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1、第二章推理与证明章末复习教学设计考试要求1了解合情推理的思维过程；2掌握演绎推理的一般模式；3会灵活运用直接证明和间接证明的方法，证明问题；4掌握数学归纳法的整体思想.典例精析精讲例1 、如图，已知ABCD，直线BC平面ABE，F为CE的中点.例1图（1）求证：直线AE平面BDF；（2）若，求证：平面BDF平面BCE证明：（1）设ACBDG，连接FG.由四边形ABCD为平行四边形，得G是AC的中点.又F是EC中点，在ACE中，FGAE. AE平面BFD，FG平面BFD，AE平面BFD； （2），.又直线BC平面ABE，.又，直线平面.由（1）知，FGAE，直线平面.例2 已知数列的前n项和（n
2、为正整数）.（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）令，试比较与的大小，并予以证明.解：（I）在中，令n=1，可得，即.当时，. 又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.(II)由（I）得，所以，.由-得 .于是确定的大小关系等价于比较的大小. 由 可猜想当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立.（2）假设时，.所以当时猜想也成立.综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有证法2：当时，综上所述，当，当时.例3 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记. （I）求数列与数列的通项公式； （II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整
3、数；若不存在，请说明理由；（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有.解：（I）当时，. 又，.数列是首项为，公比为的等比数列.，. （II）不存在正整数，使得成立.证明：由（I）知 . 当n为偶数时，设. .当n为奇数时，设.对于一切的正整数n，都有. 不存在正整数，使得成立. （III）由，得 又， 当时，当时， 例4 设函数数列满足， （）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；（）设，整数证明：解析：（）证明：，故函数在区间(0,1)上是增函数.（）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，即成立；（）假设当时，成立，即，
4、那么当时，由在区间是增函数，得.而，则，也就是说当时，也成立；根据（）、（）可得对任意的正整数，恒成立.（）证明：由，可得 .（1） 若存在某满足，则由（）知：；（2）若对任意都有，则，即成立.例5 已知函数满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有和，其中是大于0的常数.设实数a0，a，b满足 和.（）证明:，并且不存在，使得；（）证明:；（）证明:.证明：（）不妨设，由，可知，是R上的增函数.不存在，使得.又，.（）要证：，即证：. 不妨设，由，得.即.则. （1）由，得， 即.则. （2）由（1）（2）可得.（）,.,又由（2）中结论，.高考真题博览1（2011天津理4）对实数和，定义运算
5、“”：设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是A B C D【答案】B2（2011山东理12）设，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（R），（R），且,则称，调和分割，,已知平面上的点C，D调和分割点A，B则下面说法正确的是AC可能是线段AB的中点 BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上 DC，D不可能同时在线段AB的延长线上【答案】D3.（2011湖北理9）若实数a,b满足且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的A必要而不充分的条件 B充分而不必要的条件C充要条件 D即不充分也不必要的条件【答案】C4.（2011福建理15）设V是全体平面向量构成的集合，若映
6、射满足：对任意向量a=（x1，y1）V，b=（x2，y2）V，以及任意R，均有则称映射f具有性质P.现给出如下映射：其中，具有性质P的映射的序号为_.（写出所有具有性质P的映射的序号）【答案】5.（2011湖南理16）对于,将n表示,当时，,当时, 为0或1记为上述表示中ai为0的个数（例如：）,故, ）,则（1）_;（2） _.【答案】2；10936.（2011北京理8）设,，,.记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为A BC D【答案】C7.（2011江西理7）观察下列各式：=3125，=15625，=78125，则的末四位数
7、字为A3125 B5625 C0625 D8125【答案】D8.（2011广东理8）设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是A中至少有一个关于乘法是封闭的B中至多有一个关于乘法是封闭的C中有且只有一个关于乘法是封闭的D中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A9.（2011江西理10）如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是【答案】A10.（2011安徽理15）在平面直角坐标系中，如果与
8、都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）. 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果与都是无理数，则直线不经过任何整点直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数存在恰经过一个整点的直线【答案】，11.（2011四川理16）函数的定义域为A，若时总有为单函数例如，函数=2x+1（）是单函数下列命题：函数=（xR）是单函数；若为单函数，若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）答案：解析 ：错，正确12.（2011山东理15）设函数,观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时， .【答案】13.（2011陕西理13）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第个等式为 .【答案】- 9 -