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1、2013届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编2：函数一、选择题 （2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知函数,当x=a时,取得最小值,则在直角坐标系中,函数的大致图象为 第二部分 (非选择题 共110分)【答案】B 【解析】,因为,所以,所以由均值不等式得,当且仅当,即,所以时取等号,所以,所以,又,所以选B （2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）已知是定义在上的函数,其图象是一条连续不断的曲线,且满足下列条件:的值域为,且;对任意不同的,都有.那么,关于的方程在上根的情况是（）A没有实数根B有且只有一个实数根 C恰有两个不同的实数根D有无数个不同的实数根(一)必考题(11
2、14题)【答案】B 【解析】:令, 则,所以. 又因为,都有,则,所以,所以函数在上单调递减,故函数在上只有一个零点,即方程在上有且只有一个实数根.故选B （2013届天津市高考压轴卷理科数学）已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,则的值为（）ABC1D2【答案】C 【解析】由函数是上的偶函数及时得 故选C （2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知函数是R上的奇函数,若对于,都有, 时,的值为（）ABC1D2【答案】B【解析】由知,函数的周期为2,所以 （2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）函数f(x)=的零点所在的一个区间是（）A(-2,-1)B(-1,0)C(0,1)D(1,2)
3、【答案】B由及零点定理知f(x)的零点在区间(-1,0)上. （2013届福建省高考压轴卷数学理试题）设函数,则函数的零点的个数为（）A4B5C6D7【答案】C【解析】由题意,的零点,即的交点. 易绘的函数图象,且 当时, 依次类推,易得 又, 同理, 不难绘出的函数图象如右,显然零点共6个,其中左边1个,右边5个. (4, 0)xy(2, 0)O(6, 0)(8, 0) （2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知函数,则方程()的根的个数不可能为 6 5 4 3 【答案】A （2013届四川省高考压轴卷数学理试题）已知集合,定义函数.若点、,的外接圆圆心为D,且,则满足条件的函数有（）A6
4、个B10个C12个D16个【答案】C （2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）对于定义域为0,1的函数,如果同时满足以下三个条件:对任意的,总有若,都有 成立;则称函数为理想函数.下面有三个命题:(1)若函数为理想函数,则;(2)函数是理想函数;(3)若函数是理想函数,假定存在,使得,且,则;其中正确的命题个数有（）A0个B1个C2个D3个【答案】D 【解析】(1)取 ,可得所以又有条件故 (2)显然在上满足条件也满足条件 若,则 即满足条件故是联想函数. (3)由条件知,任給当时,由知 所以 若则前后矛盾; 若则前后矛盾.所以 （2013届四川省高考压轴卷数学理试题）函数的零点所在的区间
5、是（）ABCD 【答案】C （2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）若函数f(x)=,若f(a)f(-a),则实数a的取值范围是（）A(-1,0)(0,1)B(-,-1)(1,+) C(-1,0)(1,+)D(-,-1)(0,1)【答案】C 【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想,属于中等题. 由分段函数的表达式知,需要对a的正负进行分类讨论. （2013届江西省高考压轴卷数学理试题）设为定义在上的奇函数,当时, (为常数),则 （）A3B1C-1D【答案】D【解析】由为定义在上的奇函数可知, 于是,故选D （2013届福建省高考压轴卷数学理试题）设函数的定义域为
6、,值域为,若的最小值为,则实数a的值为（）AB或CD或【答案】D【解析】由题意,分或两种情况: (1)时,此时在上单调递减, 故 (2)时,此时在上单调递增,故 （2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）已知函数与互为反函数,且函数与函数也互为反函数,若则= 【答案】D 由,互换得, ,累加法: （2013届北京市高考压轴卷理科数学）设函数,若,则实数的取值范围是（）ABCD【答案】C 【解析】若,则由得,即,所以.若,则由得,所以.综上的取值范围是,即,选C （2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）已知函数,则（）A32B16CD【答案】C （2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）函数
