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1、4.1.2圆的一般方程【选题明细表】 知识点、方法题号圆的一般方程1,3,4,5,8,10轨迹问题2,12圆的一般方程的应用6,7,9,11,131.(2018陕西延安期末)已知点P(2,1)在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上,则圆C的圆心坐标为(A)(A)(0,1)(B)(1,0)(C)(2,1)(D)(1,2)解析:由题意圆心C(-,1)在直线x+y-1=0上,从而有-+1-1=0,所以a=0,所以圆C的圆心坐标为(0,1),故选A.2.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的
2、面积等于(B)(A)(B)4(C)8(D)9解析:设动点P坐标为(x,y),则由|PA|=2|PB|,知=2,化简得(x-2)2+y2=4,得轨迹为以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,该圆的面积为4.3.原点必位于圆x2+y2-2ax-2y+(a-1)2=0(a1)的(C)(A)内部(B)圆周上(C)外部(D)均有可能解析:因为02+02-2a0-20+(a-1)2=(a-1)20,所以原点在圆的外部.4.已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是(A)(A)x2+y2-4x=0(B)x2+y2+4x=0(C)x2+y2-2x-3=0(D)x2+y2+
3、2x-3=0解析:设圆心为C(m,0)(m0),因为所求圆与直线3x+4y+4=0相切,所以=2,整理,得|3m+4|=10,解得m=2或m=-(舍去),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,故选A.5.在平面直角坐标系内,若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则实数a的取值范围为(C)(A)(-,-2)(B)(-,-1)(C)(2,+)(D)(1,+)解析:曲线C的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,它表示以(-a,2a)为圆心,2为半径的圆,又曲线C上所有的点均在第二象限内,所以解得a2,故选C.6.若直线l:ax+
4、by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为.解析:圆M的圆心为(-2,-1),由题意知,点M在直线l上,所以-2a-b+1=0,所以b=-2a+1,所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+55.答案:57.(2018山东临沂二模)已知圆x2+y2-2x-8y+1=0的圆心到直线ax-y+1=0的距离为1,则a=.解析:圆x2+y2-2x-8y+1=0的圆心C(1,4),因为圆x2+y2-2x-8y+1=0的圆心到直线ax-y+1=0的距离为1,所以d=1,解得a=.答案:8.一个等腰三角形底边上的高
5、等于5,底边两端点的坐标分别是(-4,0),(4,0),求它的外接圆的方程.解:由题意得,等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0,-5).当顶点坐标为(0,5)时,设三角形外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得所以圆的方程为x2+y2-y-16=0.当顶点坐标是(0,-5)时,同理可得圆的方程为x2+y2+y-16=0.综上,它的外接圆的方程为x2+y2-y-16=0或x2+y2+y-16=0.9.若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l1:x-y+4=0和直线l2:x+3y=0都对称,则D+E的值为(D)(A)-4 (B)-2 (C)2 (D)4解析:由题知直线l1,l2过
6、已知圆的圆心,所以所以所以D+E=4.10.(2018天津南开区模拟)圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是(B)(A)x2+y2+10y=0(B)x2+y2-10y=0(C)x2+y2+10x=0(D)x2+y2-10x=0解析:圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切,设圆的圆心为(0,r),半径为r.则=r.解得r=5,所求圆的方程为:x2+(y-5)2=25,即x2+y2-10y=0.故选B.11.(2018北京朝阳区一模)已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x+2y=0上任意一点,则ABC面积的最小值是.解析:圆x2+y2-2x+2y=
7、0化为(x2-2x+1)+(y2+2y+1)=2,即(x-1)2+(y+1)2=2,由题意即为在圆上找一点到线段AB的距离最小即可,kAB=1,直线AB:y-2=x,所以线段AB:y=x+2(-2x0),圆心(1,-1)到其距离d=2,所以圆上某点到线段AB的距离最小值为2-=,因为|AB|=2,所以SABCmin=|AB|=2=2.答案:212.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.解:如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为(,),线段MN的中点坐标为(,).由于平行四边形的对角线互相平分,故=
8、,=,从而又点N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.当点P在直线OM上时,有x=-,y=或x=-,y=.因此所求轨迹为圆(x+3)2+(y-4)2=4,除去点(-,)和点(-,).13.已知曲线C:(1+a)x2+(1+a)y2-4x+8ay=0.(1)当a取何值时,方程表示圆;(2)求证:不论a为何值,曲线C必过两定点;(3)当曲线C表示圆时,求圆面积最小时a的值.(1)解:当a=-1时,方程为x+2y=0,为一条直线;当a-1时,(x-)2+(y+)2=表示圆.(2)证明:方程变形为x2+y2-4x+a(x2+y2+8y)=0.令解得或故C过定点A(0,0),B(,-).(3)解:因为圆恒过点A,B,所以以AB为直径的圆面积最小.则圆心为(,-).所以=,解得a=.5