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1、核心素养测评 十函数与方程(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)【解析】选C.因为f(x)在(0,+)上是增函数,则由题意得f(1)f(2)=(0-a)(3-a)0,解得0a3.2.已知函数f(x)=-log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0x1,则f(x1)的值()A.恒为负B.等于零C.恒为正D.不大于零【解析】选A.由于函数f(x)=-log3x在定义域内是减函数,于是,若f(x0)=0,当x0x1时,一定有f(x1)b,cd.
2、若f(x)=2 020-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是()A.acbdB.abcdC.cdabD.cabd【解析】选D.f(x)=2 020-(x-a)(x-b)=-x2+(a+b)x-ab+2 020,又f(a)=f(b)=2 020,c,d为函数f(x)的零点,且ab,cd,所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象,如图所示,由图可知cabd.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018全国卷)函数f(x)=cos 在上的零点个数为_.【解析】令f(x)=cos=0,得3x+=+k(kZ),即x=+k,当k=0时,x=0,当k=1时,x=0,当k=2
3、时,x=0,所以f(x)=cos在0,上零点的个数为3.答案:37.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是_;若f(x)=m有2个零点,则m=_.世纪金榜导学号【解析】函数g(x)=f(x)-m有3个零点,转化为f(x)-m=0的根有3个,进而转化为y=f(x),y=m的交点有3个.画出函数y=f(x)的图象,如图所示,则直线y=m与其有3个公共点.又抛物线的顶点为(-1,1),由图可知实数m的取值范围是(0,1).若f(x)=m有2个零点,则m=0或m=f(-1)=1.答案:(0,1)0,18.设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),若x0(
4、n,n+1),nN,则x0所在的区间是_.世纪金榜导学号【解析】设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点,在同一平面直角坐标系下作出函数y=x3与y=的图象如图所示因为f(1)=1-=-10,所以f(1)f(2)0).世纪金榜导学号(1)作出函数f(x)的图象.(2)当0ab,且f(a)=f(b)时,求+的值.(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根,求m的取值范围.【解析】(1)如图所示.(2)因为f(x)=故f(x)在(0,1上是减函数,而在(1,+)上是增函数.由0ab且f(a)=f(b),得0a1b,且-1=1-,所以+=2.(3)由函数f(x)的图象可知,当0m1时,函数f(
5、x)的图象与直线y=m有两个不同的交点,即方程f(x)=m有两个不相等的正根.10.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.世纪金榜导学号(1)判断命题:“对于任意的aR,方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)“对于任意的aR,方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意,f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,因为=(2a-1)2+8a=(2a+1)20对于任意的aR恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根,从而f(x)=1必有实根.(2)依题意,
6、要使y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,只需即解得a0.若函数y=f(f(x)有10个零点,则实数a的取值范围是_.【解析】当x0时,令f(x)=0,得|x-2|=1,即x=1或x=3.因为f(x)是偶函数,则f(x)的零点为x=1和x=3,作出函数y=f(x)的大致图象如图所示.令f(f(x)=0,则f(x)=1或f(x)=3.因为函数y=f(f(x)有10个零点,则函数y=f(x)的图象与直线y=1和y=3共有10个交点.由图可知,1a3.答案:(1,3)4.(10分)已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=世纪金榜导学号(1)求g(f(1)的值.(2)若方程g(f(x)-a
7、=0有4个不同的实数根,求实数a的取值范围.【解析】(1)利用解析式直接求解得g(f(1)=g(-3)=-3+1=-2.(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在(-,1)上有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t1)的图象如图,由图象可知,当1a时,函数y=g(t)(t0).世纪金榜导学号(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围.(2)确定m的取值范围,使得函数F(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点.【解析】(1)因为g(x)=x+2=2e,等号成立的条件是x=e,故g(x)的值
8、域为2e,+),因而只需m2e,则g(x)=m就有零点,即m的取值范围为2e,+).(2)函数F(x)=g(x)-f(x)有两个不同的零点,即g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点,作出g(x)=x+(x0)的图象.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.所以m的取值范围是(-e2+2e+1,+).1.(2020嘉兴模拟)已知函数f(x)=|x-2k|,x2k
9、-1,2k+1(kZ),则函数g(x)=f(x)-lg x的零点个数是世纪金榜导学号()A.5B.7C.9D.11【解析】选C.函数g(x)=f(x)-lg x的零点转化为y=lg x与y=f(x)的交点,给k赋值,作出函数y=f(x)及y=lg x的图象,从图象上看,共有9个交点,所以函数g(x)的零点共有9个,故选C.【变式备选】函数f(x)的定义域为实数集R,且f(x)=对任意的xR都有f(x+2)=f(x-2).若在区间-5,3上函数g(x)=f(x)-mx+m恰好有三个不同的零点,求实数m的取值范围.【解析】因为对任意的xR都有f(x+2)=f(x-2),所以函数f(x)的周期为4.由在区间-5,3上函数g(x)=f(x)-mx+m有三个不同的零点,知函数f(x)与函数h(x)=mx-m的图象在-5,3上有三个不同的交点.在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)与h(x)在区间-5,3上的图象,如图所示.由图可知m,即-m0)有三个不同的实根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=_.【解析】f(x)=kx+4(k0),即ex-e-x=kx,所以y1=ex-e-x与y2=kx有三个不同的交点,且都是奇函数.因此x1+x2+x3=0.答案:0- 9 -