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1、2015届高三理科数学小综合专题练习立体几何一、选择题1.若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是若，则 若，则若，则若，则2一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆及其圆心，那么这个几何体的侧面积为A. B. C. D. 3已知某锥体的正视图和侧视图如图2， 其体积为，则该锥体的俯视图可以是 4如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是A2 B. C. D15某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A168 B88 C1616 D816二、填空题6在直四棱柱（侧棱和底面垂直的
2、棱柱叫直棱柱）ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件 （凡是能推出该结论的一切条件均可）时，有A1CB1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）7已知正三棱柱的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于_8如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点MAB1，NBC1，且AMBN，有以下四个命题：AA1MN；A1C1MN；MN平面 A1B1C1D1；MN与A1C1是异面直线其中正确命题的序号是_9在平面上，用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的
3、截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的正确结论是 .OMNL10如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD平面ABE，已知AB2，AEBE，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AMMNNB的最小值为_三、解答题11.如下图，四边形为正方形，平面，于点，交于点（1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值12如下图，在长方体中， （1）证明：当点在棱上移动时，； （2）在棱上是否存在点，使二面角的平面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由ABC
4、EAAAD13.PABCDM如下图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且().(1) 求证:为直角三角形；(2) 试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为.14在正三角形中，分别是边上的点，满足（如图1）.将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结（如图2）.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求二面角的余弦值.15在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，BAC90.（1）若异面直线A1B与B1C1所成的角为60，求棱柱的高；（2）设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为，当棱柱的高变化时，求sin的最大值正视图侧视图俯
5、视图16 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.（1）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；（2）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体? 如何组拼？试证明你的结论；（3）在（2）的情形下,设正方体的棱的中点为, 求平面与平面所成二面角的余弦值.17如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为 （1）求此正三棱柱的侧棱长；（2）求二面角的平面角的正切值；（3）求点到平面的距离18.在三棱锥中，已知平面平面，是底面最长的边三棱锥的三视图如图3所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形（1）请在图4中，用斜二测画法，把三
6、棱锥的直观图补充完整（其中点 在平面内），并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；（2）求二面角的正切值；侧视图正视图图3俯视图z图4OPyx（3）求点到面的距离2015届高三理科数学小综合专题练习立体几何参考答案一、选择题题号12345答案DDCAA二、填空题6. 7. 84 8. 9. 10.3第10小题解析：依题意得，点E到直线AB的距离等于，因为该几何体的左侧视图的面积为BC，所以BC1，DEECDC2.所以DEC是正三角形，DEC60，tan DEA，DEACEB30.把DAE，DEC与CEB展在同一平面上，此时连接AB，AEBE，AEBDEADECCEB120，AB2AE2BE22AEB
