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1、最短路径问题一选择题（共6小题）1（2015遵义）如图，四边形ABCD中，C=50，B=D=90，E、F分别是BC、DC上的点，当AEF的周长最小时，EAF的度数为（）A50B60C70D802（2015黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：作点B关于直线l的对称点B；连接AB与直线l相交于点C，则点C为所求作的点在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A转化思想B三角形的两边之和大于第三边C两点之间，线段最短D三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角3（2015同安区一模）如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB
2、，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）A3B4C5D64（2015芜湖三模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当AEF的周长最小时，则DF的长为（）A4B6C8D95（2014江西模拟）如图，在ABC中，BAC=90，ABAC，AB=3，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A4B5C6D76（2014秋监利县期末）如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则ECF的度数为（
3、）A15B22.5C30D45二填空题（共6小题）7（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为8（2015惠山区一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为9（2015春沙坪坝区期末）如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD交于点O若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OEOF，则OEF周长的最小值是10（2015枣庄模拟）如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H是对角线BD上
4、的任意一点，则HE+HF的最小值是11（2015许昌一模）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时，点C的坐标是12（2015春新泰市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，2）、（1，4），欲在x轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为三解答题（共4小题）13（2014清河区二模）已知直角坐标系中有两点A（1，2）、B（5，4），要在x轴上找一点P，使得PA+PB之和最小，求点P的坐标14（2014秋嘉荫县期末）如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自
5、来水厂E为A村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置（保留作图痕迹，不写作法）15（2014秋沙河市校级期末）如图，已知A，B两个村庄在河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，且CD=30km现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置？（保留痕迹，不写作法）此时所花费用最少为16（2015春下城区期末）在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB=BC=2CD=4，P是线段BC上的动点，连结AP，DP（1）设BP=x，用含字母x的代数式分别表示线段A
6、P，DP的长，并求当x=2的时候，AP+DP的值；（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值人教版八年级数学上册13.3.4课题学习 最短路径问题同步训练习题（教师版）一选择题（共6小题）1（2015遵义）如图，四边形ABCD中，C=50，B=D=90，E、F分别是BC、DC上的点，当AEF的周长最小时，EAF的度数为（）A50B60C70D80考点： 轴对称-最短路线问题分析： 据要使AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A，A，即可得出AAE+A=HAA=50，进而得出AEF+AFE=2（AAE+A），即可得出答案解答： 解：作
7、A关于BC和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于E，交CD于F，则AA即为AEF的周长最小值作DA延长线AH，C=50，DAB=130，HAA=50，AAE+A=HAA=50，EAA=EAA，FAD=A，EAA+AAF=50，EAF=13050=80，故选：D点评： 本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键2（2015黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：作点B关于直线l的对称点B；连接AB与直线l相交于点C，则点C为所求作的点在解
8、决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A转化思想B三角形的两边之和大于第三边C两点之间，线段最短D三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角考点： 轴对称-最短路线问题分析： 利用两点之间线段最短分析并验证即可即可解答： 解：点B和点B关于直线l对称，且点C在l上，CB=CB，又AB交l与C，且两条直线相交只有一个交点，CB+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边故选D点评： 此题主要考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决
9、，多数情况要作点关于某直线的对称点3（2015同安区一模）如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）A3B4C5D6考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质分析： 在DC上截取DG=FD=ADAF=43=1，连接EG，则EG与BD的交点就是PEG的长就是EP+FP的最小值，据此即可求解解答： 解：在DC上截取DG=FD=ADAF=43=1，连接EG，则EG与BD的交点就是PAE=DG，且AEDG，四边形ADGE是平行四边形，EG=AD=4故选B点评： 本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱
10、形的对称轴是关键4（2015芜湖三模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当AEF的周长最小时，则DF的长为（）A4B6C8D9考点： 轴对称-最短路线问题；矩形的性质专题： 探究型分析： 先作点E关于直线CD的对称点E，连接AE交CD于点F，再根据CEFBEA即可求出CF的长，进而得出DF的长解答： 解：作点E关于直线CD的对称点E，连接AE交CD于点F，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，BE=CE=CE=6，ABBC，CDBC，CDAB，=，即=，解得CF=3，DF=CDCF=93=6故选B点评： 本题考查的是轴对称
11、最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出E点关于直线CD的对称点，再根据轴对称的性质求出CE的长，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论5（2014江西模拟）如图，在ABC中，BAC=90，ABAC，AB=3，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A4B5C6D7考点： 轴对称-最短路线问题分析： 根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可解答： 解：EF垂直平分BC，B、C关于EF对称，连接AC交EF于D，当P和C重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，由勾股定理得：AC=
12、4，故选A点评： 本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置6（2014秋监利县期末）如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则ECF的度数为（）A15B22.5C30D45考点： 轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质分析： 过E作EMBC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出ACM，即可求出答案解答： 解：过E作EMBC，交AD于N，AC=4，AE=2，EC=2=AE，AM=BM=2，AM=AE，AD是BC
13、边上的中线，ABC是等边三角形，ADBC，EMBC，ADEM，AM=AE，E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，ABC是等边三角形，ACB=60，AC=BC，AM=BM，ECF=ACB=30，故选C点评： 本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用二填空题（共6小题）7（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为考点： 轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质分析： 作B关于AC的对称点B，连接BB、BD，交AC于E，此时BE+ED=BE
14、+ED=BD，根据两点之间线段最短可知BD就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点解答： 解：作B关于AC的对称点B，连接BB、BD，交AC于E，此时BE+ED=BE+ED=BD，根据两点之间线段最短可知BD就是BE+ED的最小值，B、B关于AC的对称，AC、BB互相垂直平分，四边形ABCB是平行四边形，三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，ADBC，AD=，BD=CD=1，BB=2AD=2，作BGBC的延长线于G，BG=AD=，在RtBBG中，BG=3，DG=BGBD=31=2，在RtBDG中，BD=故BE+ED的最小值为故答案为：点评： 本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的
15、性质、等边三角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中8（2015惠山区一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为4考点： 轴对称-最短路线问题分析： 因为EF=2，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=1，所以G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A，连接AD，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为AG的长；根据勾股定理求得AD=5，即可求得AG=ADDG=51=4，从而得出PA+PG的最小值解
16、答： 解：EF=2，点G为EF的中点，DG=1，G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A，连接AD，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为AG的长；AB=2，AD=3，AA=4，AD=5，AG=ADDG=51=4；PA+PG的最小值为4；故答案为4点评： 本题考查了轴对称最短路线问题，判断出G点的位置是解题的关键9（2015春沙坪坝区期末）如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD交于点O若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OEOF，则OEF周长的最小值是2+考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质分析： 根据正方形的对角线互
17、相平分且相等可得AO=BO，AOB=90，对角线平分一组对角可得OAE=OBF，再根据AE=BF，然后利用“SAS”证明AOE和BOF全等，根据全等三角形对应角相等可得AOE=BOF，可得EOF=90，然后利用勾股定理列式计算即可得解解答： 解：在正方形ABCD中，AO=BO，AOB=90，OAE=OBF=45，点E、F的速度相等，AE=BF，在AOE和BOF中，AOEBOF（SAS），AOE=BOF，AOE+BOE=90，BOF+BOE=90，EOF=90，在RtBEF中，设AE=x，则BF=x，BE=2x，EF=当x=1时，EF有最小值为OE=OF=1OEF周长的最小值=2+故答案为：2点