7、的图象（）A关于原点对称B关于直线y=x对称 C关于x轴对称D关于y轴对称【答案】D【解析】 是偶函数,图像关于y轴对称. （2013届福建省高考压轴卷数学理试题）设函数,则下列结论中正确的是（）AB CD【答案】D【解析】由题意,即为偶函数. 故. 显然单调递增. 所以 （ 2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）若函数(0且)在()上既是奇函数又是增函数,则的图象是【答案】C【解析】是奇函数,所以,即,所以,即,又函数在定义域上单调性相同,由函数是增函数可知,所以函数,选C （2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）指数函数且在上是减函数,则函数在R上的单调性为（）A单调递增B单调递减
8、C在上递增,在上递减D在上递减,在上递增 【答案】B 【解析】由已知有,显然函数在上单调递减. 二、填空题（2013届山东省高考压轴卷理科数学）给定方程:,下列命题中:该方程没有小于0的实数解;该方程有无数个实数解;该方程在(,0)内有且只有一个实数解;若是该方程的实数解,则1.则正确命题是_.【答案】 【解析】由得,令=,=,在同一坐标系中画出两函数的图像如右,由图像知:错,、对,而由于=递增,小于1,且以直线为渐近线,=在-1到1之间振荡,故在区间(0,+)上,两者图像有无穷多个交点,所以对,故选填. （2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）若函数f(x)=(2x2-a2x-a)lgx的值
9、域为,则a=_【答案】1 【解析】显然h(x)= 2x2-a2x-a,g(x)= lgx正负号一致,且h(1)=g(1)=0,a=-2或1 经检验得a= 1 （2013届江苏省高考压轴卷数学试题）已知函数(),如果(),那么的值是_.【答案】 . （2013届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）定义域的奇函数,当时恒成立,若,则的大小关系为_.【答案】【解析】设,依题意得是偶函数,当时,即恒成立,故在单调递减,则在上递增,.又,故. （2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）已知为上的偶函数,对任意都有且当, 时,有成立,给出四个命题: 直线是函数的图像的一条对称轴 函数在上为增函数 函数在上有四
10、个零点其中所有正确命题的序号为_【答案】 【解析】令,得,即,所以正确.因为,所以,即,所以直线是函数的图像的一条对称轴,因为函数为偶函数,所以也是函数的图像的一条对称轴所以正确.由可知函数在区间上递增,又,所以函数的周期为6,所以函数在上递增,所以在上为减函数,所以错误.因为函数的周期为6,所以,故函数在上有四个零点,所以正确,所以正确的命题为 （2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）设函数,对任意,恒成立,则实数的取值范围是_.【答案】 （2013届江苏省高考压轴卷数学试题）已知函数,则的最小值等于_.【答案】 （2013届海南省高考压轴卷理科数学）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立,则
11、实数m的取值范围是_【答案】考点分析:本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题. 已知f(x)为增函数且m0 若m0,由复合函数的单调性可知f(mx)和mf(x)均为增函数,此时不符合题意. M1,解得m-1. （2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）若函数的定义域为,则的取值范围为_【答案】解析: 三、解答题（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）本题共3小题,第()小题6分,第()小题6分,第()小题2分. 某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻(时) 的关系为,其中是与气象有关的参数,且.()令,写出该函数
12、的单调区间,并选择其中一种情形进行证明;()若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数,并记作,求;()省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标?【答案】本题共3小题,第()小题6分,第()小题6分,第()小题2分. 解:(1)单调递增区间为;单调递减区间为. 证明:任取, ,所以. 所以函数在上为增函数.(同理可证在区间上减函数) (2)由函数的单调性知, ,即的取值范围是. 当时,记 则 在上单调递减,在上单调递增, 且. 故. (3)因为当且仅当时,. 故当时不超标,当时超标. （2013届江苏省高考压轴卷数学试题）如图所示,已知边长为米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中米,米.为了合理利用这块钢板,将在五边形内截取一个矩形块,使点在边上.()设米,米,将表示成的函数,求该函数的解析式及定义域;()求矩形面积的最大值.【答案】 12