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1、执信中学2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试题第一部分选择题 (共40 分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1函数的最小正周期是（*）A B C D 解：由题意，函数，所以，故选答案C2集合，则（*）A B C D解：M=x|lgx0=x|x1，N=x|x29=x|-3x3， MN=x|1x3， 故选B3已知复数在复平面内对应的点分别为，则 （*）A B C D解：由题意可得，故，故选答案C4设，则“”是“复数为纯虚数”的（*）A.充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解：
2、根据复数的分类，x+yi为纯虚数的充要条件是x=0，y0“若x=0则x+yi为纯虚数”是假命题，反之为真x，yR，则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的必要不充分条件，故选B5.双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则（*）A B C D6在实验员进行一项实验中，先后要实施个程序，其中程序只能出现在第一步或最后一步，程序和实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（*）A、15种 B、18种 C、44种 D、24种解：本题是一个分步计数问题，由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A21=2种结果程序C或D实施时必须相邻，把C或D看做一个元素，同除A外的2个
3、元素排列，注意C或D之间还有一个排列，共有A33A22=12种结果，根据分步计数原理知共有212=24种结果，故选D7已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图1所示，则其侧视图的面积为（*）A B C D 8对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：在内是单调的；当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（*）A B C D第二部分 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分9如图2，在中，直径与弦垂直，垂足在半径上，垂足为 ，若，则 解：在RtBCE中，EC2=CFCB=5，EC2=5ABCD，C
4、E=ED由相交弦定理可得AEEB=CEEB=CE2=5（3-OE）（3+OE）=5，解得OE=2，AE=3-OE=1故答案为110计算 . 11若执行图3中的框图，输入，则输出的数等于_12若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为 (用数字作答)13观察下列不等式：；则第个不等式为 14设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数，如果定义域为的函数是奇函数，当时，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分） 已知向量，(1) 若，求 (
5、2)设若，求的值.16.（本小题满分12分） 某市举行一次数学新课程骨干培训活动，共邀请15名使用不同版本教材的数学教师，具体情况数据如下表所示：版本人教A版人教B版性别男教师女教师男教师女教师人数64现从这15名教师中随机选出2名，则2人恰好是教不同版本的女教师的概率是.且.(1)求实数,的值(2)培训活动现随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望.(2)由题意得 ； ；故的分布列为012 故数学期望17.（本小题满分14分）如图（4），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，,现将梯形沿CB、DA折起，使且，得一简单组合体如图（5）示，
6、已知分别为的中点(1) 求证：平面； （2）求证： ；（3）当多长时，平面与平面所成的锐二面角为？ （本小题满分14分）. （1）证明：连，四边形是矩形，为中点，为中点，-1分在中，为中点，则为的中位线故-3分平面，平面，平面；-4分（其它证法，请参照给分）（2）依题意知 且平面平面，-5分为中点，结合，知四边形是平行四边形，-7分而， ，即-8分又 平面，平面， .-9分（3）解法一：如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系设，则易知平面的一个法向量为，-10分设平面的一个法向量为，则 故，即令，则，故-11分，依题意，解得，-13分即时，平面与平面所成的锐二面角为-14分【解法二：过点
7、A作交DE于M点，连结PM，则为二面角A-DE-F的平面角，-11分由=600，AP=BF=2得AM，-12分又得，解得，即时，平面与平面所成的锐二面角为-14分 18. （本小题满分14分） 在平面直角坐标系中,已知,直线, 动点到的距离是它到定直线距离的倍. 设动点的轨迹曲线为. （1）求曲线的轨迹方程. （2）设点, 若直线为曲线的任意一条切线,且点、到的距离分别为,试判断是否为常数,请说明理由.解: (1)由题意,设点,则有,点到直线的距离,故,化简后得: . 故动点的轨迹方程为 (2) 是常数,证明如下:若切线斜率不存在,则切线方程为,此时当切线斜率存在时,设切线:,代入,整理得:,
8、化简得: 又由:, , =常数. 综上,故对任意切线,是常数19.（本小题满分14分） 已知 函数(1) 已知任意三次函数的图像为中心对称图形,若本题中的函数图像以为对称中心,求实数和的值(2) 若,求函数在闭区间上的最小值解：（1）由函数图像以为对称中心，则，代入计算得：，故则（1）另解：由则，则，故则（2）由因为，讨论：1. 若，如下表： 0则此时2. 若时，如下表：100由，当时，则当时，则综上所述： 20.（本小题满分14分） 已知数列的前项和为 ，对于任意的恒有 (1) 求数列的通项公式 (2)若证明： 解: (1) 当时，又两式相减得：又，得，满足 数列是以为首项，2为公比的等比数列 得(3) 证明：由（1）可知 由 因为故,由当时,则不等式成立.另解: ,当时,总有(用数学归纳法证明,略)当则时, 故则不等式成立.11