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1、第1讲函数的图像与性质1.2017全国卷 函数y=的部分图像大致为() 图M1-1-1试做_命题角度函数图像的识别解题策略: 步骤一,判断已知函数的奇偶性、周期性和图像的对称性等,初步排除选项;步骤二,利用单调性(导数判断法或判断已知函数中各子函数的单调性后整体判断)或特殊点描绘函数的大致图像得出答案.注:(1)此类试题,一般可多次利用特殊点排除法得到答案;(2)有时需要将已知函数图像上下或者左右平移得到图像的对称性等,如2017全国卷7函数y=1+x+的部分图像.2.【引全国卷】2018全国卷 已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1
2、)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50【荐地方卷】(1)2017山东卷 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0 时,f(x)=6-x,则f(919)=.(2)2018江苏卷 函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR),且在区间(-2,2上,f(x)=则f(f(15)的值为.试做_命题角度函数周期性为背景的问题 (1)利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化为已知函数解析式的区间上的函数值,计算一个周期内的函数值,利用周期性求值.(2)求函数周期性的方法:若函数满足f(x+T)=f(x),则由函数周期性的定义可知T是函
3、数的一个周期;若函数满足f(x+a)=-f(x),则2a是函数的一个周期;若函数满足f(x+a)=,则2a是函数的一个周期;若函数满足f(x+a)=-,同理可得2a是函数的一个周期.(3)对称性与周期性:如果一个函数y=f(x)的图像具备两种对称性,则这个函数是周期函数,具体如下:关于两个点对称,若y=f(x)的图像关于点(a,0),(b,0)对称,则y=f(x)是周期函数,且周期为2|b-a|;关于两条线对称,若y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b对称,则y=f(x)是周期函数,且周期为2|b-a|;关于一条线,一个点对称,若y=f(x)的图像关于直线x=a和点(b,0)对称,则y=f(
4、x)是周期函数,且周期为4|b-a|.3.【引全国卷】2016全国卷 已知函数f(x)(xR)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则xi=()A.0B.mC.2mD.4m【荐地方卷】2015福建卷 若函数f(x)=2|x-a|(aR)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在m,+)上单调递增,则实数m的最小值等于.试做_命题角度函数图像的对称性为背景的问题(1)解决两个函数图像所有交点的横坐标、纵坐标的问题:关键一,利用已知条件确定函数图像的对称中心或对称轴;关键二,熟记关于函数图像的对称中心或对
5、称轴的常用结论:f(a+x)=2b-f(a-x)函数y=f(x)的图像关于点(a,b)对称;f(a+x)+f(b-x)=c函数y=f(x)的图像关于点,对称;f(a+x)=f(a-x)函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;f(a+x)=f(b-x)函数y=f(x)的图像关于直线x=对称.(2)(特殊值法)将抽象函数f(x)具体化,找一个满足所有条件的具体函数.注:此类试题,可以用特殊值法将抽象函数f(x)具体化,找一个满足所有条件的具体函数;知道一个函数图像的自身对称和两个不同的函数图像对称的区别.4.(1)2017全国卷 已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(
6、0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图像关于直线x=1对称D.y=f(x)的图像关于点(1,0)对称(2)2017全国卷 函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+) D.(4,+)(3)2014全国卷 设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数试做_命题角度复合函数单调性与奇偶性的判断(1)求复合函数单调性的解题策略:关键一,
