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1、专题能力训练5导数及其应用(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.-2B.2C.-D.2.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称3.已知a0,函数f(x)=(x2-2ax)ex.若f(x)在-1,1上是单调递减函数,则a的取值范围是()A.0aB.aC.aD.0a2,则f(x)2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(
2、-1,+)C.(-,-1)D.(-,+)5.(2017浙江金丽衢十二校模拟)如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)=f(x)-kx有()A.1个极大值点,2个极小值点B.2个极大值点,1个极小值点C.3个极大值点,无极小值点D.3个极小值点,无极大值点6.将函数y=ln(x+1)(x0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角(0,),得到曲线C,若对于每一个旋转角,曲线C都仍然是一个函数的图象,则的最大值为()A.B.C.D.7.已知函数f(x)=x+ex-a,g(x)=ln(x+2)-4ea-x,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0,使f(x0)-g(x0)=3成立,
3、则实数a的值为()A.-ln 2-1B.ln 2-1C.-ln 2D.ln 28.若函数f(x)=ln x与函数g(x)=x2+2x+a(x0时,xf(x)-f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是.12.已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是.13.已知函数f(x)=若对于tR,f(t)kt恒成立,则实数k的取值范围是.14.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)满足f(1)+f(3)=2f(2),现给出如下结论:若f(x)是区间(0,1)上的增函数,则f(x)是区间(3,4)上的增函数;若af(1
4、)af(3),则f(x)有极值;对任意实数x0,直线y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)与曲线y=f(x)有唯一公共点.其中正确的结论为.(填序号)三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x3+|x-a|(aR).(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0)处的切线方程;(2)当a(0,1)时,求f(x)在区间-1,1上的最小值(用a表示).16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ax(ln x-1)(a0).(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)当a0时,设函数g(x)=x3-f(x),
5、函数h(x)=g(x),若h(x)0恒成立,求实数a的取值范围;证明:ln(123n)2e2x+4,得f(x)-2x-40,设F(x)=f(x)-2x-4,则F(x)=f(x)-2,因为f(x)2,所以F(x)0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增.而F(-1)=f(-1)-2(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-40等价于F(x)F(-1),所以x-1.故选B.5.A解析 F(x)=f(x)-k,如下图所示,从而可知函数y=F(x)共有三个零点x1,x2,x3,因此函数F(x)在(-,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+)
6、上单调递增,故x1,x3为极小值点,x2为极大值点,即F(x)有1个极大值点,2个极小值点,应选A.6.D解析 函数y=ln(x+1)(x0)的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90时,其图象都仍然是一个函数的图象,因为x0时y=是减函数,且0-2,则h(x)=1-,h(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在区间(-1,+)上单调递增,h(x)min=h(-1)=-1,又ex-a+4ea-x2=4,f(x)-g(x)3,当且仅当时等号成立.故选A.8.A解析 设公切线与函数f(x)=ln x切于点A(x1,ln x1)(x10),则切线方程为y-ln x1=
7、(x-x1),设公切线与函数g(x)=x2+2x+a切于点B(x2,+2x2+a)(x20),则切线方程为y-(+2x2+a)=2(x2+1)(x-x2),所以有因为x20x1,所以02.又a=ln x1+-1=-ln-1,令t=,所以0t2,a=t2-t-ln t.设h(t)=t2-t-ln t(0t2),则h(t)=t-1-h(2)=-ln 2-1=ln,所以a.故选A.9.(-,-1)(2,+)解析 f(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知f(x)=0有两个不相等的实根,则=(6a)2-433(a+2)0,即a2-a-20,解得a2或a0,x(0,+),所以函数g(x)在(0,+
8、)上单调递增.又g(-x)=g(x),则g(x)是偶函数,g(-2)=0=g(2),则f(x)=xg(x)0解得x2或-2x0的解集为(-2,0)(2,+).12.解析 因为f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f(x)=3x2-2+ex+e-x3x2-2+20(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)在R上单调递增,因为f(a-1)+f(2a2)0可化为f(2a2)-f(a-1),即f(2a2)f(1-a),所以2a21-a,2a2+a-10,解得-1a,故实数a的取值范围是.13.14.解析 由f(1)+f(3)=2f(2)化简得b=-6a.f
9、(x)=3ax2+2bx+c=3ax2-12ax+c,其对称轴为x=2,如果f(x)在区间(0,1)上递增,其关于x=2对称的区间为(3,4),故区间(3,4)也是其增区间,正确.af(1)-f(3)0,即2a(11a-c)0,导函数f(x)=3ax2-12ax+c的判别式144a2-12ac=12a(12a-c),当a0时,12a-c11a-c0,判别式为正数,当a0时,11a-c0,12a-ca0,其判别式为正数,即导函数有零点,根据二次函数的性质可知原函数有极值,正确.注意到f(2)=c-12a,则转化为f(2)=,即函数图象上任意两点连线的斜率和函数在x=2处的切线的斜率相等的有且仅有
10、一个点.由于x=2是导函数f(x)=3ax2-12ax+c的最小值点,即有且仅有一个最小值点,故正确.15.解 (1)因为当a=1,x1时,f(x)=x3+1-x,f(x)=3x2-1,所以f(0)=1,f(0)=-1,所以f(x)在(0,f(0)处的切线方程为y=-x+1.(2)当a(0,1)时,由已知得f(x)=当ax0,知f(x)在(a,1)上单调递增.当-1x0,当a0时,解得x1;当a0时,解得0x0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(1,+);当a0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(0,1).(2)h(x)=g(x)=x2-f(x)=x2-aln x,由题意得h(x)min0.h(x)=x-,当x(0,)时,h(x)0,h(x)单调递增.h(x)min=h()=a-aln,由a-aln0,得ln a1,解得0ae.实数a的取值范围是(0,e.由(1)知a=e时,h(x)=x2-eln x0在x(0,+)上恒成立,当x=时等号成立,xN*时,2eln xx2,令x=1,2,3,n,累加可得2e(ln 1+ln 2+ln 3+ln n)12+22+32+n2,即ln(123n)2e12+22+32+n2(nN*).5