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1、2015-2016学年湖南省永州市宁远一中高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分）1下列语句不是命题的是( )A祁阳一中是一所一流名校B如果这道题做不到，那么这次考试成绩不理想CxR，使得lnx00D画一个椭圆2已知xR，则“x23x0”是“x40”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3设表示平面，a，b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：a，abb；ab，ab；a，abb；a，bab其中正确的是( )ABCD4椭圆的焦距为( )A10B5CD5双曲线=1的离心率为( )ABCD26若点P到直线y=2的距离比它到点A（0，1）的距离大1
2、，则点P的轨迹为( )A圆B椭圆C双曲线D抛物线7抛物线x2=的焦点到准线的距离是( )A2B1CD8已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的离心率是( )ABCD9已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是( )Ax+2y+8=0Bx+2y8=0Cx2y8=0Dx2y+8=010直线y=kx+1，当k变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是( )A4B2CD不能确定11设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为( )ABCD12已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且
3、垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )ABCD二、填空题（每小题5分）13把命题“x0R，x022x0+10”的否定写在横线上_14已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的渐近线方程为_15已知椭圆+y2=1上任意一点P及点A（0，2），则|PA|的最大值为_16已知双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数，若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于_三、解答题（本大题共70分，17题8分，18-20题12分，21-22题13分）17写出下列命题p的非p形式（否定）（
4、1）p：100既能被4整除又能被5整除（2）p：三条直线两两相交（3）p：一元二次方程至多有两个解（4）p：2x318如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（）A1C平面BDE；（）平面A1AC平面BDE19给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立；Q：a2+8a200如果PQ为真命题，PQ为假命题，求实数a的取值范围20分别求适合下列条件的标准方程：（1）实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为y=x的双曲线的标准方程21（13分）（1）求直线y=x+1被双曲线截得的弦长；（2）求过定点（0，1）的直线被双
5、曲线截得的弦中点轨迹方程22（13分）曲线C1上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（，0），F2（，0）抛物线C2的焦点是直线y=x1与x轴的交点，顶点为原点O（1）求C1，C2的标准方程；（2）请问是否存在直线l满足条件：过C2的焦点F；与C1交于不同两点M，N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由2015-2016学年湖南省永州市宁远一中高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分）1下列语句不是命题的是( )A祁阳一中是一所一流名校B如果这道题做不到，那么这次考试成绩不理想CxR，使得lnx00D画一个椭圆【考点】四种命题；命题的真假判断与应
6、用 【专题】综合法；简易逻辑【分析】利用命题的定义即可判断出【解答】解：ABC都是可以判断真假的陈述句，因此是命题而D不是一个陈述句，因而不是命题故选：D【点评】本题考查了对于命题的定义的理解，考查了推理能力，属于基础题2已知xR，则“x23x0”是“x40”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】先解出不等式x23x0，再判断命题的关系【解答】解：解x23x0得，x0，或x3；x0，或x3得不出x40，“x23x0”不是“x40”充分条件；但x40能得出x3，“x23x0”是“x40”必要条件
7、故“x23x0”是“x40”的必要不充分条件故选：B【点评】能正确理解x0，或x3与x4的关系，并理解充分条件与必要条件的概念3设表示平面，a，b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：a，abb；ab，ab；a，abb；a，bab其中正确的是( )ABCD【考点】命题的真假判断与应用 【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】对于与，可以利用长方体中的线（棱）与面（表面、或对角面）间的关系进行判断；对于与，根据线面垂直的性质定理判断【解答】解：如图在长方体ABCDA1B1C1D1中，令直线A1B1=a，B1C1=b，底面ABCD=，显然a，ab，但b，故假命题；类似的令AA1=a，AD=b，
