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1、2010年普通高等学校招生全国统一考试宁夏卷数学理工农医类第I卷一、选择题：本大题共12题，每题5分，在每题给出的四个选项中，有一项为哪一项符合题目要求的。1、已经知道集合A=x|x|2,xR，B=x|x4,xZ，那么ABA0，2B0，2C0，2D0，1，2【解析】选择D。因为A=x|2x2，B0,1,2,3,L,16，所以AB0，1，2。3i2、已经知道复数z，z是z的共轭复数，那么zz=(13i)211BC1D2A42【解析】选择A。解法1：因为3i13i213i1(3i)(13i)131i，44z(232i)223i24831i)(4431i)(443)2()211。4所以zz=(443
2、i(13i)2|3i|241。|13i|1642解法2：因为zz=|z|24xy3、曲线在点1，1处的切线方程为x2Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x2(x2)x2【解析】选择A。因为y，所以ky|x2，(x2)2(x2)21yP因此切线方程为y12(x1)，化简得y2x1。xO4、如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2,2)，P0角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为【解析】选择C。解法1：显然，当t=0时，d=2，排除A、D；当t=时，d=0，排除B，因此选择C。4解法2：显然，当t0时，由已经知道得d2，故排除A、D，又因为质点是按逆时针方
3、向转动，随时间t的变化质点P到x轴的距离d先减小，再排除B，即得C。解法3：根据已经知道条件得A2,1,到轴的距离Pxdt关于时间的函，再结合已经知道得质点4数为d2sin(t)，画图得C。4xxxx5、已经知道命题：p：函数y22在R上为增函数；p：函数y22在R上为减函数。12那么在命题q1：p1pq2p1p2，q(p)pqp1(p)中，真命题是2，：和4：2312Aq，q31Bq，q32Cq，q41Dq，q42【解析】选择C。xxxxp1为真命题，对于p，y2ln22ln2(22)ln2，显然导函数可正可负，2因此p是假命题，因此qqqq3为假命题。、2、为真命题，2146、某种种子每粒
4、发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，那么X的数学期望为A100B200C300D400【解析】选择B。设没有发芽的种子数为Y，那么X=2Y，随机变量YB1000，0.1，那么EX=2EY=200。N=5，那么输出的数等于7、如果执行右面的框图，输入54456556ABCD【解析】选择D。111；1k1，S3k3，S；2k2，S121122311；1223341111；k4S，412233445111115k5，S。结束。12233445563f(x)满足f(x)x8x0，8、设偶函数那么x|f(x2)0=Ax|x2或x4Bx|x0
5、或x4Cx|x0或x6【解析】选择B。Dx|x2或x2画出f(x)的图象，向右平移两个单位，得到f(x)的图象，观察图象，可得B为正确答案。验证法可速得答案。1tan4229、假设cos，是第三象限的角，那么51tan121ABC2D22【解析】选择A。435因为cossin，是第三象限的角，所以。51tancossinsin(coscos2sin)221sincos122222222所以。1tancossin22210、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，那么该球的表面积为A173113C1Aa2a2a2D5a2BCD1B1【解析】选择B。O3a21a2367a2
6、，122a)()22R设该球的半径为，如图，R(32A7a21273C因此该球的表面积为4R2a2D4。B|lgx|,10x10，假设a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，11、已经知道函数f(x)x6,x102那么abc的取值范围是A1，10B5，6C10，12D20，24【解析】选择C。不妨设，0abc，由f(a)f(b)f(c)，结合图象得0a11b1010c12，因为f(a)f(b)，所以lgalgb，lgalgb0，ab1，因此=abcc(10,12)。l12、已经知道双曲线E的中心在原点，F3，0是E的焦点，过F的直线与E相交于A，B两点，且AB的中点为N12，15，那么
7、E的方程为x2y2x2y2x2y2x2y2A1B1C1D136456354【解析】选择B。x1x212152y1y22x2y2a2b2y1y20(15)x1x23(12)设双曲线E的方程为1Axy1，Bxy，那么2kAB1，12x12y12a2b2x22y221(1)(2)1a2b2(xx)(xx)(yy)(yy2)121212112得，a2b222xy所以5a24b2ab9，解得a24b5。因此双曲线E的方程为，2221。，又45第II卷本试卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每