7、确定定义域,将原函数分解为基本函数、内函数与外函数;关键二,分别研究内函数、外函数在各自定义域内的单调性;关键三,根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在定义域内的单调性.注:外函数的定义域是内函数的值域.(2)解决两函数的积的奇偶性策略:关键一,两个奇函数的积是偶函数,两个偶函数的积是偶函数,一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数;关键二,一个奇函数或偶函数的绝对值是偶函数.将抽象函数f(x)具体化,分别找一个满足所有条件的具体函数,例如f(x)=x,g(x)=x2.注:两个函数的定义域都要关于原点对称.5.(1)2017全国卷 函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则
8、满足-1f(x-2)1的x的取值范围是()A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3(2)2014全国卷 已知偶函数f(x)在0,+)上单调递减,f(2)=0,若f(x-1)0,则x的取值范围是.试做_命题角度解抽象函数不等式(1)解抽象函数不等式的依据是单调性定义;(2)应将抽象函数不等式变形为类似f(x1)f(x2)这种形式,结合函数的单调性转化为常规不等式, 如x1x2(或x10的解集为()A.(-,2)B.(2,+)C.(-,1)D.(1,+)(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在区间(0,+)上单调递增,记a=f -log2,b=f(-2-0.5),c=f(log
9、49),则a,b,c的大小关系为()A.bcaB.abcC.cabD.ba0,则下列不等式恒成立的是()A.b-a2C.b-a2D.a+2b2小题3函数的图像及应用6 (1)函数f(x)=xe-|x|的图像可能是() A B C D图M1-1-2 (2)2018全国卷 设函数f(x)=则满足f(x+1)f(2x)的x的取值范围是()A.(-,-1B.(0,+)C.(-1,0)D.(-,0)听课笔记 _【考场点拨】高考常考函数图像问题的注意点:(1)图像平移与整体放缩不改变图像的对称性,求解较复杂函数图像的对称点或对称轴时可先平移;(2)函数图像的应用主要体现为数形结合思想,通常用来解决求最值、
10、方程的根、交点的个数等问题.注意求解两个函数图像在什么区间内满足交点个数多少的问题,可以先画出已知函数的完整图像,再观测结果.【自我检测】1.函数f(x)=1+ln的图像大致是() AB C D图M1-1-32.使log2(-x)x+1成立的x的取值范围是()A.(-1,0)B.-1,0)C.(-2,0)D.-2,0)3.如图M1-1-4,在矩形MNPO中,动点R从点N出发,沿NPOM方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x,MNR的面积为y,若y关于x的函数图像如图所示,则当x=9时,点R应运动到()图M1-1-4A.点N处B.点P处C.点O处D.点M处4.定义在R上的偶函数f(x)满足f
11、(x+1)=-f(x),当x0,1时, f(x)=-2x+1,设函数g(x)=|x-1|(-1x0,所以可以排除A.而f()=0,所以可以排除D.故选C.2.【引全国卷】C解析 因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,且f-(1-x)=-f(1-x),即f(1-x)=-f(x-1),又由f(1-x)=f(1+x)得f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所
12、以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=f(1)+f(2)=2,故选C.【荐地方卷】(1)6(2)解析 (1)由f(x+4)=f(x-2)可知周期T=6,所以f(919)=f(1536+1)=f(1),又因为f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=6-(-1)=6.(2)由f(x+4)=f(x)(xR),得f(15)=f(-1+44)=f(-1),又-1(-2,0,所以f(15)=f(-1)=-1+=.而(0,2,所以f(f(15)=f=cos=cos=.3.【引全国卷】B解析 因为y=f(x),y=|x2-2x-3|的图像都关于直线x=1
13、对称,所以两函数图像的交点也关于x=1对称.当m为偶数时,xi=2=m;当m为奇数时,xi=2+1=m.【荐地方卷】1解析 由f(1+x)=f(1-x)知f(x)的图像关于直线x=1对称,所以a=1,即f(x)=2|x-1|,所以f(x)在(-,1 上为减函数,在1,+)上为增函数,故m1,即m的最小值为1.4.(1)C(2)D(3)C解析 (1)因为函数f(x)的定义域为(0,2),f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x)=ln-(x-1)2+1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故选项A,B错.由于函数y=-(x-1)2+1,x(0,2)的图像