8、底面ABCD=，显然满足a，ab，但b，故假命题；对于，根据两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这样平面；以及垂直于同一个平面的两条直线互相平行知都是真命题故选B【点评】以命题的真假判断为载体考查空间线与面的位置关系是高考中的常考题型，要结合图形熟练掌握这些定理、推论等，有时候要借助于特殊的几何体辅助判断4椭圆的焦距为( )A10B5CD【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据椭圆标准方程得a2=16，b2=9再根据椭圆基本量的关系得c=，由此即可得到该椭圆的焦距【解答】解：椭圆方程为a2=16，b2=9，得c=由此，可得椭圆的焦距等于2c=
9、2故选：D【点评】本题给出椭圆的方程，求椭圆的焦距，着重考查了椭圆的标准方程和椭圆基本量的关系等知识，属于基础题5双曲线=1的离心率为( )ABCD2【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线的标准方程可以求得a和 c，从而求得离心率e=的值【解答】解：由双曲线=1可得a=2，b=，c=3，e=，故选：C【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及简单性质的应用，求出c=3，是解题的关键6若点P到直线y=2的距离比它到点A（0，1）的距离大1，则点P的轨迹为( )A圆B椭圆C双曲线D抛物线【考点】轨迹方程 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分
10、析】由题意得，点P到直线y=1的距离和它到点（0，1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线【解答】解：点P到直线y=2的距离比它到点A（0，1）的距离大1，点P到直线y=1的距离和它到点（0，1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，故选：D【点评】本题考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，判断点P的轨迹是以点（0，1）为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，是解题的关键7抛物线x2=的焦点到准线的距离是( )A2B1CD【考点】抛物线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线x2=的方程可知：，解得p即
11、可得出此抛物线的焦点到准线的距离d=p【解答】解：抛物线x2=的方程可知：，解得p=此抛物线的焦点到准线的距离d=故选：D【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，属于基础题8已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的离心率是( )ABCD【考点】椭圆的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，由椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合得到椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且求得半焦距c，然后利用a2=b2+c2求出椭圆的半长轴，则离心率可求【解答】解：由抛物线y2=8x，得2p=8，其焦点坐标为F（2，0）因为椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，
12、所以椭圆的右焦点为F（2，0）则椭圆是焦点在x轴上的椭圆，由a2=b2+c2=2+22=6，得所以椭圆的离心率为故选D【点评】本题考查了椭圆的简单性质，涉及圆锥曲线离心率的求解问题，一定要找到关于a，c的关系，隐含条件a2=b2+c2的应用是解答该题的关键，此题是基础题9已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是( )Ax+2y+8=0Bx+2y8=0Cx2y8=0Dx2y+8=0【考点】直线与圆锥曲线的关系 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l的斜率再由由点斜式可得l的方程【解答】
13、解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，将P1、P2两点坐标代入椭圆方程+=1，+=1相减得直线l斜率：k=由点斜式可得l的方程为x+2y8=0故选：B【点评】本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”又叫平方差法10直线y=kx+1，当k变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是( )A4B2CD不能确定【考点】直线与圆锥曲线的关系 【分析】直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cos，sin），利用三角函数即可得
14、到结论【解答】解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cos，sin）|PQ|2=（2cos）2+（sin1）2=3sin22sin+5当sin=时，故选C【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角函数知识，解题的关键是将问题转化为点P与椭圆上任意一点Q的距离的最大值11设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且PF1F2的最小内角为30，则C的离心率为( )ABCD【考点】双曲线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的
15、定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出【解答】解：不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a则PF1F2是PF1F2的最小内角为30，（2a）2=（4a）2+（2c）2，化为=0，解得故选C【点评】熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键12已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )ABCD【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；