7、Ecos 1209，即AB3，即AMMNNB的最小值为3.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤11【解析】：（1）证明：因为平面，平面，所以.因为在正方形中，又，所以平面.因为平面，所以.因为，所以平面. 5分（2）向量法以为坐标原点，、分别为、轴建立空间直角坐标系设正方形的边长为1，则.由（1）得是平面的一个法向量.设平面的法向量为，所以.令，则，所以是平面的一个法向量.设二面角的平面角为，且所以，所以二面角的平面角的余弦值为. 14分传统法过点作于，过点作于，连接.因为，所以平面.因为，所以平面.因为平面，所以.因为，所以平面.易得，所以为二面角的
8、平面角.设正方形的边长为1，在中，所以.在中，因为，所以，所以.所以，所以，所以二面角的平面角的余弦值为. 14分12. 【解析】：xyz向量法以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，1分设2分（1）证明： ， 则， ，即 4分（2）解：当时，二面角的平面角为5分， 6分设平面的法向量为，则， 8分取，则是平面的一个法向量9分而平面的一个法向量为， 10分要使二面角的平面角为， 则，12分解得当时，二面角的平面角为14分传统法（1）证明：连结，在长方体中，平面，平面，1分HABCEAAAD，则四边形是正方形，2分，平面3分平面， 4分（2）解：当时，二面角的平面角
9、为 5分连结，过作交于点，连结6分在长方体中，平面，平面，7分，平面8分平面，9分为二面角的平面角，即10分设，则，进而 11分在中，利用面积相等的关系有， 12分在中， 13分，解得故当时，二面角的平面角为14分13.【解析】：(1)取中点,连结,依题意可知,均为正三角形, 所以,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以,PABCDMOxyz 因为,所以,即,从而为直角三角形.5分 说明:利用平面证明正确,同样满分! (2)向量法由(1)可知,又平面平面,平面平面, 平面,所以平面.6分 以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则 , 7分由可得点的坐标为,9分所以,设平面的法向量为,则,即解得
10、,令,得,11分显然平面的一个法向量为,12分PABCDMO依题意,解得或(舍去),所以,当时,二面角的余弦值为.14分传统法由(1)可知平面,所以, 所以为二面角的平面角,即,8分在中, 所以,10分 由正弦定理可得,即,解得,12分 又,所以, 所以,当时,二面角的余弦值为.14分14. 【解析】：不妨设正三角形的边长为3。（1）在图1中，取的中点，连结，而，是正三角形，1分又， 在图2中，为二面角的平面角.3分二面角成直二面角，即 .4分又，平面，即平面 5分（2）以为原点，分别以为轴、轴、轴的空间直角坐标系，则， 7分设平面的法向量为， ，令，则， 7分设直线与平面所成角的大小为则，又
11、，直线与平面所成角的大小为。 10分（3）由，。设平面的法向量为，令，则，12分设二面角的大小为，且为钝角则二面角的余弦值是。 14分 15【解析】：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AA1h(h0)，则有B(1,0,0)，B1(1,0，h)，C1(0,1，h)，A1(0,0，h)， (1,1,0)，(0,1,0)，(1,0，h)(1)因为异面直线A1B与B1C1所成的角为60，所以cos60，即，得，解得h1. 6分(2)由D是BB1的中点，得D，于是.设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，于是由n，n可得，可取，由题设，令，当且仅当h2，即时，等号成立ABCDC1图1所以，故当
12、时，sin 的最大值为.14分16【解析】：（1）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面是边长为6的正方形，高为=6，故所求体积是 4分 （2）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，ABCDD1A1B1C1图2故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，其拼法如图2所示. 证明:面、面、面为全等的正方形，于是 故所拼图形成立. 8分（3）传统法：设，的延长线交于点， 连结，在底面内作，垂足为，连结，则，故为平面与平面所成二面角或其补角的平面角. 在中，则，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.14分 ABCDD1A1B1C1EHxyzG图3
13、向量法：以为原点，、所在直线分别为、轴建立直角坐标系（如图3），正方体棱长为6，则（0，0，3），（0，6，6），（6，6，0）. 设向量=（，），满足，于是，解得. 取=2，得=（2，-1，2）. 又（0，0，6），故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为. 14分17【解析】：（1）设正三棱柱的侧棱长为取中点，连是正三角形，又底面侧面，且交线为侧面连，则直线与侧面所成的角为 在中，解得 此正三棱柱的侧棱长为 4分 注：也可用向量法求侧棱长（2）传统法：过作于，连，侧面为二面角的平面角 在中，又， 又在中， 故二面角的平面角的正切为3 9分向量法：（见后）（3）解法1：由（2）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面 在中， 为中点，点到平面的距离为 14分解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为过点作于，则的长为点到平面的距离解法3：（思路）等体积变换:由可求解法4：（向量法，见后）题（2）、（3）的向量解法：（2）解法2：如图，建立空间直角坐标系则设为平面的法向量由 得取 6分又平面的一个法向量 7分 ，结合图形可知，二面角的平面角的正切值为为39分 （3）解法4：由（2）解法2， 点到平面的距离 14分Az图1