18、评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟记正方形的性质，求出三角形全等的条件是解题的关键10（2015枣庄模拟）如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是10考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质分析： 要求HE+HF的最小值，HE、HF不能直接求，可考虑通过作辅助线转化HE、HF的值，从而找出其最小值求解解答： 解：如图：作EEBD交BC于E，连接EF，连接AC交BD于O则EF就是HE+HF的最小值，E、F分别是边AB、AD的中点，EFAB，而由已知AOB中可得A
19、B=10，故HE+HF的最小值为10故答案为：10点评： 考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用11（2015许昌一模）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时，点C的坐标是（0，3）考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质分析： 根据轴对称做最短路线得出AE=BE，进而得出BO=CO，即可得出ABC的周长最小时C点坐标解答： 解：作B点关于y轴对称点B点，连接AB，交y轴于点C，此时ABC的周长最小，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），B点坐标为：（3，0），
20、AE=4，则BE=4，即BE=AE，COAE，BO=CO=3，点C的坐标是（0，3），此时ABC的周长最小故答案为（0，3）点评： 此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键12（2015春新泰市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，2）、（1，4），欲在x轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为（，0）考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质分析： 先求出点A关于x轴的对称点A的坐标，连接AB，交x轴于P，则P即为所求的点，然后用待定系数法求出直线AB的解析式，求出直线与x轴的交点即可解答： 解：点A（1，2），点A关于x
21、轴的对称点A的坐标为（1，2），A（1，2），B（1，4），设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），解得 ，直线AB的解析式为y=3x+1，当y=0时，x=P（，0）故答案为（，0）点评： 本题考查的是轴对称最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键三解答题（共4小题）13（2014清河区二模）已知直角坐标系中有两点A（1，2）、B（5，4），要在x轴上找一点P，使得PA+PB之和最小，求点P的坐标考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质分析： 先求出点A关于x轴的对称点A的坐标，连接AB交x轴于P，此时PA+PB最小，用待定系数法求出直线AB的
22、解析式，然后求出直线与x轴的交点即可解答： 解：A（1，2），点A关于x轴的对称点A的坐标为（1，2），A（1，2），B（5，4），设直线AB的解析式为y=kx+b（k0），解得 ，直线AB的解析式为y=x1，当y=0时，x=1P（1，0）点评： 本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键14（2014秋嘉荫县期末）如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置（保留作图痕迹，不写作法）考点： 轴对称-最短路线问题；作图应用与设计作图分析： 利用轴对称求最短路线
23、的方法得出A点关于直线CD的对称点A，再连接AB交CD于点E，即可得出答案解答： 解：如图所示：点E即为所求点评： 此题主要考查了应用设计与作图以及轴对称求最短路径，得出A点对称点是解题关键15（2014秋沙河市校级期末）如图，已知A，B两个村庄在河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，且CD=30km现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置？（保留痕迹，不写作法）此时所花费用最少为100万元考点： 轴对称-最短路线问题分析： 根据已知得出作点A关于直线l的对称点A，连接AB，则AB与直线l的交点P到
24、A、B两点的距离和最小，再利用构造直角三角形得出即可解答： 解：依题意，只要在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小作点A关于直线l的对称点A，连接AB，则AB与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，且PA+PB=PA+PB=AB过点A向BD作垂线，交BD的延长线于点E，在直角三角形ABE 中，AE=CD=30，BE=BD+DE=40，根据勾股定理可得：AB=50（千米）即铺设水管长度的最小值为50千米所以铺设水管所需费用的最小值为：502=100（万元）故答案为100万元点评： 此题主要考查了轴对称最短路线问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形16（2015春下城区期末）
25、在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB=BC=2CD=4，P是线段BC上的动点，连结AP，DP（1）设BP=x，用含字母x的代数式分别表示线段AP，DP的长，并求当x=2的时候，AP+DP的值；（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值考点： 轴对称-最短路线问题分析： （1）分别用x表示出BP、CD的长度，再根据勾股定理求出AP、DP的长即可；（2）作点A关于BC的对称点A，连接AD，再由对称的性质及勾股定理即可求解解答： 解：（1）由题意结合图形知：AB=4，BP=x，CP=4x，CD=2，AP=，DP=；当x=2时，AP+DP=+=2+2；（2）存在如图，作点A关于BC的对称点A，连接AD，AE=4，DE=6，则AD=，最小值为2点评： 本题主要考查的是最短线路问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此类题目的关键18