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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2.4 函数图象与变换函数图象与变换图象是研究函数的工具,是数形结合的载体,“数形结合千般好,数形分离万事休”,新课标和高考提高了对作图和用图能力的要求一、明确复习目标1、理解函数图象的意义，掌握两种画图方法描点法和图象变换法；2、会利用函数图象，进一步研究函数的性质、方程、不等式中的问题；3、理解图象变换与函数式变换之间的关系，领会知识间的联系。二建构知识网络1、函数 y=f(x)的图象是由坐标为(x,f(x)的点构成的;要证明点(a,b)在函数 y=f(x)的图象上,只须证明 b=f(a);2、画图象的方法描点法和图象变换法要
2、掌握这两种方法；由函数解析式，用描点法作图象应化简解析式;分析函数的性质如：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等，选算对应值，列表描点；3、要理解图象变换与函数式的变换之间的关系，常见的图象变换有：平移、伸缩、对称、旋转等(1)平移变换函数 y=f(x+a)(a0)的图象把函数 y=f(x)的图象向左(a0)或向右(a0)平移|a|；函数y=f(x)+b(b0)的图象把函数y=f(x)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|函数 y=f(x+a)+b(b0)的图象呢？函数 y=f(x)的图象按向量a=(h,k)平移后得函数 y=f(x-h)+k(2)伸缩变换函数 y=Af(x)(A0，A1)
3、的图象把函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)成原来的 A 倍；函数 y=f(x)(0，1)的图象把函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长（01）为原来的 1/；说出 y=Asin(x+)与 y=sinx 之间的关系(3)对称变换函数 y=f(-x)的图象与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称（即把（x,y）换成（-x,y）；函数 y=-f(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称；(即把（x,y）换成（x,-y）函数 y=-f(-x)的图象与 y=f(x)的图象关于原点对称(即把（x,y）换成（-x,-y）；函数 y=f-1(x)的图象与 y=f(x)
4、的图象关于直线 y=x 对称；函数 y=f(|x|)的图象把 y=f(x)在 y 轴右方的图象换成 y 轴左边的对称图形即可；函数 y=|f(x)|的图象把 y=f(x)的图象在 x 轴下方的翻折到 x 轴上方而得到4、奇偶函数图象的对称性，互为反函数的图象的对称关系；5、若 f(x)满足 f(a+x)=f(bx)则 f(x)的图象以2abx为对称轴;特例：若 f(a+x)=f(ax)则 f(x)的图象关于 x=a 对称。6、若 f(x)满足 f(a+x)=-f(bx)则 f(x)的图象以(,0)2ab为对称中心;特例：若f(a+x)=-f(ax)则 f(x)的图象以点（a,0）为对称中心。7
5、、若 f(x)满足 f(a+x)+f(b-x)=c 则 f(x)的图象关于点(,)22ab c中心对称。证明：设 P（x,y）是图象上任一点，则 y=f(x)；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网由中点公式得 P 关于点(,)22ab c对称的点为 Q(a+b-x,c-y).设 t=b-x 即 x=b-t 代入 f(a+x)+f(b-x)=c 得f(t)=c-f(a+b-t)即 f(a+b-x)=c-f(x)=c-y,即 Q 在图象上。所以 f(x)的图象象关于点(,)22ab c中心对称。特例：若 f(a+x)+f(ax)=2c 则 f(x)的图象以点（a,c）为
6、对称中心.8、函数 y=f(a+x)与 y=f(x-b)的图象关于直线2bax对称。证明：略特例：函数 y=f(a+x)与 y=f(a-x)的图象关于直线 x=0 对称。三、双基题目练练手1、若把函数 y=f(x)的图像作平移，可以使图像上的点 P(1，0)变换成点 Q(2，2)，则函数 y=f(x)的图像经此变换后所得图像对应的函数为()A.y=f(x-1)+2B.y=f(x-1)-2C.y=f(x+1)+2D.y=f(x+1)-22、(2006(2006 广东广东 7)7)函数 y=f(x)的反函数 y=f-1(x)的图象与 y 轴交于点 P(0,2)(如图所示)，则方程 f(x)=0 的
7、根是x=()A.4B.3C.2D.13、设函数 y=f(x)的定义域为，则函数 y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关系为()、直线 y=0 对称、直线 x=0 对称、直线 y=1 对称、直线 x=1 对称4、函数)32(xf的图象，可由)32(xf的图象经过下述变换得到（）A向左平移 6 个单位B向右平移 6 个单位C向左平移 3 个单位D向右平移 3 个单位5、方程log(2)axx（a0 且 a1）实数解的个数是6、方程 f(x,y)=0 的曲线过点（2，4），则方程 f(2x,y)=0 的曲线必过点7.已知函数f(x)=x2+2x+1,若存在实数t,当x1,m时,f(x+t)x 恒
8、成立,则实数m的最大值为_简答:1-4、ACDD；5、1；6、（0，4）2、f-1(x)交 y 轴于点(0,2),则 f(x)交 x 轴于点(2,0),4、由3332()2()2(3)222fxfxfx 与可知（或由换元法，6、即把(x,y)换成(2-x,y)；图象关于 x=1 对称；或 2-x=2,y=0。7、f(x+t)即把f(x)左右平移,只能向右平移,最多移到f(1+t)=1时m最大.算得mmax=4.法二:只须(1)1()ftf mtm有解.四、经典例题做一做http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网【例 1】图是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图
9、象.-2010 A BOx(人)(元)(元)(元)Ox(人)yyy-10-20A B5 10 20Ox(人)-205 10 20 （1）试说明图上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义.（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？（3）图、图中的票价是多少元？图中的票价是多少元？票价在图中的几何意义是什么?解：（1）点 A 表示无人乘车时收入差额为20 元，点 B 表示有 10 人乘车时收入差额为0 元，线段 AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利.（2）图的建议是降低成本，票价不变，图的建议是增加票价.
