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1、常见数列类型的通项公式的求法三、已知数列的递推公式求通项类型1：已知的前n项和与的关系，则先求，再由求或与其它项的关系，进而转化为等差（比）数列求通项，并验算此时的在时是否成立。若成立，则通项公式是，若不成立，则要用分段函数来表示。例5（2015新课标（17）为数列的前n项和.已知0，=.（）求的通项公式：（）设,求数列的前n项和解：（）当时，=3，当时，=，即，=2，数列是首项为3，公差为2的等差数列，故=；（）由（）知，=，所以数列前n项和为= =.评注：递推关系中含有Sn，通常是用Sn和an的关系an=SnSn1（n2）来求通项公式，具体来说有两类：一是通过an=SnSn1将递推关系揭示
2、的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过an=SnSn1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n项和与前n1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式。并要检验用an=SnSn1（n2）所求的能否包含(当不包含时，最后结果要写成分段函数来表示)。变式练习12.已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_解：当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an变式练习13.（2013新课标14.）an的前n项和为Snan，则数列an的通项公式
3、是an=_.解:当=1时，=，解得=1，当2时，=()=，即=，是首项为1，公比为2的等比数列，=.变式练习14.（2016新课标理）已知数列的前n项和，其中（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若 ，求解：（）由题意得，故，.由，得，即.由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是（）由（）得，由得，即，解得变式练习15.（2014新课标（17）已知数列的前项和为，=1，其中为常数.()证明：；（）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.解：()由题设，两式相减，得，由于，所以 6分（）由题设=1，可得，由()知假设为等差数列，则成等差数列，解得；证明时，为等差数列：由知数列奇数
4、项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列令则，数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列令则，（），因此，存在存在，使得为等差数列. 12分类型2：形如的数列，则用递推法或累(叠)加法求。思路1（递推法）：。思路2（叠加法）：将各式叠加并整理得，即。评注：当f（n）为常数时，数列an就是等差数列，教材对等差数列通项公式的推导其实就是用叠加法求出来的。例6（2010辽宁理数(16)）已知数列满足则的最小值为_.【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。解：，则上述各式相加，得当且仅当即时取“”，但，所以，的
5、最小值为。或由求导法，得在上是单调递增，在上是递减的，因为nN+,，所以，的最小值为。变式练习16.数列满足=1，且，求。解：，由叠加法，得思考：若上题中“”改为“”，则结果如何？分析：是首项为2，公差为1的等差数列，则。变式练习17.2014温州十校联考 已知二次函数f(x)ax2bx的图像过点(4n，0)，且f(0)2n，nN*，数列an满足f ，且a14.(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)f(x)2axb.由题意知f(0)b2n，16n2a4nb0，a，b2n，f(x)x22nx，nN*.又数列an满足f（），f (x)x2n，2n，2n.由叠
6、加法可得2462(n1)n2n，化简可得an(n2)当n1时，a14也符合上式，an(nN*)(2)bn2()，Tnb1b2bn2121.变式练习18.（2010新课标，理17）设数列满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和解：（1）由已知，当n1时，。而 所以数列的通项公式为。（）由知 从而 -得： 。即类型3：形如的数列an，用递推法或累积（叠乘）法求。思路1（递推法）：。思路2（叠乘法）：，依次类推有：、，将各式叠乘并整理得，即。评注：如果f（n）为常数，则an为等比数列，an= f（n）an1型数列是等比数列的一种推广，教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用叠乘法推导出
7、来的。例7.已知数列an满足a1=1且（n2），求an。解：由条件=，记f（n）=an=a1=f（n）f（n1）f（n2）f（2）a1 =1= 变式练习19已知，求。解：方法1（递推法）：。方法2（叠乘法）：，依次类推有：、，将各式叠乘并整理得，即。类型4：形如(p、r为常数，)的数列，可用递推法或作差法构造等比数列求，或用待定系数法设，则，数列是等比数列，先求的通项，再求。思路1（递推法）：=。思路2（待定系数法）：设，即得，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。思路3（作差法）：，数列是以首项为，公比为的等比数列，（类型2），再用叠加法求。例8. ( 2006重庆) 已知数列满足且，,
8、则该数列的通项an=_.解：方法1（递推法）：。方法2（待定系数法）：设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。方法3（作差法）：数列是以首项为，公比为2的等比数列故，即，再用叠加法求（略）。变式练习20.2014新课标全国卷 已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.解：(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以an，因此数列an的通项公式为an.(2)证明：由(1)知.设，则.1.变式练习21.（2013新课标卷理）设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1
