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1、专题12 函数的零点函数的零点1函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0(a，b)，使得f(x0)0.2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数
2、2101转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题2判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断(3)将函数yf(x)g(x)的零点个数转化为函数yf(x)与yg(x)图象公共点的个数来判断3利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法函数f(x)ex3x的零点个数是()A0B1C2D3【解析】Bf(1)30，f(0)10，f(x)在(1,0)内有零点，又f(x)为增函数，函数f(x)有且只有一个零点1(2016江西赣中南五校联考)函数f(x
3、)3xx2的零点所在区间是()A(0,1)B(1,2)C(2，1)D(1,0)【解析】Df(2)，f(1)，f(0)1，f(1)2，f(2)5，f(0)f(1)0，f(1)f(2)0，f(2)f (1)0，f(1)f(0)0，故选D.2函数f(x)ax12a在区间(1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是_3已知函数f(x)x3x2.证明：存在x0，使f(x0)x0.证明令g(x)f(x)x. g(0)，gf，g(0)g0.7分又函数g(x)在上连续，存在x0，使g(x0)0，即f(x0)x0.1若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是() A0,2B0，C0
4、，D2，【解析】C由题意知2ab0，即b2a.令g(x)bx2ax0，得x0或x.2函数f(x)exx2的零点所在的区间为()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)【解析】C因为f(0)e00210，f(1)e112e10，故f(0)f(1)0，故选C.3函数f(x)2xx32在区间(0,2)内的零点个数是()A0B1 C2D34已知函数f(x)则使函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是()A0,1)B(，1)C(，1(2，)D(，0(1，)【解析】D函数g(x)f(x)xm的零点就是方程f(x)xm的根，画出h(x)f(x)x的大致图象(图略)观察它与直线ym的交点，得
5、知当m0或m1时，有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点5(2016湖北七校2月联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()A.B. CD6已知关于x的方程x2mx60的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是_ 【解析】(，1)设函数f(x)x2mx6，则根据条件有f(2)0，即42m60，解得m1.7(2016浙江高考)设函数f(x)x33x21，已知a0，且f(x)f(a)(xb)(xa)2，xR，则实数a_，b_.【解析】21f(x)x33x21，则f(a)a33a21，f(x)f(a)(xb)(xa)2(xb)
6、(x22axa2)x3(2ab)x2(a22ab)xa2bx33x2a33a2.由此可得a0，由得a2b，代入式得b1，a2.8(2015湖南高考)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_【解析】(0,2)由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中画出y|2x2|与yb的图象，如图所示，则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点9已知二次函数f(x)x2(2a1)x12a，(1)判断命题：“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若yf(x)在区间(1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围解(1)“对于任意的aR，方程f(x)1必有实数根”是真命题依题意，f(x)1有实根，即x2(2a1)x2a0有实根.3分因为(2a1)28a(2a1)20对于任意的aR恒成立，即x2(2a1)x2a0必有实根，从而f(x)1必有实根.5分_5