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1、精选优质文档-倾情为你奉上北京市西城区（北区）20122013学年度第一学期高二年级期末考试数学（文科）试卷试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 在直角坐标系xOy中，原点到直线的距离为（ ）A. B. C. 5 D. 3 2. 若双曲线（b0）的离心率为2，则实数b等于（ ）A. 1 B. 2 C. D. 3 3. 已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是（ ）A. B. C. D. 4. 设函数的导函数为，则等于（ ）A. 2 B.
2、1 C. 0 D. 1 5. 设x，yR，则“x0且y0”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 6. 已知直线a和两个平面，给出下列两个命题：命题p：若a,a，则；命题q：若a, a,则。那么下列判断正确的是（ ）A. p为假 B. 为假 C. pq为真 D. pq为真 7. 函数的值域是（ ）A. 0，2B. 0，C. 1，2D. 1， 8. 已知矩形ABCD，AB=2，BC=x，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（ ）A. 当x=1时，存在某个位置，使得ABCDB. 当x=时，存在某个位置，使
3、得ABCDC. 当x=4时，存在某个位置，使得ABCDD. x0时，都不存在某个位置，使得ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。 9. 命题“xR，”的否定是 。 10. 设a，bR，若直线与直线垂直，则实数a= 。 11. 下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于 。 12. 过点（3，）且与圆相切的直线方程是 。 13. 设函数的导函数，则不等式的解集为 。 14. 设点F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，P为C上一点，若PF1F2的面积为6，则= 。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.
4、（本小题满分13分）设函数的导函数为，且。（）求函数的图象在x=0处的切线方程；来源:Z.xx.k.Com（）求函数的极值。 16. （本小题满分13分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACCC1，M为AB的中点。（）求证：BC1平面MA1C；（）求证：AC1平面A1BC。 17. （本小题满分13分）已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为。（）求椭圆C的方程；（）设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且，求直线l的方程。 18. （本小题满分13分）设函数，其中，且a0.（）当a=2时，求函数在区间1，e上的最小值；（）求函数的单调区间。
5、19. （本小题满分14分）如图，在三棱锥PABC中，底面ABC为等边三角形，APC90，PBAC2PA4，O为AC的中点。（）求证：BOPA；（）判断在线段AC上是否存在点Q（与点O不重合），使得PQB为直角三角形？若存在，试找出一个点Q，并求的值；若不存在，说明理由。 20. （本小题满分14分）已知动圆P（圆心为点P）过定点A（1，0），且与直线相切。记动点P的轨迹为C。（）求轨迹C的方程；（）设过点P的直线l与曲线C相切，且与直线相交于点Q。试研究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，
6、每小题5分，共40分。 1. B 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D 7. D 8. C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 9. 10. 3 11. 12. 13. 14. 9三、解答题：本大题共6小题，共80分。（如有其他方法，仿此给分） 15. （本小题满分13分）解：（）因为， 1分所以由，得a=3， 3分则。所以， 4分来源:Z_xx_k.Com所以函数的图象在x=0处的切线方程为。 6分（）令，得x=3或x=1。 7分当x变化时，与的变化情况如下表：x（，3）3（3，1）1（1，+）+00+275 11分即函数在（，3）上单调递增，在（3，1）上单调递减
7、，在（1，+）上单调递增。所以当x=3时，有极大值27；当x=1时，有极小值5。 13分 16. （本小题满分13分）证明：（）如图，设AC1A1C=O，连结MO，因为直三棱柱ABCA1B1C1，所以四边形AA1C1C为矩形，所以AO=OC1,在AC1B中，因为AO=OC1，AM=MB，所以MOBC1. 3分又因为平面MA1C，MO平面MA1C，所以平面MA1C。 6分（）在矩形AA1C1C中，因为AC=CC1，所以AC1A1C。 8分因为直三棱柱ABCA1B1C1，所以CC1BC，又因为ACBC，ACCC1=C，所以BC平面ACC1A1， 10分所以BCAC1。 11分又因为BCA1C=C，
8、AC1A1C，所以AC1平面A1BC。 13分 17. （本小题满分13分）解：（）设椭圆C的长半轴长为a（a0），短半轴长为b（b0），则2b=4，。 2分解得a=4，b=2。 3分因为椭圆C的对称轴为坐标轴，所以椭圆C的方程为标准方程，且为。 5分（）设直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）, 6分由方程组，消去y，得， 7分由题意，得， 8分且， 9分因为 ， 11分所以，解得m=2,验证知0成立，所以直线l的方程为。 13分 18. （本小题满分13分）解：（）由题意。 1分令。 2分来源:Zxxk.Com当x变化时，的变化情况如下表：x1（1，2）2（2，e）e+01极大
9、值2e即函数在（1，2）上单调递增，在（2，e）上单调递减。 4分因为，所以当x=1时，在区间1，e上有最小值1。 5分（）函数的定义域为（0，+）。 6分求导，得。 7分当a0时，由x0，得。所以在区间（0，+）上单调递减； 9分当a0时，令0，得x=a。 10分当x变化时，与的变化情况如下表：x（0，a）a（a，+）+0极大值即函数在（0，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减。综上，当a0时，函数区间（0，+）上单调递减；当a0时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+）上单调递减。 13分 19. （本小题满分14分）（）证明：如图，连结PO，在等边ABC中，因为O是AC的中点，且AC
10、=4，所以BOAC，BO=。在直角PAC中，因为O是斜边AC的中点，且AC=4，所以PO=2，在PBO中，由PB=4，得PB2=PO2+BO2，来源:学_科_网Z_X_X_K所以BOPO。 3分来源:学科网又因为ACPO=O，AC平面PAC，PO平面PAC，所以BO平面PAC， 5分又因为PA平面PAC，所以BOPA。 7分（）答：线段AC上存在点Q，使得PQB为直角三角形。具体过程如下：如图，过P作PMAC于点M，连结BM，因为BO平面PAC，所以BOPM。又因为BOAC=O，BO平面ABC，AC平面ABC，所以PM平面ABC， 10分所以PMBM，即PMB为直角三角形。故当点Q与点M重合时
11、，PQB为直角三角形。 12分在直角PAC中，由APC=90，AC=2PA=4，得AM=1，（即AQ=1），MC=3（即QC=3），所以当时，PQB为直角三角形。 14分 20. （本小题满分14分）解：（）因为动圆P过定点A（1，0），且与直线x=1相切，所以圆心P到点A（1，0）的距离与到直线x=1的距离相等。根据抛物线定义，知动点P的轨迹为抛物线，且方程为C：。 4分（）设直线l的方程为，（易知斜率不存在的直线不符合要求）由，消去y得，由题意，得k0，且，化简得km=1。 6分设直线l与曲线C相切的切点P（x0，y0），则所以，由。 8分若取k=1，m=1，此时P（1，2），Q（1，0），以PQ为直径的圆为，交x轴于点M1（1，0），M2（1，0）；若取，此时以PQ为直径的圆为，交x轴于点M3（1，0），M4。所以若符合条件的点M存在，则点M的坐标必为（1，0）。（即为点A） 10分以下证明M（1，0）就是满足条件的点。因为M的坐标为（1，0），所以， 11分从而，故恒有,即在x轴上存在定点M（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过点M。 14分专心-专注-专业