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1、河南省南阳市2014-2015学年高二上期期末质量评估数学理试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.不等式的解集为 A. B. C. D.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为若,则ABC的形状为 A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.已知圆C1：，圆C2：,若动圆C与圆C1相外切且与圆C2相内切，则圆心C的轨迹是 A椭圆 B椭圆在y轴上及其右侧部分 C双曲线 D双曲线右支 4.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30,45,且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为A.(30+30)
2、mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+15)m已知等比数列an的公比为q,前n项和为,且成等差数列,则等于 A.-1或B.1或- C.1D.-6.已知a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积是A. B. C. 4 D. 87.双曲线C与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为x-2y=0,则双曲线C的标准方程为A B C D8.下面命题中，正确命题的个数为命题：“若,则”的逆否命题为:“若,则”; 命题：的否定是; “点M在曲线上”是“点M的坐标满足方程”的必要不充分条件; 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的充要条件; A.1个B.2个C.3个D
3、.4个 9.若满足条件,当且仅当时,取最小值,则实数的取值范围是ABCD10.已知直二面角,，.若，则D到平面ABC的距离等于A.B.C.D.111.若数列an满足,则称数列an为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”,且b1+b2+b9=90,则b4b6的最大值是A.10B.100C.200D.40012.已知椭圆的左焦点为与过原点的直线相交于两点，连接若则的离心率为 A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.已知数列满足，那么的值是_ 14.已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为 .15.如图，正方体ABCD-A1B1C1
4、D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为_16.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于_三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本题满分10分)已知命题p:“1x5是x2-(a+1)x+a0的充分不必要条件”，命题q:“满足AC=6，BC=a,CAB=30的DABC有两个”.若“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.18(本题满分12分)已知ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)求角A的大小.(2)若a=1,求b+c的值.19.
5、(本题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形且ADC=60，M为PB的中点.(1)求PA与底面ABCD所成角的大小. (2)求证：PA平面CDM. (3)求二面角D-MC-B的余弦值.(本题满分12分)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线与抛物线C交于A(x1,y1)(y10),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.(1)若,求直线的斜率.(2)求ATF的最大值.(本题满分12分)已知等比数列an的首项为1,公比q1,Sn为其前n项和,a1,a2,a3分别为某等差数列的第一、第二、第四项.(1)求a
6、n和Sn.(2)设,数列的前n项和为Tn,求证:22.(本题满分12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为（1）求椭圆的方程； （2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，是椭圆的左右焦点，且，求四边形面积的最大值。2014年秋期期终质量评估高二理科数学参考答案一选择题 DCDAD ABDCC BB二填空题 13. 90 14. 44 15. 16. 三解答题17.解：命题p:. 3分命题q: 6分因为pq是真命题，所以p假，q真. 8分所以实数a的取值范围是.10分解：(1)由题意得可得sinBsinA=cosAsinB,所以tanA=,即A
7、=. 6分 (2)由,得cbcos=3, 即cb= 又a=1,从而1=b2+c2-2bccos,由可得(b+c)2=,所以b+c=. 12分19.解：(1)取DC的中点O，由PDC是正三角形，有PODC. 又平面PDC底面ABCD，PO平面ABCD于O. 连接OA,则OA是PA在底面上的射影, PAO就是PA与底面ABCD所成的角. ADC=60,由已知PCD和ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=. PAO=45,PA与底面ABCD所成角的大小为45. 4分 (2)由底面ABCD为菱形且ADC=60,DC=2,DO=1,得OADC. 建立空间直角坐标系如图， 则A(,0,0),P(0,
8、0,),D(0,-1,0),B(,2,0),C(0,1,0). 由M为PB中点,M(,1,), =(,2,)，=(，0，-),=(0,2,0), PADM,PADC.又DMDC=D,PA平面CDM. 8分 (3)=(,0,)，=(，1，0). 设平面BMC的法向量n=(x,y,z), 则n=0，从而x+z=0; n=0,从而x+y=0, 由，取x=-1，则y=,z=1.可取n=(-1,1). 由(2)知平面CDM的法向量可取=(,0,-), 所求二面角的余弦值为. 12分20.解：(1)因为抛物线y2=4x焦点为F(1,0),T(-1,0).当轴时,A(1,2),B(1,-2),此时,与矛盾2
9、分 所以设直线的方程为y=k(x-1), 代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 则, 所以,所以y1y2=-4, 因为,所以(x1+1)(x2+1)+y1y2=1,将代入并整理得,k2=4,所以k=2.6分 (2)因为y10, 所以, 当且仅当,即y1=2时,取等号,所以ATF,所以ATF的最大值为.12分21.解：(1)因为a1,a2,a3为某等差数列的第一、第二、第四项, 所以a3-a2=2(a2-a1), 所以a1q2-a1q=2(a1q-a1), 因为a1=1,所以q2-3q+2=0, 因为q1,所以q=2, 所以an=a1qn-1=2n-1, 6分 (2)由(1)知an+1=2n, 所以bn=log2an+1=log22n=n. 所以. 。12分22.解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为. 依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得 解得，所以 所以椭圆的标准方程是 4分（）将直线的方程代入椭圆的方程中， 得 由直线与椭圆仅有一个公共点知， 化简得： 设， ， 8分 四边形的面积， 当且仅当时，故 所以四边形的面积的最大值为12分 - 8 -