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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网*212 抽象函数抽象函数抽象函数要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力，在高考命题中也有逐渐加强的趋势一、明确复习目标了解抽象函数的概念和题目形式，掌握一些常用的方法。二建构知识网络1.抽象函数没有给出函数解析式，只是给出函数所满足的一些性质。2.抽象函数问题一般是由所给的性质,讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等。3.抽象函数处理方法，主要是“赋值法”，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用变量代换解题。也常联系具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。4.“函数式变换与图象的对称性之
2、间的关系”(在 2.4 函数图象变换中已详述)。三、双基题目练练手1.(2006 山东)定义在 R 上的奇函数()f x满足(2)()f xf x，则(6)f=()（A）-1（B）0（C）1（D）22.(2007 启东质检)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(2)=0，对任意 xR，都有 f(x+4)=f(x)+f(4)成立，则 f(2006)=()A4012B2006C2008D03.已知 y=f(2x+1)是偶函数，则函数 y=f(2x)的图象的对称轴是（）A.x=1B.x=2C.x=21D.x=214.已知()f x是偶函数，xR，当0 x 时，()f x为增函数，若
3、120,0 xx，且12|xx，则（）A12()()fxfxB12()()fxfxC12()()f xfxD12()()f xfx5.(2006 安徽)函数()f x对于任意实数x满足条件1(2)()f xf x,若 f(1)=5,则f(f(5)=_.6已知函数()f x满足：()()()f abf af b，(1)2f，则2(1)(2)(1)fffhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)fffffffff。简答:1-4.BDDB;3.f(2x+1)关于 x=0 对称,则 f(x)关于 x=1 对称,故 f(2
4、x)关于 2x=1 对称.5.1()(4)(2)f xf xf x,周期是 4,111(5)(1)(5)(3)(1)5f ff ffff 6由已知：(1)(1)()f nff n=2，()2nf n,原式=16四、经典例题做一做【例 1】已知函数()f x对一切,x yR，都有()()()f xyf xf y，求证:（1）()f x是奇函数；（2）若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)恒等于 0.解：（1）在()()()f xyf xf y中，令yx，得(0)()()ff xfx，令0 xy，得(0)(0)(0)fff，(0)0f，()()0f xfx，即()()fxf x，(
5、)f x是奇函数（2）f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x).且 f(0)=0图象关于直线 x=1 对称,即点(x,y),(2-x,y)同在曲线上,有 f(2-x)=f(x)，且 f(2)=f(0)=0又已知 f(x+y)=f(x)+f(y)f(x)=f(2-x)=f(2)+f(-x)=f(2)-f(x)2f(x)=f(2)=0 即 f(x)0.方法提炼：赋值法赋值的目的要明确，本题就是要凑出 f(0),f(-x)与 f(x)的关系；领会函数式变换的依据、目的和策略的灵活性。【例 2】已知函数 f(x)的定义域是 x0 的一切实数，对定义域内的任意 x1,x2都有1212()()()f
6、xxf xf x，且当1x 时()0,(2)1f xf，（1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,+)上是增函数；（3）解不等式2(21)2fx 解：（1）令121xx，得(1)2(1)ff，(1)0f，令121xx，得(1)0f，()(1)(1)()()fxfxff xf x，()f x是偶函数http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2）设210 xx，则221111()()()()xf xf xf xf xx221111()()()()xxf xff xfxx210 xx，211xx，21()xfx0，即21()()0f xf x，21()()f xf
