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1、常见数列类型的通项公式的求法二、已知数列是等差（比）数列,用公式法求通项1.等差数列通项公式：（d为公差）；2.等比数列通项公式：（q为公比）例2.【2016高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如（）求；（）求数列的前1 000项和解：（）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（）因为所以数列的前项和为例3.2014江西 已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求数列cn的通项公式；(2)若bn3n-1，求数列an的前n项和Sn.解：(1)因为anbn1an1bn2bn1bn0，bn0(nN
2、*)，所以2，即cn1cn2，所以数列cn是以c11为首项，d2为公差的等差数列，故cn2n1.(2)由bn3n-1，知an(2n1)3n-1，于是数列an的前n项和Sn130331532(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，将两式相减得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，所以Sn(n1)3n1.变式练习5.（2015课标卷理）设是数列的前n项和，且，则 解：由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以变式练习6.2014全国 等差数列an的前n项和为Sn.已知a110，a2为整数，且SnS4.(1)求an的通项
3、公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由a110，a2为整数知，等差数列an的公差d为整数又SnS4，故a40，a50，于是103d0，104d0，解得d，因此d3.故数列an的通项公式为an133n.(2)bn.于是Tnb1b2bn.变式练习7.2014山东 已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n-1，求数列bn的前n项和Tn.解： (1)S1a1，S22a122a12，S44a124a112，(2a12)2a1(4a112)，解得a11，an2n1.(2)由题意可知：bn(1)n-1(1)n
4、-1(1)n-1.当n为偶数时，Tn1.当n为奇数时，Tn1.所以Tn变式练习8.2014重庆 设a11，an1b(nN*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)（略） 解：(1)方法一：由an111,得a22，a31，(an11)2(an1)21.从而(an1)2是首项为0，公差为1的等差数列，故(an1)2n1，即an1(nN*)方法二：a22，a31.可写为a11，a21，a31.因此猜想an1.下面用数学归纳法证明上式当n1时，结论显然成立假设nk时结论成立，即ak1，则ak1111，这就是说，当nk1时结论成立所以an1(nN*)变式练习9.（2012新课标（16）数
5、列满足，则的前项和为 。解法一：an+1+（1）n an=2n1，a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97，从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列an的前60项和为 152+（158+）=1830，故答案为：1830或者：可知连续四项的和构成首项是10、公差是16的等差数列，故的前项和为
6、解法二：可证明：变式练习10.（2011全国，理20）设数列an满足a10且.(1)求an的通项公式；(2)设，记，证明：Sn1.【命题意图】本题主要考查等差数列的定义及其通项公式,裂项相消法求和,不等式的证明，考查考生分析问题、解决问题的能力.解：()由题设,即是公差为1的等差数列.又,故.所以 5分() 由()，得,12分例4. 2014浙江 已知数列an和bn满足a1a2a3an (nN*)若an为等比数列，且a12，b36b2.(1)求an与bn.(2)设cn(nN*)记数列cn的前n项和为Sn.(i)求Sn；(ii)求正整数k，使得对任意nN*,均有SkSn.解：(1)由a1a2a3
7、an，得两式相除，得b3b26，知a38.又由a12，得公比q2(q2舍去)，所以数列an的通项为an2n(nN*)所以，a1a2a3an故数列bn的通项为bnn(n1)(nN*)(2)(i)由(1)知cn(nN*)所以Sn(nN*)(ii)因为c10，c20，c30，c40，当n5时，cn，而0，得1，所以，当n5时，cn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由解：(1)设数列an的公差为d，依题意得，2，2d，24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2.从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时， Sn2n，显然2n60n800成立当an4n2时，Sn2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的正整数n；当an4n2时，存在满足题意的正整数n，其最小值为41.5