8、题5分。13、设yf(x)为区间0，1上的连续函数，且恒有0f(x)1，可以用随机模拟方法近似计算积分1f(x)dx。先产生两组每组N个区间0，1上的均匀随机数x，x，x和y，y，12N120y，由此得到N个点x，yi=1，2，N。再数出其中满足yif(x)i=1，2，NiNii1的点数N，那么由随机模拟方法可得积分1f(x)dx的近似值为0N1。【答案】N1【解析】f(x)dx的几何意义是函数f(x)(其中0f(x)1)的图像与x轴、直线x0和直线x1所0N1。N1围成图形的面积，根据几何概型易知f(x)dx014、正视图为一个三角形的几何体可以是(写出三种)【答案】三棱锥，三棱柱、圆锥。【
9、解析】三棱锥，三棱柱、圆锥其它正确答案同样给分15、过点A(4，1)的圆C与直线xy10相切于点B(2，1)，那么圆C的方程为22【答案】(x3)y2。【解析】圆C过点A和点B，那么圆C的圆心一定在线段AB的垂直平分线x=3上，所以设圆心C的坐标|2b|1(b1)2，解得b=0，因此圆22C的方程为(x3)y2。为3，b，依题意21ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120，AD=2。假设ADC的面积为33，那么16、在2BAC=【答案】60。A【解析】解法1：由已经知道AD=2，ADE=60，得DE=1，AE=3，1ADC的面积为33，所以CD333，因为2CD232，BD=31
10、，BE=3，所以BAE=45，CDBE又EC=233，tanCAE=2因此BAC=60。3，CAE=15，解法2：由已经知道AD=2，ADE=60，得DE=1，AE=3，1因为ADC的面积为33，所以CD333，CD232BD=31，22所以AB2(31)42(31)6AC2(232)244(31)24123，BC2(333)236183，AB6，AC6(31)，AB2AC2BC22ABAC根据余弦定理得cosBAC30123361831。12(31)2因此BAC=60。三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。17、本小题总分值12分设数列a满足a12an1a322n1。，nn1求
11、数列a的通项公式；n2令bnnab的前项和nSn，求数列。nn【解析】n21由已经知道，当时，a(aa)(an1an2)(aa)a121nnn12n32n5n12)22(41)222n13(22而a2，所以数列a的通项公式为an22n1。1n2由bnnann22n1，知S12223253(n1)22n3n22n1，n从而2S1222327235(n1)22n1n22n1，n3S222L22n1n22n135，两式相减得n222n(1n)22n+121(n1)22n+12。1)n22n1即3Sn33918、本小题总分值12分如图，已经知道四棱锥为AD中点。P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD，
12、ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，EP1证明：PEBC；2假设APB=ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值。【解析】DC以H为原点，HA、HB、HP分别为x、y、z轴，线段EHHA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，那么A1，0，0，B0，1，0。AB1设Cm，0，0，P0，0，nm0，n01m，0。那么D0，m，0，E，22uuuruuur1m可得PE(,n)，BC(m,1,0)。22uuuruuur因为PEmmBC00，所以PEBC。z2233，0，0，3P2由已经知道条件可得mn1，故C，3313，0，P0，0，1。6D0，0，E，32r设n(x,y,z)为平面PEH
13、的法向量，DCEHruuur123y0，nHE0x那么ruuurnHP0，即A6Bxyz0rn(1,3,0)。由uuurPAuuurr1，0，1，可得|cosPA,n|2，4因此可以取2所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为。419、本小题总分值12分为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者需要女男4030不需要1602701估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；2能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？3根据2的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要
