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1、4.4.3 参数方程的应用同步测控我夯基,我达标1.已知动圆x2+y2-2axcos-2bysin=0（a、b是正常数，且ab，为参数,0,2)），则圆心的轨迹是（ ）A直线 B圆 C抛物线的一部分 D椭圆解析：把圆的方程化为标准方程：(x-acos)2+(y-bsin)2=a2cos2+b2sin2，其圆心坐标为（acos,bsin），于是动圆圆心的轨迹方程为消去参数,可得1，轨迹为椭圆答案：D2.直线(t为参数）和圆x2+y2=16交于A、B两点，则AB的中点坐标为（ ）A(3,-3) B(-,3) C(,-3) D(3,-)解析：(1+t)2+(-3+t)2=16，得t2-8t+12=0
2、.t1+t2=8,=4，中点为即答案：D3.过点（1，1），倾斜角为135的直线截椭圆所得的弦长为（ ）A. B. C. D.解析：由题意，可设直线的参数方程为代入椭圆方程中，整理得到5t2+6t10，|t1-t2|=，故所求弦长为|t1-t2|=答案：B4.抛物线x2-2y-2mx+m26m的顶点的轨迹方程是_解析：抛物线方程可化为(x-m)2=2(y+3m-1)，设其顶点坐标为(x,y)，则满足消去参数m，可得y=-3x+1，即3x+y0答案：3x+y05.求椭圆的内接矩形的最大面积思路分析：恰当选择参变量，把椭圆内接矩形面积用参数表示出来，再利用函数的性质求解解法一：椭圆的参数方程为(参
3、数t0,2),设第一象限内椭圆上一点M(x,y)，由椭圆的对称性，知内接矩形的面积为S=4xy=45cost4sint=40sin2t当t=时，面积S取得最大值40此时x=5cos=,y=4sin=2因此，矩形在第一象限的顶点为（,2）时,内接矩形的面积最大为40解法二：设点M(x,y)是椭圆上第一象限内的点，则=1，且x，y,即()2+()22，xy10，当且仅当时取等号由椭圆的对称性知内接矩形的面积为S=4xy40，也就是内接矩形的面积的最大值为406.求椭圆上的点到直线3x+4y64的最大、最小距离思路分析：利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量
4、的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题解：将椭圆普通方程化为参数方程（2）,则椭圆上任一点P的坐标可设为P(5cos,9sin)，于是点到直线3x+4y的距离为,其中tan=,dmax=，此时sin(+)；dmin，此时sin(+)7.如图，已知点P是圆x2+y216上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）,当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？思路分析：由于点M为线段PA的中点，点A的坐标已知，点P在已知圆上，故而点P的坐标可以用参数表示，所以点M的坐标也就可以表示了，由此便可以求出线段PA的中点M的轨迹方程，进而知道其轨迹解：设点M的坐标为(x,y)由于圆的参
5、数方程为(参数0,2)，故可设点P的坐标为(4cos,4sin)由线段中点的坐标公式,得点M的轨迹参数方程为(参数0,2).线段PA的中点的轨迹是以点（，）为圆心、为半径的圆我综合,我发展8.已知A、B分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求ABC的重心G的轨迹方程思路分析：ABC的重心G取决于ABC的三个顶点的坐标，为此需要把动点C的坐标表示出来，可考虑用参数方程的形式解：由题意知A（6,0)、B(0,3).由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为（6cos,3sin），点G的坐标设为(x,y),由三角形重心的坐标公式可得即消去参数得到+(y-1)21.9.过点P(,0)作倾
6、斜角为的直线与曲线x2+12y2=1交于点M、N，求|PM|PN|的最大值及相应的的值思路分析：设出直线的参数方程，把|PM|PN|表示成的函数解：设直线为(t为参数),代入曲线x2+12y2=1中，整理得(1+11sin2)t2+(cos)t+=0，于是|PM|PN|=|t1t2|=所以当sin2=0，即=0时，|PM|PN|的最大值为，此时=010.已知点P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点，（1）求2x+y的取值范围；（2）若x+y+a0恒成立，求实数a的取值范围思路分析：因为所求问题中涉及到圆x2+y2=2y上动点P的坐标x与y的关系，而二者的关系可用参数表示出来，故可设出圆的参数
7、方程，从而把（1）求2x+y取值范围的问题转化为求关于的函数的值域问题；对于（2）x+y+a0恒成立a-(x+y)恒成立amax-(x+y).解：（1）x2+y2=2y化为标准方程为x2+(y-1)2=1.设圆的参数方程为(参数0,2),则2x+y=2cos+sin+1=sin(+)+1,其中tan=21sin(+)1，-+1sin(+)+1+12x+y的取值范围为-+1,+1（2）x+y+a0恒成立a-(x+y)恒成立amax-(x+y)而-(x+y)=-(cos+sin)-1=-sin(+)-1,1sin(+)1，-1-sin(+)-1-1,即-(x+y)的最大值为-1由a-(x+y)恒成
8、立，可知a-111.已知点A（，），过点（，）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B、C，试探讨ABC的形状思路分析：直线与圆锥曲线的相交问题常常设出交点坐标，利用整体代入法解决问题解：由抛物线的参数方程，可设B(t2,2t),C(s2,2s),st,s,t1，则直线BC的斜率为,方程为y-2t=(x-t2)因直线BC过点（5，2），代入上式，并整理得到（s+1）（t）因为kABkAC=-1,所以ABAC，从而ABC是直角三角形12.直线l：y=2x+b与椭圆交于A、B两点，当b变化时，求线段AB中点M的轨迹解：设AB中点M(x0,y0),直线l的方程为(tan，t为参数）代入椭圆方程,有，可
9、得(2cos2+3sin2)t2+2(2x0cos+3y0sin)t+2+3-6=0.设A、B对应的参数值分别为t1、t2，则有t1+t2.又t1+t2=2x0cos+3y0sin又tan，x0y0，即x+3yM点的轨迹是直线x+3y在椭圆内部的一条线段13.已知椭圆方程为，椭圆长轴的左、右顶点分别为A1、A2，P是椭圆上任一点，引A1QA1P，A2QA2P，且A1Q与A2Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程解：设椭圆的参数方程为（为参数，且02），则P点坐标为（acos,bsin），由题意知cos1，sin0=，=，=,=A1Q的方程为y=, A2Q的方程为y=(x-a). 得y2=化简整理得即为所求的轨迹方程我创新，我超越14.当s和t取遍所有实数时，(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|)2所能达到的最小值是多少？思路分析：观察所求式的结构，可以把它看作点（s，s）与点（3|cost|,2|sint|）的距离的平方，而这两个点的轨迹都可以用参数方程的形式写出来故本题可考虑数形结合，并利用参数方程求解解：已知式可看作是点A（s，s）到点B（3|cost|，2|sint|）的距离的平方，由点A（s，s）得消去参数s得直线l：x-y由点B(3|cost|,2|sint|)，得消去参数t，得曲线C：（x，y）作l和C的图象如图，可知|AB|min2=()26