【步步高】2014届高三数学一轮 9.5 椭圆课时检测 理 (含解析)北师大版.doc

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1、9.5 椭圆一、选择题1椭圆1的离心率为()A. B.C. D.解析 a216,b28,c28.e.答案 D2中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析依题意知:2a18,a9,2c2a,c3,b2a2c281972,椭圆方程为1.答案A3椭圆x24y21的离心率为()A. B. C. D.解析先将x24y21化为标准方程1,则a1,b,c.离心率e.答案A4设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1PF2,则点P的横坐标为()A1 B. C2 D.解析由题意知,点P即为圆x2

2、y23与椭圆y21在第一象限的交点,解方程组得点P的横坐标为.答案D5. 椭圆的中心为点,它的一个焦点为,相应于焦点的准线方程为,则这个椭圆的方程是()A BC D答案D6若P是以F1,F2为焦点的椭圆1(ab0)上的一点,且0,tanPF1F2,则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析在RtPF1F2中,设|PF2|1,则|PF2|2.|F1F2|,e.答案A7椭圆1(ab0)的两顶点为A(a,0),B(0,b),且左焦点为F,FAB是以角B为直角的直角三角形,则椭圆的离心率e为()A. B.C. D.解析 根据已知a2b2a2(ac)2,即c2aca20,即e2e10,解得e,故所

3、求的椭圆的离心率为.答案B二、填空题8设F1、F2分别是椭圆1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|3,则P点到椭圆左焦点的距离为_解析 由题意知|OM|PF2|3,|PF2|6.|PF1|2564.答案 49以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点,顺次连接这四个点和两个焦点,恰好得到一个正六边形,那么椭圆的离心率等于_解析 如图所示,设A,B是椭圆的两个焦点,P是圆与椭圆的一个交点,则由正六边形的性质,PAB是一个直角三角形,且BAP30,所以APABcos30c,BPc,根据椭圆定义APBP2a,故cc2a,所以e1.答案 110若椭圆1的焦点在x轴上,过

4、点作圆x2y21的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是_解析由题可设斜率存在的切线的方程为yk(x1)(k为切线的斜率),即2kx2y2k10,由1,解得k,所以圆x2y21的一条切线方程为3x4y50,求得切点A,易知另一切点B(1,0),则直线AB的方程为y2x2.令y0得右焦点为(1,0),令x0得上顶点为(0,2)a2b2c25,故得所求椭圆方程为1.答案111已知F1(c,0),F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点,P为椭圆上一点且c2,则此椭圆离心率的取值范围是_解析设P(x,y),则(cx,y)(cx,y)x2c2y2c2将y2b2x2

5、代入式解得x2,又x20,a2,2c2a23c2,e.答案12. 椭圆=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的_倍解析 不妨设F1(3,0),F2(3,0)由条件得P(3,),即|PF2|=,|PF1|=,因此|PF1|=7|PF2|.答案 7三、解答题13设F1,F2分别是椭圆y21的左、右焦点(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点,且,求点P的坐标;(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,且AOB为锐角(其中O为原点),求直线l斜率k的取值范围解析 (1)由题意知a2,b1,c,所以F1(,0),F2(,0)设P(

6、x,y)(x0,y0),(x,y),(x,y)由,得x2y23.联立解得点P(1,)(2)可设l的方程为ykx2,A(x1,y1),B(x2,y2)将ykx2代入椭圆方程,得(14k2) x216kx120.由(16k)24(14k2)120,得k2.又y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4,AOB为锐角,所以0,即x1x2y1y20.即(1k2)x1x22k(x1x2)42k()40.所以k24.由可知k24,故k的取值范围是(2,)(,2)14如图,设P是圆x2y225上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M

7、的轨迹C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度解析(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),由已知得P在圆上,x2225,即C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3),设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y(x3)代入C的方程,得1,即x23x80.x1,x2.线段AB的长度为|AB| .15设A,B分别为椭圆1(ab0)的左,右顶点,为椭圆上一点,椭圆长半轴的长等于焦距(1)求椭圆的方程;(2)设P(4,x)(x0),若直线AP,BP分别与椭圆相交异于A,B的点M,N,求证:MBN为钝角解析 (1)依题意

8、,得a2c,b2a2c23c2,设椭圆方程为1,将代入,得c21,故椭圆方程为1.(2)证明由(1),知A(2,0),B(2,0),设M(x0,y0),则2x02,y(4x),由P,A,M三点共线,得x,(x02,y0),2x04(2x0)0,即MBP为锐角,则MBN为钝角16已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,且经过点M.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,满足2?若存在,求出直线l1的方程;若不存在,请说明理由解析(1)设椭圆C的方程为1(ab0),由题意得解得a24,b23.故椭圆C的方程为1.(2)假设存在直线l1且

9、由题意得斜率存在,设满足条件的方程为yk1(x2)1,代入椭圆C的方程得,(34k)x28k1(2k11)x16k16k180.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A,B,设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),所以8k1(2k11)24(34k)(16k16k18)32(6k13)0,所以k1.又x1x2,x1x2,因为2,即(x12)(x22)(y11)(y21),所以(x12)(x22)(1k)|PM|2.即x1x22(x1x2)4(1k).所以(1k),解得k1.因为k1,所以k1.于是存在直线l1满足条件,其方程为yx.【点评】 解决解析几何中的探索性问题的一般步骤为:,第一步:假设结论成立.,第二步:以存在为条件,进行推理求解.,第三步:明确规范结论,若能推出合理结果,经验证成立即可肯定正确.若推出矛盾,即否定假设.,第四步:回顾检验本题若忽略0这一隐含条件,结果会造成两解.8

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