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1、第7讲三角函数的图像与性质1.(1)2015全国卷 函数f(x)=cos(x+)的部分图像如图M2-7-1所示,则f(x)的单调递减区间为()图M2-7-1A.,kZB.,kZC.,kZD.,kZ(2)2016全国卷 将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为()A.y=2sin2x+B.y=2sin2x+C.y=2sin2x- D.y=2sin2x-试做_命题角度三角函数图像平移问题和求解析式问题(1)解决三角函数图像平移问题:关键一,有两种途径,“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”;关键二,x+=x+.利用图像变换求三角函数解析式问题:关键一,确定图像的变换方向(左
2、加右减、上加下减、横纵坐标的伸长或缩短);关键二,根据不同的变换形式变换已知解析式.(2)利用图像求函数y=Asin(x+)的解析式时,常采用待定系数法:由图像的最高点或最低点求A,由函数的周期求,确定时常根据“五点法”中的五个点求解,或由图像上的某一特殊点求出的值.2.2016全国卷 函数f(x)=cos 2x+6cos-x的最大值为()A.4B.5C.6D.7试做 _命题角度三角函数的有界性利用三角函数的有界性求最值问题:方法一,利用诱导公式、三角恒等变换,将函数化为关于sin x和cos x的二次函数,采用配方法求最值;方法二,利用诱导公式、辅助角公式将函数化为f(x)=Asin(x+)
3、+b(或f(x)=Acos(x+)+b)的形式,根据三角函数的有界性运用整体思想求最值.3.【引全国卷】2014全国卷 在函数y=cos|2x|,y=|cos x|,y=cos2x+,y=tan2x-中,最小正周期为的所有函数为()A.B.C.D.试做_【荐地方卷】2018江苏卷 已知函数y=sin(2x+)-0,0)的形式;关键二,把x+看作一个整体t,根据y=sin t或y=cos t的单调区间或图像的对称轴,求得原函数的单调区间或原图像的对称轴;关键三,最小正周期为.(2)对称与周期:正弦曲线、余弦曲线的相邻两个对称中心、相邻两条对称轴之间的距离是个周期,相邻对称中心与对称轴之间的距离是
4、个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是个周期.小题1三角函数的定义、诱导公式及同角关系式1 (1)已知sin+=,则sin-=()A.B.-C.D.-(2)已知sin +cos =,则sin cos 的值为.听课笔记 _【考场点拨】应用同角三角函数的基本关系式及诱导公式求三角函数值的易失分点:(1)确定不了函数值的符号,如由sin2=求sin 的值;(2)诱导公式不熟,记忆与使用错误.【自我检测】1.已知角的终边经过点(m,-2m),其中m0,则sin +cos 等于()A.-B.C.-D.2.已知cos+=,则sin-的值等于()A.B.-C.D.3.已知sin +cos =,则tan
5、 =()A.B.C.-D.-小题2三角函数的图像及应用2 (1)为了得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin+的图像()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位(2)函数f(x)=sin(x+)|0)的图像向右平移个单位后,所得图像对应的函数解析式为()A.y=2sin2x-B.y=2cos2x-C.y=2sin 2xD.y=2cos2x-3.函数f(x)=Asin(x+)A0,0,0,00,否则易出错;二是一定要结合图像进行分析.【自我检测】1.函数f(x)=sin x-cos x(0)在-,上单调递增,则的取值不可能为()A.B.C.D.2.设函数f(
6、x)=cos(x+),其中常数满足-0,0)图像上相邻两个最高点的距离为6,P,-2是该函数图像上的一个最低点,则该函数图像的一个对称中心是()A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)小题4三角函数的值域与最值问题4 函数f(x)=cos xsinx+-cos2x+在闭区间-,上的最小值是.听课笔记 _【考场点拨】求三角函数的值域与最值问题的类型与求解策略:(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,要根据三角恒等变换把函数化为y=Asin(x+)+B的形式,再借助三角函数图像与性质确定值域与最值;(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,转化为二次函
