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1、北京市西城区（北区）20122013学年下学期高二期末考试数学试卷（文科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知全集，集合，那么集合等于A. B. C. D. 2. 是虚数单位，若复数满足，则等于A. B. C. D. 3. 函数的图象在点（2，）处的切线方程是A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件 5. 设函数的导函数为，如果为偶函数，则一定有A. ，B. C. D. 6. 对
2、于，函数满足，若当时，则等于A. B. C. D. 7. 如果数列对任意满足，且，那么等于A. 1024B. 512C. 510D. 256 8. 已知函数，若同时满足条件：，为的一个极大值点；，。则实数的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 9. 已知命题，那么命题为_。 10. 数列满足，则_，_。 11. 设，则实数的大小关系是_。 12. 设数列的前项和为，且对于任意，都有成立，则_。 13. 已知函数的图象在和处的切线互相平行，则实数_。 14. 设函数，其中，且，给出下列三个结论：函数在区间（）内不存在零点；函数
3、在区间（）内存在唯一零点；，且，函数在区间内存在零点。其中所有正确结论的序号为_。三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本小题满分13分）设，集合，（I）当时，求集合；（II）若，求实数的取值范围。 16. （本小题满分13分）设等差数列的前项和为，且，数列满足，其中。（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和。 17. （本小题满分13分）已知函数，其中。（I）求证：函数为奇函数；（II）若，求函数的极值。18. （本小题满分13分） 某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年需各种费用4万元，从第二年开始包括维修费在
4、内，每年所需费用均比上一年增加2万元。 （I）写出该渔船前四年每年所需的费用（不含购买费用）； （II）假设该渔船在其年平均花费额（含购买费用）最低的时候报废，试求此渔船的使用年限？19. （本小题满分14分）设函数，且，其中，2，3，。（I）计算的值；（II）设，求证：数列为等比数列；（III）求证：。 20. （本小题满分14分）已知函数，。（I）求函数的解析式；（II）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；（III）设，且，求证：。【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1. B2. D3. D4. A5. C6. B7. A8. A二、填空题：本大题共6小题，
5、每小题5分，共30分 9. ，10. 1，311. 12. 13. 114. 注：第10题第一个空2分，第二个空3分；第14题少选得2分，多选和错选均不得分。三、解答题：本大题共6小题，共80分。（如有其他方法，仿此给分） 15. （本小题满分13分）（I）解：因为集合，（2分）集合，（4分）所以。（7分）（II）解：集合（），（9分）因为，所以（11分）解得。所以。（13分） 16. （本小题满分13分）（I）解：设等差数列的公差为，由，得，（2分）由，得，（4分）根据，解方程，得，（5分）所以。（6分）（II）解：由（I），得，所以。（8分）所以，则，由，得，（11分）所以，所以数列的前项
6、和。（13分） 17. （本小题满分13分）（I）解：函数的定义域为。（1分）因为，所以函数为奇函数，（5分）（II）解：因为，所以。（8分）令，解得。（9分）当变化时，与的变化情况如下表：（，1）1（1，0）（0，1）1（1，）00极大值极小值（11分）所以当时，有极大值，当时，有极小值。（13分） 18. （本小题满分13分）（I）解：设第年所需费用为（单位万元），则，（2分）（II）解：设该渔船使用了年，其总花费为万元，则，（5分）所以该渔船的年平均花费额为，（8分）因为，所以当，即时，年平均花费额W取得最小值23。（12分）答：此渔船的使用年限为10年。（13分） 19. （本小题满分
7、14分）（I）解：由题意，得，（1分）因为，所以，（3分）（II）证明：因为，所以。所以数列是首项，公比为的等比数列，（7分）（III）由（II），得，（8分）所以。（9分）因为，且当时，所以，即。（12分）因为，所以。综上，对于任意，都有。（14分） 20. （本小题满分14分）（I）解：因为，所以。（2分）令，得，所以。（4分）（II）解：设，则，（5分）令，解得。（6分）当变化时，与的变化情况如下表：（0，1）10极大值所以当时，。（9分）因为对于任意，都有成立，所以。（10分）（III）证明：由（II），得，即，令，得，令，得，（11分）所以因为，所以，即，所以，即，所以。（14分）9