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1、三角函数的简单应用一、选择题(每小题4分,共16分)1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2sin100t,t(0,+),则电流I变化的周期是()A.B.100C.D.50【解析】选C.由题意知,T=.2.(2014亳州高一检测)某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin(160t)+110,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为()A.60B.70C.80D.90【解题指南】本题的实质是求函数的频率.【解析】选C.T=,所以频率f=80.3.如图为一半径r为3米的水轮,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足
2、函数关系y=Asin(x+)+2,则有()A.=,A=3B.=,A=3C.=,A=5D.=,A=5【解析】选B.水轮每分钟旋转4圈,即每秒钟旋转rad,所以=.又水轮上最高点离水面的距离为r+2=5(米),即ymax=A+2=5,所以A=3.【变式训练】(2013杭州高一检测)如图,一个大风车的半径是8米,每12分钟旋转一周,最低点离地面2米,若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P离地面的距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数解析式是()A.h=8cost+10B.h=-8cost+10C.h=-8sint+10D.h=-8cost+10【解析】选D.首先考虑建立直角坐标系,
3、以最低点的切线作为x轴,最低点作为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系.那么,风车上翼片端点所在位置P可由函数x(t),y(t)来刻画,而且h(t)=y(t)+2.所以,只需要考虑y(t)的解析式.又设P的初始位置在最低点,即y(0)=0.在RtO1PQ中,由cos=,得y(t)=-8cos+8.又=,所以=t,y(t)=-8cost+8,h(t)=-8cost+10.4.(2014西安高一检测)稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响.北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价进行了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米面积的价格,
4、单位为元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(x+)+9500(0),已知第一、二季度平均单价如下表所示:x123y10 0009 500?则此楼群在第三季度的平均单价大约是()A.10000元B.9500元C.9000元D.8500元【解析】选C.由表格数据可知,10000=500sin(+)+9500,9500=500sin(2+)+9500,所以sin(+)=1,sin(2+)=0;+=2k1+(k1Z),2+=2k2+(k2Z),2-得3+=4k2-2k1+=2k3+(k3Z),所以x=3时,y=500sin+9500=9000(元).故选C.二、填空题(每小题5分,共10分)5
5、.有一种波,其波形为函数y=sin的图像,若在区间0,t(t0)上至少有2个波峰(图像的最高点),则正整数t的最小值是.【解析】因为函数y=sin的周期T=4,y=sin的图像在0,t上至少有2个波峰,所以tT=5,故正整数t的最小值是5.答案:56.(2014潍坊高一检测)某同学利用描点法画函数y=Asin(x+)的图像,列出的一组数据如下表:x01234y101-1-2经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息推断函数y=Asin(x+)的解析式应是.【解析】因为(0,1)和(2,1)关于直线x=1对称,故x=1与函数图像的交点应是最高点或最低点,故数据(1,0)错误,从而由
6、(4,-2)在图像上知A=2,由过(0,1)点知2sin=1,因为-,所以=,所以y=2sin,再将点(2,1)代入得,2sin=1,所以2+=+2k或2+=+2k,kZ,因为00,0)来模拟港口的水深与时间的关系.如果一条货船的吃水深度是4米,安全条例规定至少有2.25米的安全间隙(船底与洋底的距离),则该船一天之内在港口内呆的时间总和为小时.()A.10B.8C.6D.4【解析】选B.由题意可得y=2.5sinx+5(0x24),则2.5sinx+56.25,sinx,2k+x+2k,kZ,即12k+1x5+12k,该船可以1点进港,5点离港,或13点进港,17点离港,在港口内呆的时间总和
7、为4+4=8小时.二、填空题(每小题4分,共8分)4.如图,点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度(rad/s)做圆周运动,则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为.【解析】当质点P从P0转到点P位置时,点P转过的角度为t,则POx=t+,由任意角的三角函数定义知P点的纵坐标y=rsin(t+).答案:y=rsin(t+)5.(2014北京高一检测)一观览车的主架示意图如图所示,其中O为轮轴的中心,距地面32m(即OM长),巨轮的半径为30m,AM=BP=2m,巨轮逆时针旋转且每12min转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置,经过tmin,该吊舱P距离地
8、面的高度为hm,则h=.【解析】过点O作地面的平行线ON,过点B作ON的垂线BM交ON于M点.点A在O上逆时针运动的角速度是=,所以tmin转过的弧度数为t,设=t,当时,BOM=-,h=OA+BM=30+30sin-,当0时,上述关系式也适合.故h=30+30sin=30sin+30.答案:30sin+30三、解答题(每小题10分,共20分)6.如图,某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(x+)+b.(1)求这一天614时的最大温差.(2)写出这段曲线的函数解析式.【解析】(1)由图可知:这段时间的最大温差是20.(2)从图可以看出:从614是y=Asin(x+)+b的半
9、个周期的图像,所以=14-6=8,所以T=16,因为T=,所以=,又因为所以所以y=10sin+20,将点(6,10)代入得:sin=-1,所以+=2k+,kZ,所以=2k+,kZ,可取=,所以y=10sin+20(6x14).【拓展延伸】三角函数的建模问题关键点(1)解决实际问题时的关键是观察出周期性,搜集数据,作出相应的散点图.(2)求解的关键是能抽象出三角函数模型,解决的步骤是:审题,建模,求解,还原.7.(2014虹口区高一检测)某种型号汽车的四个轮胎半径相同,均为R=40cm,该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上.该车的涉水安全要求是:水面不能超过它的底盘高度.如图所示:某处有一“坑形
10、”地面,其中坑ABC形成顶角为120的等腰三角形,且AB=BC=60cm,如果地面上有h(cm)(h40)高的积水(此时坑内全是水,其他因素忽略不计).(1)当轮胎与AB,BC同时接触时,求证:此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为d=10+-h.(2)假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时,符合涉水安全要求),求h的最大值.(精确到1cm)【解析】(1)当轮胎与AB,BC同时接触时,设轮胎与AB边的切点为T,轮胎中心为O,则|OT|=40,由ABC=120,知OBT=60,故|OB|=.所以,从B点到轮胎最上部的距离为+40,此轮胎露在水面外的高度为d=+40-(60cos60+h)=+10-h=10+-h,得证.(2)只要d40,即+10-h40,解得h16cm,所以h的最大值为16cm.【变式训练】单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(s)的关系式为s=6sin.(1)作出它的图像.(2)单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少厘米?(3)单摆摆到最右边时,离开平衡位置多少厘米?【解析】(1)列表如下:t(s)0s(厘米)360-60描点作图.(2)t=0时,s=3厘米,此时离开平衡位置3厘米.(3)离开平衡位置6厘米.- 10 -