9、,2,3,，若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则()A、Sn为递减数列 B、Sn为递增数列C、S2n1为递增数列，S2n为递减数列 D、S2n1为递减数列，S2n为递增数列解法一： AnBnCn的周长为3a1由海伦公式，得。选B。解法二：由b1c12a1，得，即故An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，可设,该椭圆方程为，则由椭圆第二定义，得由bn1，cn1，得bn1cn1故，则是递减数列，从而是递增数列，所以Sn为递增数列。选。解法三：取，则半周长。由海伦公式，得由bn1，cn1，依次求，再比较面积大小得B。类型5：形如（且）的数列，可用转化法或待定函数法（注意：待定函数要与
10、原函数同类型）求通项公式。思路1（转化法）：，递推式两边同时除以，得，令，问题就转化为类型2（叠加法）求解。思路2（待定函数法）：设，由求，是等比数列。注意：待定函数与必须是同一类型的函数！例9.已知，求。解法一：，式子两边同时除以，得，令，则依此类推有、，各式叠加得，即。解法二：（待定函数法）设，则A =1是以4为首项，公比为4的等比数列（余略）。变式练习22.数列an满足a1=1且an=2an1（n2），求an。解法一：设，则 是公比为q=2、首项为=的等比数列，则解法二：an=2an1，即设，则5k=1，故是以为首项，6为公比的等比数列，即点评：形如 （）数列，可用构造法：，设，则，从而
11、解得。那么是以为首项，为公比的等比数列。变式练习23.已知，求的通项公式。分析：是一次函数，故用待定函数法求解时，待定函数也要设为一次函数。解：设，则 解得：A=， 是以3为首项，为公比的等比数列 变式练习24.（2006全国，理22）设数列an的前n项和。（）求首项a1与通项an；（）设，证明：解: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an=4an-1+2n,即an+2n=4(an1+),n=2,
12、3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列, an+2n=4= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12)= (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 0，n10.又nN*，2.选A.变式练习26.2014广州调研 已知数列an满足a1，an1，nN*.(1)求证：数列为等比数列(2)是否存在互不相等的正整数m，s，t，使m，s，t成等差数列，且am1，as1，at1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，
13、s，t；如果不存在，请说明理由解：(1)证明：因为an1，所以，所以1（1）因为a1，所以1，所以数列是首项为，公比为的等比数列(2)由(1)知，1n1，所以an.假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，则有由an与(as1)2(am1)(at1)，得（1）2（1）（1），即3m+t23m23t32s43s.因为mt2s，所以3m3t23s.又3m3t2 23s，当且仅当mt时，等号成立，这与m，s，t互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数m，s，t满足条件类型7：形如 (p、r为常数，)的数列，可两边取对数法求。思路（转化法）：对递推式两边取对数得，令，问题转化为类型4求解。例11.(
14、02上海)若中，则= 。解： 是首项为，公比为2的等比数列 。变式练习27.（2016秋安徽校级月考）已知函数f(x)=x2+bx为偶函数，数列an满足an+1=2f(an1)+1，且a1=5，又设bn=log2(an1)。（1）求数列bn的通项公式； （2）设cn=nbn，求数列cn的前n项和Sn【分析】（1）由函数f(x)=x2+bx为偶函数，可得b=0，可得an+11=2(an-1)2，取对数：log2(an+11)=2log2(an1)+1，可得：bn+1+1=2(bn+1)，利用等比数列的通项公式即可得出（2）由（1）得cn=nbn=n3n利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和
15、公式即可得出解：(1)函数f(x)=x2+bx为偶函数，b=0，an+1=2f(an1)+1=2(an-1)2+1， an+11=2(an-1)2log2（an+11）=2log2（an1）+1，bn+1=2bn+1，即：bn+1+1=2（bn+1），b1+1=log2（a11）=2+1=3，数列bn+1是首项为3，公比为2的等比数列，bn+1=32n-1，解得：bn=32n-11（2）由（1）得cn=nbn=n32n-1n数列cn的前n项和Sn=31+22+322+n2n-1设Tn=1+22+322+n2n-1，则2Tn=2+222+（n1）2n-1+n2n，Tn=1+2+22+2n-1n2
16、n=n2n，Tn=（n1）2n+1Sn=3（n1）2n+3类型8：形如 的数列，可用待定系数法或特征根法求。思路1（待定系数法）：设 ，求出（取其中最简的一解）后可得 的关系，把问题转化为类型5解。思路2（特征根法）：递推式对应的特征方程为（把看作，看作，看作1），其两实根为、。(1) =时，设(、为待定系数，可利用、求得)；(2) 时，设(、为待定系数，可利用、求得)。例12. 已知、,求。解一：设 ，取，则是首项为9，公比为2的等比数列，故 ，再按类型5的方法解。解法二：递推式对应的特征方程为即，解得、。设，而、，则，解得，。变式练习28.已知数列 满足 ，求。解法一：对应的特征方程为，其
17、根设，而、，则 解法二：设，则，取，则，再按类型5的方法解（略）。类型9：形如(a2+c20)的数列，可用不动点法求通项。定义1：若数列满足，则称为数列的特征函数.定义2:方程=x称为函数的不动点方程，其根称为函数的不动点.结论：形如(a2+c20，a,b,c,d为常数)的数列的特征函数为=（看作，看作），设为的两根，则（1）若，则数列是等比数列；（2）若，数列是等差数列。例13.已知数列 a n 中，a 1=3，求 a n 的通项。解： a n的特征函数为：,由，则,数列是首项是2，公比为的等比数列.提示：特征根可以在草稿上求出，解题过程是由直接证明是等比数列！变式练习29.已知数列满足，求数列的通项公式。解：令=，得，则x1=x2=1， 数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。16