10、（3）图中的票价是 2 元.图中的票价是 4 元.票价在图中的几何意义是直线的斜率.知识.感悟：图象的意义和函数式中系数（斜率、截距）的实际意义。【例 2】（1）若方程mxx12有两个不同的实数根，求实数 m 的范围。（2）求不等式1212xx的解；解：（1）方程的根就是函数yxm和212121,()2yxyxx 即的图象交点的横坐标，当yxm在如图两直线之间时有两交点。由222()212(1)10 xmxxmxm 得由224(1)4(1)01mmm 得121 m（2）解方程1212xx得1322x 或，结合图形知，不等式的解集为1 3,2 2点评：利用函数图象的交点研究方程的根、不等式的解；
11、这是数形结合的典范，要能熟练运用。【例 3】已知函数)10()(aaaaaxfx且（1）证明函数 y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称（2）求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值_ O_ y_ x_-_ 1_2http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网证明（1）设(,)P x y是()f x图象上任一点，则xayaa又 P 关于点（1/2,1/2）对称点为 Q（1-x,1-y）1(1)xxxxxaa aafxaaaa aaa11(1)xxxaayfxaaaa 所以，函数 y=f(x)的图象关于点（1/2,1/2）对称；（2）由对称
12、性知 f(1-x)+f(x)=1,所以f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=3。归纳方法：（1）会求对称点的坐标;：证对称性就是证图象上任一点（x,y）关于“xx“对称的点仍在图象上；（2）注意解析式的变换运用和既得结论的应用。【例 4】(88 年全国)给定实数 a，a0 且 a1，设函数 yxax11(其中 xR 且 x1a)，证明：.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴；.这个函数的图像关于直线 yx 成轴对称图像。【证明】设111222(,),(,)M x yMxy是函数图像上任意两个不同的点，则12xx,假设直线12M M平行于 x 轴，则必
13、有12yy，即xax1111xax2211，整理得1212()a xxxx12xx a1，这与已知“a1”矛盾，因此假设不对，即直线12M M不平行于 x 轴。由 yxax11得 axyyx1,即(ay1)xy1,所以 xyay11，即原函数 yxax11的反函数为 yxax11，图像一致。由互为反函数的两个图像关于直线 yx 对称可以得到，函数 yxax11的图像关于直线 yx 成轴对称图像。评注.提炼http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网对于“不平行”这样否定性结论可使用反证法，假设“平行”，经推理，导出矛盾。第问中，对称问题运用了反函数图象的对称性，方法巧妙，体
14、现了知识间的联系和解题思路的灵活性。【研究.欣赏】(2006 春上海)设函数54)(2xxxf.（1）在区间6,2上画出函数)(xf的图像；（2）设集合),64,02,(,5)(BxfxA.试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；（3）当2k时，求证：在区间5,1上，3ykxk的图像位于函数)(xf图像的上方.解:（1）（2）方 程5)(xf的 解 分 别 是4,0,142 和142，由于)(xf在1,(和5,2上单调递减，在2,1和),5上单调递增，因此,1424,0142,A.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网由于AB,2142,6142（3）解法一 当5,1
15、x时，54)(2xxxf.)54()3()(2xxxkxg)53()4(2kxkx436202422kkkx,2k124 k.又51x，当1241k，即62 k时，取24kx，min)(xg6410414362022kkk.064)10(,64)10(1622kk，则0)(minxg.当124 k，即6k时，取1x，min)(xg02 k.由、可知，当2k时，0)(xg，5,1x.因此，在区间5,1上，)3(xky的图像位于函数)(xf图像的上方.解法二 当5,1x时，54)(2xxxf.由,54),3(2xxyxky得0)53()4(2kxkx，令0)53(4)4(2kk，解得2k或18k，
16、在区间5,1上，当2k时，)3(2xy的图像与函数)(xf的图像只交于一点)8,1(；当18k时，)3(18xy的图像与函数)(xf的图像没有交点.如图可知，由于直线)3(xky过点)0,3(，当2k时，直线)3(xky是由直线)3(2xy绕点)0,3(逆时针方向旋转得到.因此，在区间5,1上，)3(xky的图像位于函数)(xf图像的上方.五提炼总结以为师1、函数图象的意义两种画图方法2、理解图象变换与函数式变换之间的关系平移变换、伸缩变换、对称变换、对称轴、对称中心和函数式表示3、利用函数的图象讨论函数的性质、方程的根和不等式的解；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜
17、题网例题简答：同步练习2.4 函数图象与变换函数图象与变换【选择题】1、(2006 陕西 4)设函数 f(x)=loga(x+b)(a0,a1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则 a+b 等于()A6B5C4D 32、（2005 福建）函数bxaxf)(的图象如图，其中 a、b 为常数，则下列结论正确的是（）A0,1baB0,1baC0,10baD0,10ba3、设函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称，在 x1 时，f(x)=(x+1)21,则 x1 时 f(x)等于()Af(x)=(x+3)21Bf(x)=(x3)21Cf(x)=(x3)2+1Df(x)=(x1
18、)214、设偶函数 yf（x）的图像关于直线 x=1 对称，在 0 x1 时 f（x）=x2,则 f(2008)=()A.0B.1C.2008D.2006【填空题】5、函数 y=log3(3-x)的图象是由 y=log3(x+3)的图象经怎样的变换而得到6、已知 f(x+199)=4x24x+3(xR)，那么函数 f(x)的最小值为_简答：1-4、CDBA；3、数形结合，x1 时，f(x)对称轴为 x=1,最小值为1，又 y=f(x)关于 x=1 对称，故在 x1 上，f(x)的对称轴为 x=3 且最小值为14、周期为 2,f(2008)=f(0)=0;5、作直线x=3 的对称图形而得；6、y
19、=f(x199)与 y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们的最小值相等为 2。【解答题】7作出下述函数图象：（1）.|12|2xxy（2）.1|1xy（3）.|1)21(|1|xy7（1）（2）（3）A Bhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网8、m为何值时，直线mxyl:与曲线182xy有两个公共点？有一个公共点？无公共点？解：作出281xy的图象（如图半圆）与mxy的图象（如图平行的直线，将)1,22(A代入l得221m，将)1,22(B代入l得221m，当l与半圆相切于 P 时可求得,5m则当5221m时，l与曲线有两个公共点；当221221m或5m时，有一
20、个公共点；当221m或5m时，无公共点；9、（2003 重庆诊断题）已知函数 f（x）=m（x+x1）的图象与函数 h（x）=41（x+x1）+2 的图象关于点 A（0，1）对称.（1）求 m 的值；（2）若 g（x）=f（x）+xa4在区间（0，2上为减函数，求实数 a 的取值范围.解：（1）设 P（x，y）为函数 h（x）图象上一点，点 P 关于 A 的对称点为 Q（x，y），则有 x=x，且 y=2y.点 Q（x，y）在 f（x）=m（x+x1）上，y=m（x+x1）.将 x、y 代入，得 2y=m（xx1）.整理，得 y=m（x+x1）+2.m=41.（2）g（x）=41（x+xa1）
21、，设 x1、x2（0，2，且 x1x2，则 g（x1）g（x2）=41（x1x2）2121)1(xxaxx0 对一切 x1、x2（0，2恒成立.x1x2（1+a）0 对一切 x1、x2（0，2恒成立.由 1+ax1x2，而 x1x24a3.10、设函数),0()0,(1)(xxxxf的图象为1C、1C关于点 A（2，1）的对称的图象为2C，2C对应的函数为)(xg，（）求函数)(xgy 的解析式，并确定其http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网定义域；（）若直线by 与2C只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标.（）设),(vup是xxy1上任意一点，uuv1设 P
22、关于 A（2，1）对称的点为yvxuyvxuyxQ2424),(代入得4124142xxyxxy);,4()4,(412)(xxxxg（）联立,094)6(4122bxbxxxyby004)94(4)6(22bbbbb或,4b（1）当0b时得交点（3，0）；（2）当4b时得交点（5，4）.【探索题】设曲线C的方程是3yxx，将C沿x轴、y轴正方向分别平移t、s(0)t 个单位长度后得到曲线1C，（1）写出曲线1C的方程；（2）证明曲线C与1C关于点(,)2 2tsA对称；（3）如果曲线C与1C有且仅有一个公共点，证明：34tst。解：（1）曲线1C的方程为3()()yxtxts；（2）证明：在
23、曲线C上任意取一点111(,)B x y，设222(,)B xy是1B关于点A的对称点，则有1212,2222xxtyys，1212,xtxysy 代 入 曲 线C的 方 程，得22,xy的 方 程：3222()()sytxtx即3222()()yxtxts可知点222(,)B xy在曲线1C上。反过来，同样证明，在曲线1C上的点A的对称点在曲线C上。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网因此，曲线C与1C关于点A对称。（3）证明：因为曲线C与1C有且仅有一个公共点，方程组33()()yxxyxtxts有且仅有一组解，消去y，整理得22333()0txt xtts，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根，43912()0tt tts ，即得3(44)0t tts，因为0t，所以34tst。