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1、,一元一次方程的概念与解法【知识要点】1一元一次方程的有关概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，这样的方程叫做一元一次方程.（2）一元一次方程的标准形式是： 2等式的基本性质（1）等式的两边都加上或减去 或 ，所得的结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以 或都除以 ，所得的结果仍是等式.3解一元一次方程的基本步骤：变形步骤具 体 方 法变 形 根 据注 意 事 项去分母 方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质2 1不能漏乘不含分母的项； 2分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号乘法分配律
2、、去括号法则 1分配律应满足分配到每一项 2注意符号，特别是去掉括号移 项 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边等式性质1 1移项要变号； 2一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边合并同类 项 把方程中的同类项分别合并，化成“”的形式（）合并同类项法则 合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变未知数的系数化成“1” 方程两边同除以未知数的系数，得等式性质2 分子、分母不能颠倒【典型例题】例1下列方程是一元一次方程的有哪些？ x+2y=9 x23x=1 2x=1 3x5 3+7=10 x2+x=1例2. 用适当的数或整式填空，使得结果仍是等式，并说明
3、是根据等式的哪条性质，通过怎样变形得到的. (1)如果 (2)如果； (3)如果 (4)如果例3解下列简易方程 1 24.7-3x=11 3 4例4解方程 1 2 3 4 5 6例6取何值时，代数式 与 的值相等.例7已知方程的解与方程的解相同，求m的值.例8. 已知是关于x的方程 的解，求的值.例9当例10. 若对于任意的两个有理数m, n都有mn=，解方程3x4=2.系统讲解一元一次方程的应用【知识梳理】一、知识结构二、知识要点归纳1列方程解决实际问题的一般步骤 （1）找找准等量关系，找出能够表示题意的等量关系. （2）设设未知数，弄清题意和找准等量系后，用字母表示题目中的一个未知数. （
4、3）列列出方程，用含未知数的代数式表示出题目中的各种数量，依据找准的等量关系，列出方程. (4) 解解方程.解出所列的方程,求出未知数的值. (5) 答_作出应答,检验方程的解是否符合实际,作出回答且注明单位.水速度船速水速2.分析应用题中等量关系的一般方法（1）译式法：将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系.（2）线示法：用同一直线的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段的长度的内在联系，找出等量关系.（3）列表法：将已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系.（4）图示法：利用图表示题中的数量关系，它可以使量之间的关系
5、更为直观，更方便找出其中的等量关系.三、考查解析一元一次方程应用问题，关键是考查同学们用一元一次方程的模型解决实际问题的能力，大多数属于当基本题或中档题，学习中应抓住其核心问题建模，从等量关系入手，而不是只让学生套题型，套步骤去解应用题.【典型例题】劳动力分配问题例1.某车间有100个工人，每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓要配两个螺母）应如何分配加工螺栓、螺母的工人？分析：等量关系为螺栓数：螺母数12.设加工螺栓人数为，则加工螺栓的总数为18个，加工螺母总数为24（100）个.解：设加工螺栓的人数为人，依题意有解得（人）.加工螺母的人数为100
6、1004060（人）答：应分配40人去加工螺栓.点评：此题重点是培养学生寻找等量关系的意识和能力.等体积问例2.一个圆柱形水桶，底面半径为11cm，高25cm，将满桶的水倒入底面长30cm，宽20cm的长方体容器，问此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水（取3.14，结果精确到0.1cm）?分析：从相等关系入手，即圆柱形容器积长方体器容积.解：设长方体容器的高为cm，依题意，有30202511，解方程，得15.9cm，答：长方体容器的高至少需要15.9cm.点评：“等积变换”是中学数学的常用方法，要让学生理解和把握这方法，并能在实际问题中灵活应用.盈亏问题例3.某服装个体户同时卖出两套服装，每
7、件都以135元出售，按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%.（1）在这次买卖中，这位个体户是赔是赚还是正好保本？（2）若将题中的135元改成为任何正数元，情况如何？分析：关键把握等量关系：进价（1盈利率）售价，进价（1亏本率）售价.解：（1）设第一件进价为元，则,解得,设第一件进价为元，则,解得,而.所以赔18元.（2）仿前一小题方法可得：及,解得，,而,所以此时仍然是亏本.点评：解决该题的关键是把握住此类问题中的几个等量关系，同时理解好一些常用“词”：如：打八折，进价，售价，盈利10%，亏本20%等.拓广：在例3中，将题中的135元改为任何正数元，同时又将题中的25%改为m%010