7、x()f x在(0,)上是增函数（3）(2)1f，(4)(2)(2)2fff，()f x是偶函数不等式2(21)2fx 可化为2(|21|)(4)fxf，又函数在(0,)上是增函数，02|21|4x，解得：10102222xx 且，即不等式的解集为10102|222xxx 且【例 3】定义在 R 上的函数 y=f（x），f（0）0，当 x0 时，f（x）1，且对任意的a、bR，有 f（a+b）=f（a）f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的 xR，恒有 f（x）0；（3）求证：f（x）是 R 上的增函数；（4）若 f（x）f（2xx2）1，求 x 的取值范围.（1）证明：令
8、a=b=0，则 f（0）=f2（0）.又 f（0）0，f（0）=1.（2）证明：当 x0 时，x0，f（0）=f（x）f（x）=1.f（x）=)(1xf0.又 x0 时 f（x）10，xR 时，恒有 f（x）0.（3）证明：设 x1x2，则 x2x10.f（x2）=f（x2x1+x1）=f（x2x1）f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又 f（x1）0，f（x2x1）f（x1）f（x1）.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网f（x2）f（x1）.f（x）是 R 上的增函数.（4）解：由 f（x）f（2xx2）1，f（0）=1 得 f（3xx2）f（0）.又 f
9、（x）是 R 上的增函数，3xx20.0 x3.关键点注：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f（x2x1）+x1”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.【例 4】已知f(x)是定义在上的函数，且 f(x+2)(1-f(x)=1+f(x).(1)求证：f(x)是周期函数；（）若(1)23f，试求 f(2001),f(2005)的值。解：1()1(2)1()f xf xf x（）由已知1()1+1(2)11()(4)(2(2),1()1(2)()11()f xf xf xf xfxf xf xf xf x 1(8)(4)4)(),8(4)f xfxf xf x
10、周期为2 (2001)(1)23.ff（）11(2005)(5)(14)23(1)23ffff 解题要点用活条件1()(2)1()f xf xf x,1(4)(2(2)()f xfxf x【研究.欣赏】函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且 f(1)=0，（1）求(0)f的值；（2）对任意的11(0,)2x，21(0,)2x，都有 f(x1)+2logax2成立时，求 a 的取值范围解：（1）由已知等式()()(21)f xyf yxyx，令1x，0y 得(1)(0)2ff，又(1)0f，(0)2f（2）由()()(21)f xyf yxy
11、x，令0y 得()(0)(1)f xfxx，由（1）知(0)2f，2()2f xxx11(0,)2x，22111111()2()24f xxxx在11(0,)2x 上单调递增，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网13()2(0,)4f x 要使任意11(0,)2x，21(0,)2x 都有12()2logaf xx成立，必有23log4ax都成立.当1a 时，21loglog2aax,显然不成立当01a时，213(log)log24aax，解得3414aa的取值范围是34,1)4方法提炼怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;(2)小题中实质是不等式恒成立问题.五
12、提炼总结以为师1.抽象函数一般是函数的一些特性,由这些特性讨论函数的单调性、奇偶性、周期性及图象的对称性，或是求函数值、解析式等。2.抽象函数处理方法，主要是“赋值法”，通常是抓住函数特性，利用变量代换解题。要能灵活驾驭函数性质及概念的本质。也常联系具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。同步练习2 21111 抽象函数抽象函数【选择题】1.(2007石家庄质检)已知)(xf是定义在R上的偶函数，且)21()23(xfxf恒成立，当3,2x时，xxf)(，则当)0,2(x时，函数)(xf的解析式为（）A2xB4xC12 xD13 x2.已知 f(x)对任意的整数 x 都有 f(x2
13、)f(x2)，若 f(0)2003，则 f(2004)()A.2002B.2003C.2004D.20053.设 f(x)是 R 上的实函数，且满足：f(10+x)=f(10-x),f(20+x)=-f(20-x)，则 f(x)是（）A.是偶函数又是周期函数B.是偶函数但不是周期函数C.是奇函数又是周期函数D.是奇函数但不是周期函数4（2004 福建）定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，当 x3，5时，f(x)=2|x4|，则（）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网Af(sin6)f(cos1)Cf(cos32)f(sin2)【填空题】5.
