定函数 ,它通过(1)构成的全导数是负定的,则(1)的无扰动速度是渐进稳定的.例:无阻尼单摆振动在其平衡位置的稳定性方程对于扰动运动微分方程对于扰动运动微分方程 ,(1)以下假设函数以下假设函数 是单值连续的是单值连续的 ,对对x具有连续偏导数具有连续偏导数 (i=1,2n)本讲稿第十三页，共二十五页令 则方程变为以下形式容易求出方程的初积分(首次积分，总能量函数)两边积分得:(为任意常数)本讲稿第十四
8、页，共二十五页取 注：选取V函数方法之一，总能量积分的表达式易见 是正定的(在区域 内)且通过(1)式对 求全导数,，有 (常负的)故单摆运动在其平衡位置是稳定的.另外，根据，定理2，不是渐近稳定的定理3(巴尓巴欣-克拉索夫斯基,1952)如果存在正定函数,它由(1)构成的全导数是常负的,并且在全导数为零的集合,除原点外,不包含(1)的整条轨线在内,则(1)的无扰动运动是渐近稳定的.例如,证明对于有阻尼的下垂摆,平衡是渐近稳定的.证明:扰动运动的微分方程是:本讲稿第十五页，共二十五页获得总能量函数:在区域 内是正定的.取则 (常负的)得假如点集 (即 轴)存在整条轨线,则 ,从而代入原方程有:
9、本讲稿第十六页，共二十五页所以在 内,只有 ,没有其它解.这表明在 轴上,除原点外,不存在整条轨线.所以,尽管 ,但平衡是渐近稳定的.定理4(切达耶夫不稳定定理,1934)如果对于扰动运动微分方程(1)可以找到单值连续函数,满足1,2,在原点的任意小邻域内存在 的区域.3,通过(1)的全导数 ,在 的某个区域上的一切点取正值,即 ,则无扰动运动是不稳的.本讲稿第十七页，共二十五页练习题：用用Lyapunov第二方法（第二方法（V函数描述的），判别下列函数描述的），判别下列扰动运动微分方程的零解稳定性扰动运动微分方程的零解稳定性本讲稿第十八页，共二十五页 其一次近似方程:(d)定理定理1 如果一
10、次近似方程(d)的一切特征根的实部为负,则系统(c)无扰运动是渐近稳定的。定理定理2 如果一次近似方程(d)的特征根中至少有一根的实部为正,则系统(c)的无扰运动是不稳定的。按一次近似判断稳定性的法则：驻定系统 (c)另外一种方法：按一次近似判断稳定性的法则问题：问题：对于非驻定系统？本讲稿第十九页，共二十五页基本概念（基本概念（V V函数函数）：定号定号,常号常号,变号函数变号函数设函数 是 维空间原点邻域内的单值连续函数,而 定义1 如果存在 ,在区域 :()内当 时,则称 是正定的 ,则称 是负定的.定义2,如果在域 内,有 ,则称 是常正的 ,则称 是常负的.定义3,如果原点的任意小的
11、邻域内,既可取正值,又可以取负值,则称 为变号函数 复习：复习：Lyapunov Lyapunov 第二方法第二方法本讲稿第二十页，共二十五页定义全导数:(b)定理1(李雅普诺夫,1892)如果对于扰动运动微分方程(a)可以找到一个正定函数 ，它通过(a)构成的全导数是常负的,则系统(a)的无扰运动是稳定的.定理2(李雅普诺夫,1892)如果对于扰动运动的微分方程(a),可以找到一个正定函数 ,它通过(a)构成的全导数是负定的,则(a)的无扰动速度是渐进稳定的.对于扰动运动微分方程 ,(a)复习：复习：Lyapunov Lyapunov 第二方法第二方法本讲稿第二十一页，共二十五页定理3(切达
12、耶夫不稳定定理,1934)如果对于扰动运动微分方程(a)可以找到单值连续函数 ,满足1,2,在原点的任意小邻域内存在 的区域.3,通过(1)的全导数 ,在 的某个区域上的一切点取正值,即 ,则无扰动运动是不稳的.复习：复习：Lyapunov Lyapunov 第二方法第二方法问题：问题：本讲稿第二十二页，共二十五页 非驻定系统稳定性基本原理非驻定系统稳定性基本原理 考虑非驻定系统的扰动运动的微分方程:(1)在闭区域,，内连续,并在这一区域内满足解的唯一性条件.注:前面关于驻定系统的某些结论可以直接推广到非驻定系统,一些结论则不可以直接作简单的推广,甚至不能推广。这是因为非驻定系统在相空间的方向
13、场是随时间而改变的,不具有驻定系统的不变方向的特征。本讲稿第二十三页，共二十五页 研究非驻定系统无扰运动（以原点为代表）的稳定性，这里仍要学习李雅普诺夫直接法，即构造李雅普诺夫函数。与驻定系统不同，这一函数一般含有 ，即为 （在特殊情况下也可以为 ）.需要建立的概念需要建立的概念:函数 定义定义1 1 单变量实值函数 称为 类函数 如果 是连续单调递增连续单调递增，（即当 时，有 ,且 ）下列利用 类函数定义定号函数 定义定义2 2 设函数 在区域 内单调连续，而且 对于任 何 成立。如果存在 类函数 ，在区域 上满足 ，则 为正定的。如果 ，则 为负定的。Remark 1：如果 不显含，即 ，则定义2与前面驻定系统的 函数定 义是等价的。本讲稿第二十四页，共二十五页 例例 证明：为正定。证：因为，若取 ,则 定义定义3 3 对 的全导数为 （3）定理定理1 1（李雅普诺夫，1892），如果在区域 内存在函数 和 类函数 ，使得，(1)（正定的）(2)(常负的)则非驻定系统（1）的无扰运动是稳定的。本讲稿第二十五页，共二十五页