8、0情况如何？工程量问题例4.甲、乙两水管往水池中注水，甲管单独打开用20小时可注满一池水，乙管单独打开用40小时可注满一池水.现在甲管单独打开8小时后，乙管才开始工作，问两管一起打开后需多少小时可注满水池？分析：利用等量关系，甲管工作量乙管工作量1，来解题，为了理清工作量的关系，可列表如下：（设两管一起开后小时可注满全池）甲管乙管工作总量工作效率1工作时间8x工作量解：设两管一起打开后小时可注满全池，依题意，得.解得（小时），答：两管一起打开后8小时可注满水池.点评：“列表法”在分析等量关系中，有其特点，但重点还应是在培养学生寻找等量关系的意识和能力上，提高“建模”能力.行程问题例5.由甲地到
9、乙地前的路是高速公路，后的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地.A车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路的行驶速度是60千米/时.B车在高速公路上的行驶速度是110千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时.A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在距离丙地44千米处相遇，求甲、乙两地之间的距离是多少？分析：本题在相遇过程中A、B两车同时出发相向而行至相遇如图351所示，相等关系是A车行驶时间B车行驶时间.距丙地44千米处，有两种可能，（1）相遇处在高速公路上距丙地44千米，（2）相遇处在普通公路上，解题时要考虑到这两种情况，再根据实际取舍.解：设甲、乙两地相距x
10、千米，A车从甲地到丙地，需要（小时），B车从乙地到丙地，需要（小时），A、B两车只能在高速公路上距丙地44千米处相遇.列方程得解得.答：甲、乙两地之间的距离是441千米.点评：“线示法”分析等量关系比较方便.但要注意分类讨论各种情况，以免挂一漏万.利息问题例6.大宝、小宝共利用假期打工1000元，大宝把他的工钱按一年期教育储蓄存入银行，年利率为1.98%，免收利息税，小宝把他的工钱买了月利率为2.15%的债券，但要交纳20%的利息税，一年后两人得到的收益恰好相等，问两人的压岁钱各是多少？分析：抓住这一问题的等量关系.1.利息（免税的）存入钱数年利率，2.利息（不免税的）存入钱数年利率（1税率）
11、，3.大宝的收益小宝的收益.解：设大宝的工钱为元，则小宝的工钱为（1000）元，由题意，得.解得（元），1000=490(元).答：大宝的工钱是510元，小宝的工钱是490元.【自我测试】一、基础测试1.在高速公路上，一辆长4米，速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追及超越卡车，需要花费的时间约是（）A.1.6秒B.4.32秒C.5.76秒D.345.6秒2.有一旅客携带30公斤行李从某机场乘飞机返回绵阳，按民航规定，旅客最多可免费携带20公斤行李，超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购行李票，已知该旅客现已购行李票60元，则它的飞机票价为
12、（）A.300元B.400元C.600元D.800元3.一年期定期储蓄年利率为2.25%，所得利息要交纳20%的利息税，已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得利息450元，问该储户存入多少本金？4.某商品的进货单价为280元，按25%的利润率确定售价.后因市场发生变化，决定按原定价格的八五折出售，问这时每售出一件这种商品，商店获利多少？5.用内径18毫米的圆柱形试管盛满水后，向一个底面是边长为22毫米的正方形，高是15毫米的空长方体容器内倒水，倒满容器后试管内水面下降约多少毫米？6.一艘船在甲、乙两地之间航行，顺水要3小时，逆水要3.5小时，已知船在静水中航行速度是每小时26千米，求水流速
13、度.7.两人在环形跑道上同向急走，一圈为400米，甲的速度为平均每分钟80米，乙的速度是甲的1.25倍，如果乙在甲的前面100米，多少分钟后两人相遇？8.某人原计划骑车以12km/h的速度由A地去B地.这样可在规定时间内到达B地.但他因事将原计划出发的时间推迟了20min，只好以15km/h的速度前进，结果比规定时间早4min到达B地，求A、B两地的距离？二、综合能力测试题1.某商店先在广州以每件15元的价格购进一种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价购进同样商品40件，如果商店销售这些商品时，要获利12%的利润，那么这种商品的销售价应该是_.2.有一卷铁丝，第一次用去了它的一半少1m
14、，第二次用去了剩下的一半多1m，结果还剩下10m，这卷铁丝原长多少？3.有大中小三个正方形水池，它们的内池分别为6m、3m、2m，把两堆碎石分别沉浸在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6cm和4cm，如果将这两堆碎石都沉浸在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？4.有一火车以每分钟600m的速度要过完第一、第二座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥多用5分钟，又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50m，试求各铁桥的长？5.某公司向银行贷款40万元用来生产某种新产品，已知该贷的年利率为1.5%（不计复利），每人新产品的成本是2.3元，售价4元，应纳税是销售额的10%，如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润用来归还贷款，问需要几年才能一次性还清？（利润销售额成本应纳税款）6.某班共40名学生，其中33人数学成绩不低于80分，32人英语成绩不低于80分，且班上每人在这两科中至少有一科不低于80分.求两科成绩都不低地80分的人数.