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1、20122013学年（下）高二级第二学段模块考试理科数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁。参考
2、公式：一般地，若离散型随机变量的分布列为则. 第一部分 选择题（共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若复数是纯虚数（是虚数单位），则的值为（*）ABCD2随机变量服从正态分布，若，则（*）ABCD 3记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻，不同的排法共有（*）A1440种B960种C720种D480种4一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（*）AB与相交CD与所成的角为 5对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球
3、切于四面都为正三角形的什么位置？（*）A正三角形的顶点B正三角形的中心C正三角形各边的中点D无法确定6甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（*）ABCD7已知双曲线，两渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（*）ABCD或8设函数，(是互不相等的常数)，则等于（*）ABCD第二部分 非选择题（110分）二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分（一）必做题（913题）9曲线在点的切线方程是 * . 101Pab10随机变量的分布列如右图，其中a，b，成等差数列，则 * . 11
4、的展开式中常数项的值是 * .（用数字作答）12表示不超过的最大整数. 那么 * .13已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则的面积为 * . （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题. 请先用2B铅笔把答题卡上对应题号的标号涂黑，然后把答案填在横线上.）14(坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，已知点和,则、两点间的距离是 * . 15(几何证明选讲选做题) 如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC4，BE10，且BCAD，则DE * . 三、解答题:本大题共6小题,满分80分
5、,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本小题满分12分）先后掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？（2）当第一颗骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率17（本小题满分14分）甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响（1）求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；（2）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得分，求乙所得分数的概率分布和数学期望18（本小题满分14分）如图，在圆锥中，已知，O的直径，是的中点，为的中点（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.19（本小题
6、满分12分）数列满足（1）计算，由此猜想通项公式，并用数学归纳法证明此猜想；（2）若数列满足，求证：20（本小题满分14分）已知椭圆与直线相交于两点（1）若椭圆的半焦距，直线与围成的矩形的面积为8，求椭圆的方程；（2）若（为坐标原点），求证：；（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴长的取值范围21（本小题满分14分）已知函数.（1）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）当时，恒成立，求整数的最大值；（3）试证明：().20122013学年（下）高二级第二学段模块考试理科数学答案及说明一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.题号12345678答案DCA
7、DBDDA二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.16（本小题满分12分）解：（1）设为掷第一颗骰子得的点数，为掷第二颗骰子得的点数，则所有可能的事件与点建立对应如图，共有种不同情况，它们是等可能的 2分设事件A为“至少有一颗是6点”，则事件A共包含11种不同情况， 3分P(A). 5分（2）设事件B为“第一颗骰子的点数为3或6”，事件C为“两颗骰子的点数之和大于8”，由图可知则， 9分 12分17（本小题满分14分）解：（1）设“甲至多命中1个球”为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B
8、，1分由题意得， 5分甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为 6分（2）乙所得分数的可能取值为， 7分则， 11分分布列如下：04812P 13分 14分18（本小题满分14分）解法1：（1）连结，因为，是中点，所以又底面O，底面O，所以， 2分因为是平面内的两条相交直线，所以平面 4分而平面，所以平面平面. 6分（2）在平面中，过作于，由（1）知，平面平面平面=所以平面，又面，所以在平面中，过作于，连接，平面，从而，故为二面角的平面角 9分在在在在所以 13分故二面角的余弦值为 14分解法2：如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，轴建立空间直角坐标系，则， 2分（1）设是平面的一
9、个法向量，则由，得所以，取得 4分设是平面的一个法向量，则由，得所以，取，得 6分因为，所以从而平面平面 8分（2）因为轴平面，所以平面的一个法向量为由（1）知，平面的一个法向量为设向量和的夹角为，则 13分所以二面角的余弦值为 14分19（本小题满分12分）解：（1）当n1时，a1S12a1，a11.当n2时，a1a2S222a2，a2. 1分当n3时，a1a2a3S323a3，a3.当n4时，a1a2a3a4S424a4，a4. 2分由此猜想an(nN*) 4分现用数学归纳法证明如下：当n1时， a11，结论成立假设nk（k1且kN*）时，结论成立，即ak，那么当nk1时，ak1Sk1Sk
10、2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak，ak1，故当nk1时，结论成立，由知猜想an(nN*)成立 8分(2)由(1)知， 9分解法1：当时， 10分 12分解法2：当时， 10分 12分解法3： 当时， 10分 12分20（本小题满分14分）解：（1）由已知得： 解得 3分所以椭圆方程为： 4分（2）设，由，得由，得 7分由，得 8分 即，故 9分（3）由（2）得 由，得， 12分由得，所以椭圆长轴长的取值范围为 14分21（本小题满分14分）解：（1）由题 2分故在区间上是减函数 3分（2）当时,恒成立,即在上恒成立, 4分取,则, 5分再取则 6分故在上单调递增而故在上存在唯一实数根， 8分故当时，当时，故 故 10分（3）由（2）知令, 12分又 即 14分9