14、关于直线x=1对称,所以函数f(x)=ln x+ln(2-x)的图像关于直线x=1对称.故选C.(2)函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图像的对称轴为直线x=1,由x2-2x-80解得x4或x0的解集为(-2,2),若f(x-1)0,则-2x-12,解得-1x3. 考点考法探究小题1 例1(1)D(2),+解析 (1)要使函数f(x)=+ln(2x+1)有意义,需满足解得-x0且x-10,即00,即x1时, f(x)+f(x-1)=4x+4x-1,此时4x+4x-12恒成立,x1. 综上, x的取值范围是,+.【自我检测】1.B解析 f(x)的定义域满足即1x2,令12,得24时,由-l
15、og2(a+1)=,得a=-14矛盾,故此种情况下无解.综上可知a=1,故选A.3.1008解析 函数f(x)=则f(2018)=f(2016)+1=f(2014)+2=f(0)+1009=1-2+1009=1008.4.解析 f(-1)=2-(-1)=2 ,ff(-1)=f(2)=4a=1,解得a=.小题2 例2(1)C(2),1解析 (1)由题意知,当a=0时,f(x)=-2x+1,在R上是减函数,符合题意;当a0时,要使f(x)在区间-,上为减函数,则,解得a1,0a1.综上可得0a1.故选C.(2)函数f(x)=在R上单调递减,解得a0f(1-2x)-f(3)=f(-3),所以1-2x
16、-3,解得x2,故选A.(2)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(|x|),所以a=f -log2=f(log25),b=f(-2-0.5)=f ,c=f(log49)=f(log23),又1log232log25,且f(x)在区间(0,+)上单调递增,所以bc0,f(2a+b)-f(4-3b)=f(3b-4),2a+b2.故选C.小题3 例6(1)C(2)D解析 (1)因为函数f(x)的定义域为R,f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A,B;当x(0,+)时,f(x)=xe-x,因为e-x0,所以f(x)0,故当x(0,+)时,f(x)的图像
17、恒在x轴上方,排除D.故选C.(2)f(x)的图像如图所示.当即x-1时,若满足f(x+1)2x,即x1,此时x-1;当即-1x0时,f(x+1)f(2x)恒成立.综上,x的取值范围是x0,排除A.故选D.2.A解析 在同一直角坐标系内作出函数y=log2(-x)与y=x+1的图像,由图可知满足条件的x的取值范围是(-1,0).3.C解析 在矩形MNPO中,动点R沿NP方向运动时,MNR的底为MN保持不变,而高NR随着x的增加而增加,因此这一阶段MNR的面积y也随x的增加而增加,其图像为图中04这一段;动点R沿PO方向运动时,MNR的底为MN保持不变,高等于PN也保持不变,因此这一阶段MNR的
18、面积y不随x的改变而改变,其图像为图中49这一段;动点R沿OM方向运动时,MNR的底为MN保持不变,而高MR随着x的增加而减小,因此这一阶段MNR的面积y随x的增加而减小,其图像为图中913这一段.根据以上分析,当x=9时,点R应运动到点O处.故选C.4.B解析 因为f(x+1)=-f(x),所以f(x)的周期为2.函数g(x)=|x-1|的图像关于直线x=1对称,作图可得两函数图像的两对交点关于直线x=1对称,故其横坐标之和为22=4,故选B.备选理由 若一个函数是奇函数且其图像关于某直线对称,则该函数是周期函数.例1和例2考查函数的对称性和周期性.例1配例4、5使用 已知函数f(x)是定义
19、在(-,+)上的偶函数,若对任意的实数x,都有f(1-x)=f(1+x)成立,且当x0,1时,f(x)=2x-1,则f(2016)-f(-2017)+f(2018)的值为()A.-1B.-2C.2D.1解析 A因为f(x)是定义在(-,+)上的偶函数,且对任意的实数x,都有f(1-x)=f(1+x)成立,所以f(x)是周期为2的周期函数,所以f(2016)=f(2018)=f(0)=0,f(-2017)=f(1)=1,故选A.例2配例4使用 已知奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x(0,1)时,f(x)=3x+,则f(log354)=()A.-2B.-C.D.2解析 Af(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期为4.又log354=log3(272)=3+log32(3,4),f(log354)=f(3+log32)=f(-1+log32)=flog3=-f-log3=-flog3=-+=-+=-2.故选A.16