16、压轴题【分析】先求出A，B两点的纵坐标，由ABF2是锐角三角形知，tanAF2F1=1，e22e10，解不等式求出e 的范围【解答】解：在双曲线中，令x=c 得，y=，A，B两点的纵坐标分别为 由ABF2是锐角三角形知，AF2F1，tanAF2F1=tan=1，1，c22aca20，e22e10，1e1+又 e1，1e1+，故选D【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断AF2F1，tanAF2F1=1，是解题的关键二、填空题（每小题5分）13把命题“x0R，x022x0+10”的否定写在横线上xR，x22x+10【考点】命题的否定 【专题】简易逻辑【分析】利用特称命题
17、的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：特称命题的否定是全称命题命题“x0R，x022x0+10”的否定是：xR，x22x+10故答案为：xR，x22x+10【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，考查基本知识的应用14已知双曲线=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的渐近线方程为【考点】双曲线的简单性质 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线=1的右焦点为（3，0），求出双曲线方程为，由此能求出双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线=1的右焦点为（3，0），4+b=9，解得b=5，双曲线方程为，双曲线的渐近线方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，
18、是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的灵活运用15已知椭圆+y2=1上任意一点P及点A（0，2），则|PA|的最大值为【考点】椭圆的简单性质 【专题】函数思想；参数法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设椭圆+y2=1上一点P的坐标为（2cos，sin），（02），运用两点的距离公式，结合同角的平方关系和二次函数的最值的求法，即可得到所求最大值【解答】解：设椭圆+y2=1上一点P的坐标为（2cos，sin），（02），即有|PA|=，当sin=时，|PA|取得最大值，且为故答案为：【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，考查三角函数的恒等变换以及二次函数的最值的求法，属于中档题16已知
19、双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数，若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于3【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求出椭圆的焦点和离心率，由题意可得双曲线的c=2，a=1，再由双曲线的定义可得|PF1|=2+4=6，结合中位线定理，即可得到OM的长【解答】解：椭圆+=1的焦点为（2，0），（2，0），离心率为=，由椭圆和双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的离心率为2，由于双曲线的c=2，则双曲线的a=1，由双曲线的定义可得，|PF1|PF2|=2a=2，又|PF2|=4，则
20、|PF1|=2+4=6，由M为PF2的中点，O为F1F2的中点，则|OM|=|PF1|=3故答案为：3【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的运用，运用双曲线的定义和中位线定理是解题的关键三、解答题（本大题共70分，17题8分，18-20题12分，21-22题13分）17写出下列命题p的非p形式（否定）（1）p：100既能被4整除又能被5整除（2）p：三条直线两两相交（3）p：一元二次方程至多有两个解（4）p：2x3【考点】命题的否定 【专题】计算题；规律型；简易逻辑【分析】直接利用命题的否定的定义写出结果即可【解答】解：（1）p：100既能被4整除又能被5整除的否定为：100不
21、能被4整除或不能被5整除（2）p：三条直线两两相交的否定为：三条直线两两不都相交（3）p：一元二次方程至多有两个解的否定为：一元二次方程至少有3个解（4）p：2x3的否定为：x3或x2【点评】本题考查命题的否定，基本知识的考查18如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（）A1C平面BDE；（）平面A1AC平面BDE【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【专题】证明题【分析】（）连接AC交BD于O，连接EO，A1AC中利用中位线，得EOA1C再结合线面平行的判定定理，可得A1C平面BDE；（II）根据正方体的侧棱垂直于底面，结合线面垂直的定义，得到AA1
22、BD再结合正方形的对角线互相垂直，得到ACBD，从而得到BD平面A1AC，最后利用面面垂直的判定定理，可以证出平面A1AC平面BDE【解答】证明：（）连接AC交BD于O，连接EO，E为AA1的中点，O为AC的中点EO为A1AC的中位线EOA1C又EO平面BDE，A1C平面BDEA1C平面BDE；（）AA1平面ABCD，BD平面ABCDAA1BD又四边形ABCD是正方形ACBD，AA1AC=A，AA1、AC平面A1ACBD平面A1AC又BD平面BDE平面A1AC平面BDE【点评】本题以正方体为例，要求我们证明线面平行和面面垂直，着重考查了空间直线与平面的位置关系和平面与平面位置关系等知识点，属于