7、数去求解;(3)形如y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c的三角函数,可先设t=sin xcos x,再转化为关于t的二次函数去求解.【自我检测】1.已知函数y=sin x+cos x(0)在区间0,上的最小值为-1,则=.2.已知函数y=cos2x+sin 2x-,x0,则该函数的值域为.第7讲三角函数的图像与性质 典型真题研析1.(1)D(2)D解析 (1)由图知=-=1,所以T=2,即=2,所以=.因为函数f(x)的图像过点,所以当=时,+=+2k,kZ,解得=+2k,kZ;当=-时,+=-+2k,kZ,解得=-+2k,kZ.所以f(x)=cos,由2kx+2k,解得
8、2k-x2k+,kZ,故选D.(2)函数y=2sin2x+的周期为=,将函数 y=2sin2x+的图像向右平移个周期,即平移个单位,所得图像对应的函数为y=2sin2x-+=2sin2x-.2.B解析 由已知得f(x)=-2sin x-2+,而sin x-1,1,所以当sin x=1时,f(x)取得最大值5.3.【引全国卷】A解析 函数y=cos|2x|=cos 2x,其最小正周期为,正确;函数y=cos x位于x轴上方的图像不变,将位于x轴下方的图像对称地翻转至x轴上方,即可得到y=|cos x|的图像,所以其最小正周期也为,正确;函数y=cos的最小正周期为,正确;函数y=tan的最小正周
9、期为,不正确.【荐地方卷】- 解析 由题意得,sin2+=1,则+=+k(kZ),所以=-+k(kZ),又-0时,sin =-,cos =,sin +cos =-;当m0时,sin =,cos =-,sin +cos =.综上得sin +cos =,故选B.2.A解析 由三角函数的诱导公式得sin-=cos-=cos+=,故选A.3.A解析 sin +cos =,(sin +cos )2=3,展开整理得sin2+2cos2+2sin cos =3,=3,=3,即2tan2-2tan +1=0,得tan =.故选A.小题2 例2(1)C(2)B解析 (1)由题意可得,函数y=sin+=cos-=
10、cos(x-),所以只需把y=cos(x-)的图像向左平移个单位就可得到函数y=cos的图像.故选C.(2)由题意可得,f(0)=sin =-,|,=-,又f(m)=sinm-=-,m- =2k-或m- =2k+,kZ,又由周期T=2,得0m2,m=,故选B.【自我检测】1.C解析 由题得y=2sin xcos x=sin 2x,所以将y=sin 2x的图像向左平移个单位得到函数y=sin2x+的图像,故选C.2.A解析 由题得f(x)=2sinx+=2sinx+,因为函数f(x)的最小正周期是,所以=,所以=2,所以f(x)=2sin2x+.将函数f(x)的图像向右平移个单位后,所得图像对应
11、的函数解析式为y=2sin2x-+=2sin2x-,故选A.3.D解析 由题图可知A=1,=-=,即A=1,T=,故=2,所以f(x)=sin(2x+),将,0代入f(x)=sin(2x+)可得sin+=0,则+=2k+,kZ,又|,所以=,故f(x)=sin2x+,而g(x)=cos 2x=sin2x+=sin2x+,故选D.小题3 例3(1)C(2)C解析 (1)由题意可得,函数f(x)的最小正周期T=2=3,则=,A说法错误;当x=时,x+=+=k(kZ),=k-(kZ),00),令-+2kx-2k+,kZ,即- +x+,kZ.f(x)=sin x-cos x(0)在- ,上单调递增,-
12、且,0.故选D.2.A解析 由题意得g(x)=f(x)+f(x)=cos(x+)-sin(x+)=2cosx+,函数g(x)为偶函数,+=k,kZ.又-0,=-.故选A.3.C解析 由题意可得函数的最小正周期T=6,则=,结合点P的坐标可得A=2,且x+=+=2k-(kZ),得=2k-(kZ),所以函数的解析式为y=2sinx+2k-=-2sinx,故其图像对称中心的横坐标满足x=k(kZ),x=3k(kZ).取k=1,可得该函数图像的一个对称中心为(3,0).故选C.小题4 例4-解析 f(x)=cos xsinx+-cos2x+=cos xsin x+cos x-+=sin 2x-cos
13、2x=sin2x-.因为x-,所以2x-,因此当2x-=-时,f(x)取得最小值-.【自我检测】1.5解析 由题意可得y=2sinx+,x0,x+,+,又函数的最小值为-1,+=,=5.2.-,1解析 函数y=cos2x+sin 2x-=+sin 2x-=sin 2x+cos 2x=sin2x+,因为x0,所以2x+, 故值域为- ,1.备选理由 有时会把一个代数式看成一个角,再利用诱导公式去化简,灵活性更强,把握已知和结论之间的联系,备用例1是对例1的拓展和延伸;对于三角函数的单调性的考查,在某一个区间或者在某几个区间上单调是个难点问题,备用例2是对例3的拓展和补充.例1配例1使用 已知sinx+=,则sin-x-cos2x-的值为.答案 解析 sin-x-cos2x- =sin2-x+-cos 2x+- =- sinx+cos 2x+=-sinx+1-2sin2x+=- +1- = .例2配例3使用 将函数f(x)=cos 2x的图像向右平移个单位得到g(x)的图像,若g(x)在-2m,- 和3m,上都单调递减,则实数m的取值范围为()A.,B.,C.,D.,解析 A由题意可得g(x)=cos 2x- ,其单调递减区间为+k,+k,kZ,所以3m,-2m,- - ,- ,所以得m,故选A.12