14、设 f(x)是 R 的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0 x1,时,f(x)=x,则 f(7.5)=6.设 f(x)定义在实数集上的周期为 2 的函数，且为偶函数，当 x0,1时，11998()f xx,则98101104(),(),()191715fff由小到大的顺序是_简答.提示:1-4.DBCB;4.取121,(1)0 xxf得;取 x1=x2=-1 得 f(-1)=0再取 x1=-1,x2=x 得 f(-x)=f(x);5.0.5;6.周期是 2 且偶函数可得98981616101110414()(6)()(),()(),()()1919191917171515ffffffff同
15、理又在0,1上 f(x)=x-2008,是增函数,且116141019814()()()171915171915fff，故【解答题】7.设)(xf是定义在R上的偶函数，其图象关于直线1x对称，对任意21,0,21xx，都有)()()(2121xfxfxxf.(I)设2)1(f，求)41(),21(ff；(II)证明)(xf是周期函数.解(1):当 x0,1/2时,2()()()022xxf xffx,21111(1)()()2,()22222ffff;同理41()24f(2)是偶函数则(-x)=f(x),关于 x=1 对称则有 f(x)=f(2-x)f(x)=f(2-x)=f(x-2),f(x
16、)周期为 2.8.已知函数()f xR在上有定义，对任意实数0a 和任意实数,()xf axaf x都有（）=,证明:（）(0)0f（）,0,(),0,kx xf xkhhx x其中 和 均为常数；证明：（I）对于任意的0,axR均有：()()f axaf x在中取2,0,ax(0)2(0).ff即得(0)0f（II）证明：当0 x 时，由得：()(1)(1).f xf xxfhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网取(1),kf则有:();f xkx当 x 0 时，由得:()()(1)()(1)f xfxx f 取(1)hf，则有()f xhx综合、得 f(x)=,0
17、.x x k hx,x1 时,f(x)0;解(2):f(3)=1 则 2=f(3)+f(3)=f(9),从而 f(x)f(x-1)+2 等价于 F(x)f(x-1)+f(9)=f(9x-9),是增函数,x9x-9,91x810.定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log23 且对任意 x，yR 都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证 f(x)为奇函数；(2)若 f(k3x)+f(3x-9x-2)0 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围分析分析：欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 x 都有 f(-x)=-f(x)成立 在式子 f(x+y)=f(x)+f(y)中，令
18、y=-x 可得 f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求 f(0)的值令 x=y=0 可得f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明(1)证明：证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)，令 x=y=0，代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令 y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又 f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)即 f(-x)=-f(x)对任意 xR 成立，所以 f(x)是奇函数(2)解解：f(3)=log230，即 f(3)f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)在
19、R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3x)-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k3x-3x+9x+2，32x-(1+k)3x+20 对任意 xR 成立令 t=3x0，问题等价于 t2-(1+k)t+20 对任意 t0 恒成立221()(1)2,2101(0)20,20,100,()02(1)8012 2令其对称轴当即时，符合题意；1+k当时2对任意恒成立解得-1kf ttk txkkfktf tkk 综上所述：312 2(3)(392)0时，xxkf kf 对任意 xR 恒成立。http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网说明说明：问题(2)的上述解
20、法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在 xR 上是增函数，把问题转化成二次函数 f(t)=t2-(1+k)t+2 对于任意 t0 恒成立对二次函数 f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由 k3x-3x+9x+2 得231.3232 21131而，的最小值是2 2xxxxkuu要使对xR不等式231.3xxk 恒成立，只需 k12 2 上述解法是将 k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖【探索题】1.（2006 重庆）已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（）若 f(2)=3，求 f(1)；又若 f(0)=a，求 f(a)；（
21、）设有且仅有一个实数 x0，使得 f(x0)=x0，求函数 f(x)的解析表达式。22222222(),()-)()(2)-22)(2)22 (2)3,(3-22322,(1)1 (0),(00)00,()IxRf f xxxf xxxf ffffffaf aaf aa解：因为对任意有所以又由得）即若则即22000202000002000000220(II)()().(),()()()0()0()xRf f xxxf xxxxf xxxRf xxxxxxf xxxxf xxxxxxxf xxxf xxx因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有再代，得，故=0或=1 若=0，则，即202202 0 ()1,()1.()1 ()xxxxxf xxxf xxxf xxxxR但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故若=1，则有即易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数为2函数()f x的定义域是|01x xx且满足1()()1xf xfxx，求()f x。解：把1()()1xf xfxx 中的 x 换成1xx得111()()11xxffxxx 再把11x换得1()()11ff xx由-+得231()2(1)xxf xxxhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网