23、基础题19给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+10恒成立；Q：a2+8a200如果PQ为真命题，PQ为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假 【专题】计算题【分析】由ax2+ax+10恒成立可得，可求P的范围；由a2+8a200解不等式可求Q的范围，然后由PQ为真命题，PQ为假命题，可知P，Q为一真一假，可求【解答】（本小题满分12分）解：命题P：ax2+ax+10恒成立当a=0时，不等式恒成立，满足题意当a0时，解得0a40a4命题Q：a2+8a200解得10a2PQ为真命题，PQ为假命题P，Q有且只有一个为真，如图可得10a0或2a4【点评】本题主要考查了复合命题的真
24、假关系的判断，解题的关键是准确求出每个命题为真时的范围20分别求适合下列条件的标准方程：（1）实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为y=x的双曲线的标准方程【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程 【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设椭圆的标准方程为，（ab0），由已知，2a=12，e=，由此能求出椭圆的标准方程（2）当双曲线焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1，（a0，b0）由题意，得，由此能求出焦点在x轴上的双曲线的方程；同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程【解答】解：（1）椭圆实轴长为12，离心率为，焦点
25、在x轴上，设椭圆的标准方程为，（ab0），由已知，2a=12，e=，a=6，c=4，b2=a2c2=20，椭圆的标准方程为=1（2）双曲线顶点间的距离为6，渐近线方程为y=x，当双曲线焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1，（a0，b0）由题意，得，解得a=3，b=1焦点在x轴上的双曲线的方程为当焦点在y轴上，设双曲线方程为，（a0，b0）由题意得，解得a=3，b=9，焦点在y轴上的双曲线的方程为综上，所求双曲线方程为=1或【点评】本题考查椭圆方程和双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆、双曲线的简单性质的合理运用21（13分）（1）求直线y=x+1被双曲线截得的弦长；（2）
26、求过定点（0，1）的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）直线y=x+1代入双曲线方程，利用韦达定理，即可求弦长；（2）方法一：设直线的方程代入双曲线方程，利用韦达定理，可得关于k的表达式，消参，即可得到弦中点轨迹方程；方法二：设弦的两个端点坐标，代入双曲线方程，利用点差法，即可求得结论【解答】解：（1）由得4x2（x+1）24=0，即3x22x5=0（*）设方程（*）的解为x1，x2，则有得，（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y=kx+1，它被双曲线截得的弦为AB对应的
27、中点为P（x，y），由得（4k2）x22kx5=0（*）设方程（*）的解为x1，x2，则=4k2+20（4k2）0，且，即，消去k得4x2y2+y=0（y4或y0）方法二：设弦的两个端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），弦中点为P（x，y），则，两式相减得：4（x1+x2）（x1x2）=（y1+y2）（y1y2），即，即4x2y2+y=0（y4或y0）【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题22（13分）曲线C1上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（，0），F2（，0）抛物线C2的焦点是直线y=x1与x轴的交点，顶点为原点
28、O（1）求C1，C2的标准方程；（2）请问是否存在直线l满足条件：过C2的焦点F；与C1交于不同两点M，N，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系 【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由已知得曲线C1是以F1（，0），F2（，0）为焦点，以4为实轴的椭圆，抛物线C2的焦点是F（1，0），顶点为原点O由此能求出求C1，C2的标准方程（2）设直线l的方程为y=k（x1），由，得（4k2+1）x28k2x+4k24=0，由此利用韦达定理结合向量垂直数量积为0的性质能求出直线l的方程【解答】解：（1）曲线C1上任意一点M满
29、足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（，0），F2（，0），曲线C1是以F1（，0），F2（，0）为焦点，以4为实轴的椭圆，a=2，c=，b2=43=1，曲线C1的方程为抛物线C2的焦点是直线y=x1与x轴的交点，顶点为原点O，抛物线C2的焦点是F（1，0）抛物线C2的标准方程为：y2=4x（2）假设存在存在直线直线l满足条件：过C2的焦点F；与C1交于不同两点M，N，且满足，当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，不满足条件；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x1），由，得（4k2+1）x28k2x+4k24=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，=k2x1x2（x1+x2）+1，=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2k2（x1+x2）+k2=+k2=0，解得k=2或k=2，直线l满足条件，且l的方程为y=2x2或y=2x+2（13分）【点评】本题考查椭圆、抛物线的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意圆锥曲线的性质和韦达定理、向量垂直的性质的合理运用- 17 -