14、志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。附：PK2k)0.0503.8410.0106.6350.001k10.828n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)K2【解析】1调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的70比例的估计值为14%。500500(4027030160)2200300704302K29.967。由于9.9676.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关。3由2的结论知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明
15、显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好。20、(本小题总分值12分)设FF2分别是椭圆22yxl的直线与E相交1、E：1ab0的左、右焦点，过F1斜率为1a2b2于A、B两点，且|AF|AB|BF2|成等差数列。2，1求E的离心率；2设点P0，1满足|PA|=|PB|，求E的方程。【解析】41由椭圆定义知|AF|BF|AB|4a，又2|AB|AF|BF|，得|AB|a。22223ab22。直线l的方程为yxc，其中cyxc设Axy，Bx2，y，那么A、B两点坐标满足方程组2xy22。，1112ab222222
16、22化简得(ab)x2acxa(cb)0，2a(cb2)222ac那么xx21，xx12。ab22ab222因为直线AB斜率为1，所以|AB|2(xx)4xx，121244ab2cb2a22。2得a，故a22b2E的离心率e1，所以2ab23a2设AB的中点为N(x,y)，由知I002x1x22ac231c。3x0c，yxcab2200y0122，1，得c3，从而a18b9。由|PA|=|PB|，得kPN1，即x0x2y2故椭圆E的方程为1。18921、本小题总分值12分x设函数f(x)e1xax2。)假设a0，求f(x)的单调区间；假设当x0f(x)0，求的取值范围。时a【解析】()时，fx
17、ex1xf(x)e1。xa01当，当x(,0)时，f(x)0；当x(0,)时，f(x)0。f(x)(,0)单调递减，在在(0,)上单调递增。故x2f(x)e12ax。由1知ex1x，当且仅当x=0时等号成立。12故f(x)x2ax(12a)x，从而当(12a)0，即a而f(0)0，于是当x0时，f(x)0。f(x)0x0，时，由e1xx0，可得ex1xx0。x1f(x)e12a(ex1)e(e1)(e2a)，xxxx从而当a时，2故当x(0,ln2a)时，f(x)0，而f(0)0，于是当x(0,ln2a)时，f(x)0。1综合得a的取值范围为(,。2请考生在第22、23、24三题中任选一题作答
18、，如果多做，那么按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。22、(本小题总分值10分)选修41：几何证明选讲?如图，已经知道圆上的弧AC=BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：ACEBCD；=)BC2BECD。DC【解析】?1因为AC=BD，所以BCD=ABC。又因为EC与圆相切于点C，BAE故ACE=ABC，所以ACE=BCD。?CDB=ABAC，2因为BCE=BCA+ACE=BCA+CBA=ABAC，所以BCE=CDB，又CBE=DCB，BCCDBC2BECD。所以BDCECB，故，即BEBC23、本小题总分值10分选修44：坐标系与参数方程x1
19、tcosxcosysin已经知道直线C1:t为参数，圆C:2(为参数)，ytsin)当=时，求CC与的交点坐标；213过坐标原点O作C的垂线，垂足为AP，为1OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。22【解析】1当=时，C1y3(x1)C，xy1。的普通方程为的普通方程为23y3(x1)联立方程组，解得CC1，3。1，0，22与的交点坐标为1222xy122另解：Cxy1，当=时，的普通方程为23x11t2t为参数，代入x2y1，得tt0，22直线C1的参数方程为y3t2t1t0。或解得1x2当t1时，代入直线C1；的参数方程得3y2x1y0当t0时，代入直线C1。的参
20、数方程得3。2因此CC的交点坐标为101，2与，12x1tcosytsin2直线C1:t为参数化成普通方程得C的普通方程为xsin1ycossin0，xsinyycossin0cossin直线OA的方程为yx，联立，cosxsinxsin2解得，所以A点坐标为sin2，cossin，ycossin1xysin22故当变化时，P点轨迹的参数方程为为参数。12sincos1411cos244xy(1cos2)11)2y2由，消去参数，得(x1416sin2411因此P点轨迹的普通方程为(x)y22。y416141的圆。4故P点轨迹是圆心为，0，半径为24、本小题总分值10分选修45：不等式选讲54设函数f(x)2x41。32)画出函数yf(x)的图像；假设不等式f(x)ax的解集非空，求a的取值范围。1【解析】014x232x5,x21由于f(x)，2x3,x2那么函数yf(x)的图像如下图。2由函数yf(x)与函数yax的图像可知，1aa2时，当且仅当或2函数yf(x)与函数yax的图像有交点。故不等式f(x)ax的解集非空时，1a的取值范围为，2,)。2